高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1_2 應(yīng)用舉例 第1課時(shí) 距離問題課時(shí)作業(yè) 新人教A版必修5

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2017春高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第1課時(shí) 距離問題課時(shí)作業(yè) 新人教A版必修5 基 礎(chǔ) 鞏 固 一、選擇題 1．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為(　D　) A．a(chǎn) km　　　　　　　　 B．a(chǎn) km C．2a km D．a(chǎn) km [解析]　由圖可知∠ACB＝120，則AB2＝a2＋a2－2a2cos120＝3a2，∴AB＝akm.故選D． 2．已知A、B兩地的距離為10km，B、C兩地的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120，則A、C兩地的距離為(　D　) A．10km B．km C．10km D．10km [解析]　在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120，則由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC＝100＋400－21020cos120 ＝100＋400－21020(－)＝700， ∴AC＝10，即A、C兩地的距離為10km. 3．一船向正北航行，看見正西方向有相距10n mlie的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60方向上，另一燈塔在船的南偏西75方向上，則這艘船的速度是每小時(shí)(　C　) A．5n mlie B．5n mlie C．10n mlie D．10n mlie [解析]　如圖，依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75， ∴∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，求得AB＝5， ∴這艘船的速度是＝10(n mlie/h)． 4．某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300m和500m，測(cè)得燈塔A在觀察站C北偏東30，燈塔B在觀察站C正西方向，則兩燈塔A、B間的距離為(　C　) A．500m B．600m C．700m D．800m [解析]　根據(jù)題意畫出圖形如圖． 在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120， 由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120 ＝3002＋5002－2300500(－) ＝490 000，∴AB＝700(m)． 5．要直接測(cè)量河岸之間的距離(河的兩岸可視為平行)，由于受地理?xiàng)l件和測(cè)量工具的限制，可采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選取A、B兩點(diǎn)，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得∠CAB＝45，∠CBA＝75，且AB＝120m由此可得河寬為(精確到1m)(　C　) A．170m B．98m C．95m D．86m [解析]　在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45，∠CBA＝75，則∠ACB＝60，由正弦定理，得BC＝＝40. 設(shè)△ABC中，AB邊上的高為h，則h即為河寬， ∴h＝BCsin∠CBA＝40sin75≈95(m) 6．甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船從B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60方向駛?cè)ィ瑒t行駛15min時(shí)，兩船的距離是(　B　) A．km　　　　　　 B．km C．km D．km [解析]　由題意知AM＝8＝2，BN＝12＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MBBNcos120＝1＋9－213(－)＝13，所以MN＝km. 二、填空題 7．某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60方向航行30n mile后，看見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離為10 n mile. [解析]　如圖所示，B是燈塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置， 則BC⊥AD，∠DAB＝30， ∠DAC＝60，則在Rt△ACD中，DC＝ACsin∠DAC＝30sin60＝15n mile， AD＝ACcos∠DAC＝30cos60＝15 n mile， 則在Rt△ADB中， DB＝ADtan∠DAB＝15tan30＝5n mile， 則BC＝DC－DB＝15－5＝10n mile. 8．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在點(diǎn)A處望見燈塔S在船的北偏東30方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見燈塔在船的北偏東65方向上，則船在點(diǎn)B時(shí)與燈塔S的距離是5.2 km.(精確到0.1 km) [解析]　作出示意圖如圖．由題意知， 則AB＝24＝6，∠ASB＝35，由正弦定理＝，可得BS≈5.2(km)． 三、解答題 9.如圖，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45，∠ADC＝75，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí)測(cè)得∠BCD＝30，∠BDC＝15.求炮兵陣地到目標(biāo)的距離．(結(jié)果保留根號(hào)) [分析]　由于∠ADC＝75，∠BDC＝15，∴∠ADB為直角．題中有多個(gè)三角形而抓住△ABD為Rt△作為突破口可簡(jiǎn)化計(jì)算． [解析]　在△ACD中，∠CAD＝60， AD＝＝CD． 在△BCD中，∠CBD＝135，BD＝＝CD， ∠ADB＝90. 在Rt△ABD中，AB＝＝CD ＝1 000(m)． 10．一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行．在A處看燈塔S在船的北偏東20的方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65的方向，已知距離此燈塔6.5n mile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？ [解析]　在△ASB中，∠SBA＝115，∠S＝45.由正弦定理，得SB＝＝≈7.787(n mile)．設(shè)點(diǎn)S到直線AB的距離為h，則h＝SBsin65≈7.06(n mile)． ∵h(yuǎn)>6.5n mile，∴此船可以繼續(xù)沿正北方向航行． 能 力 提 升 一、選擇題 11．已知船A在燈塔C北偏東85且到C的距離為2km，船B在燈塔C西偏北25且到C的距離為km，則A、B兩船的距離為(　D　) A．2km B．3km C．km D．km [解析]　如圖可知∠ACB＝85＋(90－25)＝150， AC＝2，BC＝， ∴AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos150＝13， ∴AB＝. 12．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68n mile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　A　) A．n mile/h B．34n mile/h C．n mile/h D．34n mile/h [解析]　如圖所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mile/h)． 13．如圖，貨輪在海上以40 km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為140的方向航行．為了確定船的位置，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110，航行 h到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是(　B　) A．10km B．10km C．15km D．15km [解析]　在△ABC中，BC＝40＝20(km)，∠ABC＝140－110＝30，∠ACB＝(180－140)＋65＝105， 則A＝180－(30＋105)＝45. 由正弦定理，得 AC＝＝＝10(km)． 二、填空題 14．海上一觀測(cè)站測(cè)得方位角240的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正東方有一艘海盜船正向它靠近，速度為每小時(shí)90n mile.此時(shí)海盜船距觀測(cè)站10n mile,20min后測(cè)得海盜船距觀測(cè)站20n mlie，再過min，海盜船到達(dá)商船. [解析]　如下圖，設(shè)開始時(shí)觀測(cè)站、商船、海盜船分別位于A、B、C處，20min后，海盜船到達(dá)D處，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得 cos∠ADC＝＝＝. ∴∠ADC＝60，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30， ∠BAD＝60－30＝30， ∴BD＝AD＝20，60＝(min)． 15.如圖，一艘船上午8︰00在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8︰30到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距4n mile，則此船的航行速度是16 n mile/h. [解析]　在△ABS中，∠A＝30，∠ABS＝105， ∴∠ASB＝45， ∵BS＝4，＝， ∴AB＝＝＝8， ∵上午8︰00在A地，8︰30在B地， ∴航行0.5小時(shí)的路程為8n mile， ∴此船的航速為16n mile/h. 三、解答題 16．海上某貨輪在A處看燈塔B，在貨輪北偏東75，距離為12n mile；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30，距離為8n mile；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B的方位角為120.求： (1)A處與D處的距離； (2)燈塔C與D處之間的距離． [解析]　由題意，畫出示意圖，如圖所示． (1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60，則B＝45. 由正弦定理，得 AD＝＝24(n mile) (2)在△ADC中，由余弦定理，得 CD2＝AD2＋AC2－2ADACcos30 ＝242＋(8)2－2248＝(8)2， ∴CD＝8(n mile) 答：A處與D處之間距離為24n mile，燈塔C與D處之間的距離為8n mile. 17．如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80m，于B處測(cè)得水深BE＝200m，于C處測(cè)得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值. [解析]　由題意可得DE2＝502＋1202＝1302， DF2＝1702＋302＝29800， EF2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos∠DEF＝.