高中數(shù)學 2_2 拋物線第2課時同步精練 北師大版選修1-11

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高中數(shù)學 2.2 拋物線第2課時同步精練 北師大版選修1-1 1．拋物線y2＝ax(a≠0)的準線是x＝－1，那么它的焦點坐標是(　　) A．(1,0)　　B．(2,0) C．(3,0) D．(－1,0) 2.如圖，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若++=0，則||＋||＋||等于(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 3．已知直線l過拋物線y2＝8x的焦點且與它交于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為3，則|AB|等于(　　) A．7　　　　　B．5　　　　　C．8　　　　　D．10 4．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝(　　) A． B．8 C． D．16 5．過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若點A，B在拋物線的準線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為(　　) A．45 B．60 C．90 D．120 6．對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件： ①焦點在y軸上； ②焦點在x軸上； ③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6； ④拋物線的通徑的長為5； ⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為(2,1)． 能使這條拋物線的方程為y2＝10x的條件是________(要求填寫適合條件的序號)． 7．有一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2＝x上，另一個頂點在原點，則這個三角形的邊長是______． 8．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準線l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個交點為B，若＝，則p＝________. 9．拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的方程． 10．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點K(－1,0)的直線l與C相交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為D. (1)求證：點F在直線BD上； (2)設＝，求直線l的方程． 11．已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點．求證： (1)x1x2為定值； (2)＋為定值． 參考答案 1. 解析：∵準線為x＝－＝－1，∴a＝4，即y2＝4x. ∴焦點坐標為(1,0)． 答案：A 2. 解析：由＋＋＝0，知F為△ABC的重心，由拋物線方程知，F(xiàn)(1,0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， ∴x1＋x2＋x3＝3. 又||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝3＋3＝6. 答案：A 3. 解析：焦點為F(2,0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝23＝6，所以|AB|＝|FA|＋|FB|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝10. 答案：D 4. 解析：直線AF的方程為y＝－(x－2)，聯(lián)立得y＝，所以點P的坐標為(6，)． 由拋物線的性質，得|PF|＝|PA|＝6＋2＝8. 答案：B 5. 解析：設拋物線的方程為y2=2px(p＞0)． 如圖，∵|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|， ∴∠AA1F=∠AFA1， ∠BFB1=∠FB1B. 又AA1∥Ox∥B1B， ∴∠A1FO=∠FA1A，∠B1FO=∠FB1B. ∴∠A1FB1=∠AFB=90. 答案：C 6. 解析：由拋物線的方程為y2＝10x，知它的焦點在x軸上， ∴②適合． 又∵拋物線的焦點坐標為F，原點O(0,0)， 設點P(2,1)，可得kPOkPF＝－1， ∴⑤也適合． 而①顯然不適合，通過計算可知③④不合題意． ∴應填序號為②⑤. 答案：②⑤ 7. 解析：有兩個頂點關于x軸對稱，進而得到兩邊所在直線的傾斜角是和. 可設三角形的邊長為a，x軸上方的頂點為，代入拋物線方程，得x0＝. 由a＝，得邊長a＝12. 答案：12 8. 解析：l：x＝－，過M(1,0)且斜率為的直線為y＝(x－1)．聯(lián)立 解得 ∴點A的坐標為. 又∵＝， ∴M點為AB的中點， ∴B點坐標為. 將B代入y2＝2px(p＞0)，得32＝2p， 解得p＝2或p＝－6(舍去)． 答案：2 9. 解：如圖，依題意設拋物線方程為y2=2px(p＞0)，則經過焦點且傾斜角為135的直線方程為y=-x+p. 設直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物線的定義，得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+， ∴x1++x2+=8.① 又點A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線和直線的交點， 由消去y，得x2－3px＋＝0. ∴x1＋x2＝3p.將其代入①，得p＝2. ∴所求拋物線的方程為y2＝4x. 當拋物線的方程設為y2＝－2px時，同理可求得拋物線的方程為y2＝－4x. 10. 解：設直線l與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點D的坐標為(x1，－y1)． 由題意，得l的方程為x＝my－1(m≠0)． (1)證明：將x＝my－1代入y2＝4x， 并整理，得y2－4my＋4＝0. 從而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.① 直線BD的方程為y－y2＝(x－x2)， 即y－y2＝. 令y＝0，得x＝＝1. 所以點F(1,0)在直線BD上． (2)由①知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1. 因為＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， 所以＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2， 故8－4m2＝，解得m＝. 所以l的方程為3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0. 11. 證明：(1)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，當直線的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(k≠0)． 由消去y，整理，得 k2x2－p(k2＋2)x＋＝0. 由根與系數(shù)的關系，得x1x2＝為定值． 當直線的斜率不存在，即AB⊥x軸時，x1＝x2＝，x1x2＝也成立． ∴x1x2為定值. (2)當直線的斜率存在時，由拋物線的定義知，|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋. ∴＋＝＋ ＝＝ ＝＝為定值． 當直線的斜率不存在，即AB⊥x軸時，|FA|＝|FB|＝p，上式也成立． ∴＋為定值.