高中數(shù)學 2_2 拋物線第1課時同步精練 北師大版選修1-11

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高中數(shù)學 2.2 拋物線第1課時同步精練 北師大版選修1-1 1．拋物線y2＝4x的焦點坐標為(　　) A．(0,1) B．(1,0) C．(0,2) D．(2,0) 2．某河上有拋物線形拱橋，當水面距拱頂6 m時，水面寬10 m，則拋物線的方程可能是(　　) A．x2＝－y B．x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝－y 3．拋物線x2＝y(tǒng)上的一點M到焦點的距離為1，則點M到x軸的距離是(　　) A. B. C．1 D. 4．拋物線y2＝24ax(a＞0)上有一點M，它的橫坐標是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x 5．拋物線y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點，F(xiàn)是焦點，|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則(　　) A．x1，x2，x3成等差數(shù)列 B．x1，x3，x2成等差數(shù)列 C．y1，y2，y3成等差數(shù)列 D．y1，y3，y2成等差數(shù)列 6．設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x 7．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，|AF|＝2，則|BF|＝__________. 8．在平面直角坐標系xOy中，有一定點A(2,1)．若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，則該拋物線的準線方程是__________． 9．若點P到點(1,0)的距離比到直線x＋2＝0的距離小1，則點P的軌跡方程是________． 10.如圖，AB為拋物線y=x2上的動弦，且|AB|=a(a為常數(shù)，且a≥1)，求弦AB的中點M與x軸的最近距離． 11．求滿足下列條件的拋物線的標準方程． (1)焦點在直線3x＋4y－12＝0上； (2)焦點是(－2,0)； (3)準線是y＝－； (4)焦點到準線的距離是2； (5)焦點到直線x＝－5的距離是8. 12．某河上有座拋物線形拱橋，當水面距拱頂5 m時，水面寬8 m，一木船寬4 m，高2 m，載貨后此船露在水面上的部分高為m，問水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？ 參考答案 1. 解析：(直接計算法)因為p＝2，所以拋物線y2＝4x的焦點坐標為(1,0)，應選B. 答案：B 2. 答案：A 3. 解析：由準線方程為y＝－，可知M到準線的距離為1，∴點M到x軸的距離等于1－＝. 答案：D 4. 解析：由題意知，3＋6a＝5，∴a＝，∴拋物線方程為y2＝8x. 答案：A 5. 解析：由定義，知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|CF|＝x3＋. ∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列， ∴2＝＋， 即2x2＝x1＋x3.故選A. 答案：A 6. 解析：由已知可得拋物線y2＝ax的焦點F的坐標為.過焦點且斜率為2的直線方程為y＝2，令x＝0得y＝－，故點A的坐標為.由題意可得＝4，∴a2＝64，∴a＝8. 答案：B 7. 解析：設點A的坐標為(x，y)． 因為|AF|＝2，所以x－(－1)＝2， 所以x＝1.所以A(1，2)． 又點F的坐標為(1,0)，所以|BF|＝|AF|＝2. 答案：2 8. 解析：OA的垂直平分線交x軸于點，此為拋物線的焦點，故準線方程為x＝－. 答案：x＝－ 9. 解析：(方法1)設點P的坐標為(x，y)，由題意得＋1＝|x＋2|， ∴＝|x＋2|－1＝x＋1. 兩邊平方得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2， ∴x2－2x＋1＋y2＝x2＋2x＋1，∴y2＝4x，∴點P的軌跡方程為y2＝4x. (方法2)由題意可知，點P到點(1,0)的距離比到直線x＋2＝0的距離小1， ∴點P到點(1,0)與到x＋1＝0的距離相等． 故點P的軌跡是以(1,0)為焦點，x＋1＝0為準線的拋物線，其方程為y2＝4x. 答案：y2＝4x 10. 解：設點A，M，B的縱坐標分別為y1，y2，y3.A，M，B三點在拋物線準線上的射影分別為A′，M′，B′(如圖)． 由拋物線的定義，得 |AF|＝|AA′|＝y(tǒng)1＋＝y(tǒng)1＋， |BF|＝|BB′|＝y(tǒng)3＋＝y(tǒng)3＋， ∴y1＝|AF|－，y3＝|BF|－. 又M是線段AB的中點， ∴y2＝(y1＋y3)＝≥＝.等號在AB過焦點F時成立，即當定長為a的弦AB過焦點F時，M點與x軸的距離最小，最小值為. 11. 解：(1)直線與坐標軸的交點為(4,0)和(0,3)，故拋物線有兩種情況： 焦點為(4,0)時，＝4，∴p＝8，∴方程為y2＝16x； 焦點為(0,3)時，＝3，∴p＝6，∴方程為x2＝12y. 故所求方程為y2＝16x或x2＝12y. (2)焦點為(－2,0)，∴＝2，∴p＝4，∴方程為y2＝－8x. (3)準線為y＝－，∴＝，∴p＝3，開口向上，∴方程為x2＝6y. (4)由于p＝2，開口方向不確定，故有四種情況． ∴方程為y2＝4x或y2＝－4x或x2＝4y或x2＝－4y. (5)焦點在x軸上，設為(x0,0)，∴|x0＋5|＝8，∴x0＝3或x0＝－13， ∴焦點為(3,0)或(－13,0)，∴＝3或－13，∴p＝6或－26. ∴方程為y2＝12x或y2＝－52x. 12. 解：以拱橋的拱頂為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意知，點A(4，－5)在拋物線上(設AA′為水面寬，且AA′＝8 m)，所以16＝－2p(－5),2p＝，所以拋物線方程為x2＝－y(－4≤x≤4)，設水面上漲到船面兩側(cè)與拱橋接觸于B，B′(B′與B關(guān)于y軸對稱)時，船開始不能通航，設B點坐標為(2，y)，由22＝－y，得y＝－，此時水面與拋物線拱頂相距|y|＋＝＋＝2(m)． 故水面上漲到與拱頂相距2 m時，船開始不能通航．