高中數(shù)學(xué) 2_3 雙曲線第1課時(shí)同步精練 北師大版選修1-11

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高中數(shù)學(xué) 2.3 雙曲線第1課時(shí)同步精練 北師大版選修1-1 1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．雙曲線　　B．雙曲線的左支 C．一條射線 D．雙曲線的右支 2．在雙曲線中，＝，且雙曲線與橢圓4x2＋9y2＝36有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是(　　) A.－x2＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D．y2－＝1 3．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60，則|PF1||PF2|等于(　　) A．2 B．4 C． 6 D．8 4．已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(－12，－15)，則E的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 6．若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為(　　) A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C. D. 7．給出問題：F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離． 某學(xué)生的解答如下： 由||PF1|－|PF2||＝2a＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或|PF2|＝17. 該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確答案填在下面橫線上．________________________________ 8．已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為__________． 9．雙曲線－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為______． 10．求與雙曲線－＝1共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)的雙曲線方程． 11.某工程要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP運(yùn)到P處(如圖所示)，|PA|=100 m，|PB|=150 m，∠APB=60，試說明怎樣運(yùn)土才能最省工． 12．設(shè)有雙曲線－＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上． (1)若∠F1MF2＝90，求△F1MF2的面積； (2)若∠F1MF2＝120，△F1MF2的面積是多少？若∠F1MF2＝60，△F1MF2的面積又是多少？ (3)觀察以上計(jì)算結(jié)果，你能看出隨∠F1MF2的變化，△F1MF2的面積將怎樣變化嗎？試證明你的結(jié)論． 參考答案 1. 解析：本題容易犯片面性錯(cuò)誤，從而根據(jù)雙曲線的定義得出錯(cuò)誤結(jié)果．由于|PM|－|PN|＝4恰好等于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離，故其軌跡是一條射線． 答案：C 2. 解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)， ∴c＝.由＝，得a＝2，又雙曲線中c2＝a2＋b2，則b2＝1. 答案：B 3. 解析：在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|，即()2＝22＋|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝4. 答案：B 4. 解析：由題意，知圓C僅與x軸有交點(diǎn)， 由 得x2－6x＋8＝0. ∴x＝2或x＝4，即c＝4，a＝2. ∴雙曲線方程為－＝1. 答案：A 5. 解析：∵kAB＝＝1，∴直線AB的方程為y＝x－3. 由于雙曲線的焦點(diǎn)為F(3,0)，∴c＝3，c2＝9. 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 則－＝1. 整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝＝2(－12)，∴5a2＝4b2. 又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴雙曲線E的方程為－＝1. 答案：B 6. 解析：如圖所示，由c＝2得a2＋1＝4， ∴a2＝3， ∴雙曲線方程為－y2＝1. 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)(x≥)， 則＝(x，y)(x＋2，y) ＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥)． 令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，則g(x)在[，＋∞)上是增加的，g(x)min＝g()＝3＋2，∴的取值范圍為[3＋2，＋∞)． 答案：B 7. 解析：在雙曲線的定義中，||PF1|－|PF2||＝2a， 即|PF1|－|PF2|＝2a，正負(fù)號(hào)的取舍取決于P點(diǎn)的位置是在左支上還是在右支上． 因右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為10＞9，所以點(diǎn)P只能在雙曲線的左支上， ∴|PF2|＝17. 答案：|PF2|＝17 8. 解析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義，知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，故|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|，當(dāng)|PF1|＋|PA|最小時(shí)，|PF|＋|PA|最小．當(dāng)點(diǎn)A，P，F(xiàn)1共線時(shí)，|PF1|＋|PA|最小，最小值為|AF1|＝5，故所求最小值為9. 答案：9 9. 解析：設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n. ①當(dāng)m＞n時(shí)，由－＝1，知a＝3，b＝4， ∴c＝5. 由雙曲線的定義，知m－n＝2a＝6. ∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2為直角三角形， 即m2＋n2＝(2c)2＝100. 由m－n＝6，得m2＋n2－2mn＝36， ∴2mn＝m2＋n2－36＝64.∴mn＝32. 設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，則 S△PF1F2＝d|F1F2|＝|PF1||PF2|， 即d2c＝mn. ∴d＝＝＝， 即點(diǎn)P到x軸的距離為. ②當(dāng)m＜n時(shí)，同理可得點(diǎn)P到x軸的距離為. 答案： 10. 解：由于所求的雙曲線與已知的雙曲線共焦點(diǎn)，從而可設(shè)所求的雙曲線方程為－＝1. 由于點(diǎn)(，2)在所求的雙曲線上， 從而有－＝1. 整理，得k2＋10k－56＝0，∴k＝4或k＝－14. 又16－k＞0,4＋k＞0，∴－4＜k＜16. 從而得k＝4. 故所求雙曲線的方程為－＝1. 11. 解：如圖，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)M是分界線上的點(diǎn)， 則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是有 |MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.這說明這條分界線是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支． 在△APB中，由余弦定理，得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP||PB|cos 60=17 500. 從而a=25，c2==4 375， 所以b2=c2-a2=3 750. 所以所求分界線的方程為=1(x≥25)． 于是運(yùn)土?xí)r，將此雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工． 12. 解：設(shè)|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(不妨設(shè)r1＞r2)， θ＝∠F1MF2， ∵S△F1MF2＝r1r2sin θ，∴只要求r1r2即可， 因此考慮到雙曲線定義及余弦定理可求出r1r2. (1)由雙曲線方程知a＝2，b＝3，c＝， 由雙曲線定義，有r1－r2＝2a＝4， 兩邊平方得r＋r－2r1r2＝16， 即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF2， 求得S△F1MF2＝9. (2)若∠F1MF2＝120，在△MF1F2中，由余弦定理得， |F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 120＝(r1－r2)2＋3r1r2＝52， ∴r1r2＝12， 求得S△F1MF2＝r1r2sin 120＝3. 同理可求得若∠F1MF2＝60，S△F1MF2＝9. (3)由以上結(jié)果可見，隨著∠F1MF2的增大，△F1MF2的面積將減?。? 證明如下：S△F1MF2＝r1r2sin θ. 由雙曲線定義及余弦定理，有 ②－①得r1r2＝， ∴S△F1MF2＝＝b2cot . ∵0＜θ＜π，0＜＜，在內(nèi)，cot 是減函數(shù)． 因此當(dāng)θ增大時(shí)，S△F1MF2＝b2cot 減小．