高中數(shù)學(xué) 1_2 充分條件與必要條件同步精練 北師大版選修1-11

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高中數(shù)學(xué) 1.2 充分條件與必要條件同步精練 北師大版選修1-1 1．設(shè)命題甲為0＜x＜5，命題乙為|x－2|＜3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．設(shè)集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么點(diǎn)P(2,3)∈[A∩(UB)]的充要條件是(　　) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 3．已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列結(jié)論中正確的是(　　) ①Δ＝b2－4ac≥0是這個(gè)方程有實(shí)根的充分條件； ②Δ＝b2－4ac≥0是這個(gè)方程有實(shí)根的必要條件； ③Δ＝b2－4ac＝0是這個(gè)方程有實(shí)根的充分條件． A．③ B．①② C．①②③ D．②③ 4．下面命題中是真命題的是(　　) A．x＞2，且y＞3是x＋y＞5的充要條件 B．A∩B≠是AB的充分條件 C．b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R的充要條件 D．一個(gè)三角形的三邊滿足勾股定理的充要條件是此三角形為直角三角形 5．已知p：x≠3，且y≠2，q：x＋y≠5，則p是q的______條件． 6．已知p：ABS，q：(SB)(SA)，則p是q的______條件． 7．平面向量a，b共線的充要條件是________．(填序號(hào)) ①a，b方向相同； ②a，b兩向量中至少有一個(gè)為零向量； ③存在λ∈R，b＝λa； ④存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 8．已知條件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，條件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}，若條件p是條件q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 9．求證：若a2＋b2＝c2，則a，b，c不可能都是奇數(shù)． 10．兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}，滿足bn＝(n∈N＋)． 證明：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列． 參考答案 1. 分析：先解不等式再判斷． 解析：由不等式|x－2|＜3，得－1＜x＜5. ∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5， ∴甲是乙的充分不必要條件． 答案：A 2. 解析：UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}， ∵點(diǎn)P(2,3)∈[A∩(UB)]， ∴(2,3)∈A，且(2,3)∈UB，即22－3＋m＞0，且2＋3－n＞0， ∴m＞－1，n＜5. 答案：A 3. 解析：Δ＝b2－4ac≥0是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根的充要條件． ∵當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩相異實(shí)根； Δ＝b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩相等實(shí)根，故上述結(jié)論均正確． 答案：C 4. 解析：對(duì)于選項(xiàng)A，x＞2，且y＞3x＋y＞5，但x＋y＞5未必能推出x＞2，且y＞3，如x＝0，且y＝6滿足x＋y＞5，但不滿足x＞2，故A為假命題． 對(duì)于選項(xiàng)B，A∩B≠未必能推出AB，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，故B為假命題． 對(duì)于選項(xiàng)C，例如一元二次不等式－2x2＋x－1＞0的解集為，但滿足b2－4ac＜0，故C為假命題． 答案： D 5. 解析：原命題等價(jià)于判斷“x＋y＝5”是“x＝3或y＝2”的什么條件，所以p是q的既不充分也不必要條件． 答案：既不充分也不必要 6. 解析：利用集合的圖示法，如下圖，ABS (SB)(SA)，(SB)(SA) ABS. ∴p是q的充分條件，也是必要條件，即p是q的充要條件． 答案：充要 7. 解析：對(duì)于①，a，b方向相同時(shí)，a，b共線，但a，b共線時(shí)，a，b不一定方向相同，因此①不是充要條件．若a，b兩向量中至少有一個(gè)為零向量，則a，b共線；但a，b共線時(shí)，a，b可能都是非零向量，如a＝(1,2)，b＝(2,4)，從而②不是充要條件．當(dāng)b＝λa時(shí)，a，b一定共線；但a， b共線時(shí)，若b≠0，a＝0，則b＝λa就不成立，從而③也不是充要條件．對(duì)于④，假設(shè)λ1≠0，則a＝－b，因此a，b共線；反之，若a，b共線且為非零向量時(shí)，則存在非零實(shí)數(shù)m，n使a＝b，即ma－nb＝0，令λ1＝m，λ2＝－n，則λ1a＋λ2b＝0；若a，b中存在零向量時(shí)，顯然成立． 答案：④ 8. 解：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}． (1)當(dāng)a≥時(shí)，B＝{x|2≤x≤3a＋1}； (2)當(dāng)a＜時(shí)，B＝{x|3a＋1≤x≤2}． 因?yàn)閜是q的充分條件，所以AB，于是有 解得1≤a≤3. 或解得a＝－1. 所以a的取值范圍為{a|1≤a≤3或a＝－1}． 9. 證明：若a，b，c都是奇數(shù)， 設(shè)a＝2m－1，b＝2n－1，c＝2p－1，m，n，p∈Z， 則a2＋b2＝(2m－1)2＋(2n－1)2 ＝2(2m2＋2n2－2m－2n＋1)，為偶數(shù)． 而c2＝(2p－1)2＝4p2－4p＋1＝4(p2－p)＋1，為奇數(shù)，∴a2＋b2≠c2. ∴原命題的逆否命題“若a，b，c都是奇數(shù)，則a2＋b2≠c2”為真命題．∴原命題為真命題． 即“若a2＋b2＝c2，則a，b，c不可能都是奇數(shù)”成立． 10. 證明：必要性： 由已知得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)bn① 于是有a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n(n－1)bn－1(n≥2)．② ①－②整理得 an＝(n＋1)bn－(n－1)bn－1(n≥2)． 設(shè){bn}的公差為d，由已知得a1＝b1， 所以an＝(n＋1)[a1＋(n－1)d]－(n－1)[a1＋(n－2)d]＝[(n＋1)a1＋(n＋1)(n－1)d－(n－1)a1－(n－1)(n－2)d]＝a1＋(n－1)， 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為的等差數(shù)列． 充分性： 由已知得n(n＋1)bn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan.(*) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝a1＋2(a1＋d)＋3(a1＋2d)＋…＋n[a1＋(n－1)d] ＝a1(1＋2＋3＋…＋n)＋d(22－2＋32－3＋…＋n2－n) ＝a1＋d ＝a1＋d. 再結(jié)合(*)式得bn＝a1＋(n－1)d. 故數(shù)列{bn}是以a1為首項(xiàng)，以d為公差的等差數(shù)列． 綜上，{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．