高中數(shù)學(xué) 2_3 雙曲線第2課時同步精練 北師大版選修1-11

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高中數(shù)學(xué) 2.3 雙曲線第2課時同步精練 北師大版選修1-1 1．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　) A．2　　　　　B．　　　　　C．4　　　　　D． 2．設(shè)雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程3x82y＝0，則a的值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 3．中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，－2)，則它的離心率為(　　) A. B. C. D. 4．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．設(shè)P是雙曲線－＝1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點．若|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．1或5 B．6 C．7 D．9 6．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．3x4y＝0 B．3x5y＝0 C．4x3y＝0 D．5x4y＝0 7．已知雙曲線的中心在原點，一個頂點的坐標(biāo)為(3,0)，且焦距與虛軸長之比為5∶4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________． 8．若雙曲線的漸近線方程為y＝3x，它的一個焦點是(，0)，則雙曲線的方程是__________． 9．已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點與橢圓＋＝1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為__________；漸近線方程為__________． 10．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)虛軸長為12，離心率為； (2)兩頂點間的距離為6，漸近線方程為y＝x； (3)求與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程． 11．設(shè)雙曲線－＝1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2. (1)求此雙曲線的漸近線l1，l2的方程； (2)設(shè)A，B分別為l1，l2上的動點，且2|AB|＝5|F1F2|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 12．過雙曲線－＝1的右焦點F2且傾斜角為30的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1為左焦點． (1)求|AB|； (2)求△AOB的面積； (3)求證：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|. 參考答案 1. 解析：雙曲線方程可變形為－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4，故選C. 答案：C 2. 解析：雙曲線－＝1的漸近線方程為3xay＝0，與已知方程比較系數(shù)得a＝2. 答案：C 3. 解析：＝＝＝＝，∴e＝. 答案：D 4. 解析：圓心的坐標(biāo)是(3,0)，圓的半徑是2，雙曲線的漸近線方程是bxay＝0，根據(jù)已知得＝2，即＝2，解得b＝2，則a2＝5，故所求的雙曲線方程是－＝1.故選A. 答案：A 5. 解析：由漸近線的方程為y＝x，b＝3，得a＝2. 由雙曲線的定義，有||PF2|－|PF1||＝4. ∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)． 答案：C 6. 解析：如圖所示，由題意得|PF2|=|F1F2|=2c，|F2M|=2a.在△PF2M中，|PF2|2=|F2M|2+|PM|2，而|PM|=|PF1|.又∵|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF1|=2a+2c，即|PM|=a+c.∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2. 又c2=a2+b2，∴=， ∴漸近線方程為y=x，即4x3y=0. 答案：C 7. 解析：雙曲線的中心在原點，一個頂點的坐標(biāo)為(3,0)，則焦點在x軸上，且a＝3，焦距與虛軸長之比為5∶4，即c∶b＝5∶4. 又c2＝a2＋b2，解得c＝5，b＝4， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1. 答案：－＝1 8. 解析：由題意，得c＝＝，＝3， 由此解得b＝3，a＝1，故所求雙曲線的方程是x2－＝1. 答案：x2－＝1 9. 解析：橢圓＋＝1的焦點坐標(biāo)為(－4,0)，(4,0)， ∴雙曲線的焦點坐標(biāo)為(－4,0)，(4,0)，在雙曲線－＝1中，c＝4，e＝2，∴a＝2.∴b＝.∴漸近線方程為xy＝0. 答案：(4,0)　xy＝0 10. 解：(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)． 由題意，知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1. (2)設(shè)以y＝x為漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)． 當(dāng)λ＞0時，a2＝4λ，∴2a＝＝6.∴λ＝. 當(dāng)λ＜0時，a2＝－9λ， ∴2a＝＝6.∴λ＝－1. ∴雙曲線的方程為－＝1或－＝1. (3)設(shè)與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k(k≠0)． 將點M(2，－2)的坐標(biāo)代入，得k＝－(－2)2＝－2. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 11. 解：(1)由雙曲線的離心率e＝＝2，解得a2＝1，所以雙曲線的方程為y2－＝1，所以雙曲線的漸近線方程為xy＝0. (2)因為|F1F2|＝＝4,2|AB|＝5|F1F2|， 所以|AB|＝10.又因為A，B分別為l1，l2上的動點，設(shè)A(y1，y1)，B(－y2，y2)，所以|AB|＝＝10①. 設(shè)AB的中點為M(x，y)，則x＝，y＝.所以y1－y2＝x，y1＋y2＝2y. 代入①，得12y2＋x2＝100，即＋＝1為中點M的軌跡方程．中點M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上的橢圓． 12. (1)解：由雙曲線的方程得a＝，b＝，∴c＝＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，直線AB的方程為y＝(x－3)． 設(shè)A(x1，y2)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝. (2)解：直線AB的方程變形為x－y－3＝0. ∴原點O到直線AB的距離為d＝＝. ∴S△AOB＝|AB|d＝＝. (3)證明：由題意知，雙曲線的漸近線為y＝x，而直線AB的斜率為＜，故點A，B不可能同在右支上，假設(shè)點A在雙曲線左支上，點B在雙曲線右支上，由雙曲線的定義得 |AF2|－|AF1|＝，|BF1|－|BF2|＝， ∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|. 同理，若點A在雙曲線右支上，點B在雙曲線左支上，同樣成立．