第二講圓冪定理

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1、黃金數(shù)學(xué)組 專注專業(yè) 彰顯權(quán)威 堅持 執(zhí)著 高效 調(diào)節(jié) 反思 總結(jié) 第三講 直線與圓的位置關(guān)系 一、 知識掃描 （一）、直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表： （二）、切線的性質(zhì)及判定 1、切線的性質(zhì) （1） 定理：圓的切線垂直于過切點的半徑． 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點． 推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． （2） 注意：這個定理共有三個條件，即一條直線滿足：①垂直于切線②過切點③過圓心 ①過圓心，過切點垂直于切線．過圓心，過切點，則． ②過圓心，垂直于切線過切點．過圓心，，

2、則過切點． ③過切點，垂直于切線過圓心．，過切點，則過圓心． 2、切線的判定 （1） 定義法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線； （2） 距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； （3） 定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 注意：定理的題設(shè)是①“經(jīng)過半徑外端”，②“垂直于半徑”，兩個條件缺一不可；定理的結(jié)論是“直線是圓的切線”．因此，證明一條直線是圓的切線有兩個思路：①連接半徑，證直線與此半徑垂直；②作垂直，證垂直在圓上． 3、切線長和切線長定理 （1） 切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這

3、點到圓的切線長． （2） 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角． 二、 考點聚焦 考點題型1、直線與圓位置關(guān)系的確定 例1、在中，，，，以點為圓心，為半徑的圓和有怎樣的位置關(guān)系？為什么？ ⑴ ；⑵；⑶． 例2、如圖，已知⊙是以數(shù)軸的原點為圓心，半徑為1的圓，，點在數(shù)軸上運動，若過點且與平行的直線與⊙有公共點，設(shè)，則的取值范圍是 A．≤≤ B．≤≤ C．－1≤≤1 D．＞ 例3、如下左圖，在直角梯形中，，，且，是的直徑，則直線與的位置關(guān)系為( ) A．相離 B．相切 C．相

4、交 D．無法確定 鞏固練習(xí)： 如圖，是半圓的直徑，點是半圓上的一點，過點作的切線，，，，那么直線與以點為圓心，為半徑的圓的位置關(guān)系是 ． 考點題型2、切線的性質(zhì)與判斷 例4、（1）如圖，中，，以上一點為圓心作與相切，又與的另一交點為，則線段的長為_____________． （2）是圓的直徑，是它的弦，過作圓的切線，過作交于，求證：． 例5、已知：如圖，在中，，以為直徑的半圓與邊相交于點，切線，垂足為點．求證：（1）是等邊三角形；（2）． 鞏固練習(xí)： 在中，，是邊上一點，以為直徑的與邊相切于點，

5、連結(jié)并延長，與的延長線交于點． （1）求證：； （2）若，求的面積． 例6、（1）如圖，為等腰三角形，，是底邊的中點，與腰相切于點，求證與相切． （2） 已知：如圖，內(nèi)接于，是過的一條射線，且．求證：是的切線． （3）如下圖所示，以的直角邊為直徑作半圓，交斜邊于，交于，求證：是的切線； （4）如圖，已知AB為⊙O的弦，C為⊙O上一點，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B． ①求證：AD是⊙O的切線． ②若⊙O的半徑為3，AB=4，求AD的長． 鞏固練習(xí)： 1、如圖所示在中，，的平分線交于，為上一點，，以為圓心，以的長為半徑

6、畫圓．求證：（1）是的切線；（2）． 2、如圖，是的直徑，點在圓上，于．在延長線上，且．求證：是的切線． 3、如圖，是的外接圓，，點是圓外一點，切于點，且． （1）求證：是的切線． （2）已知，求的半徑． 考點題型3、切線長定理 例7、（1）如圖，已知以直角梯形的腰為直徑的半圓與梯形 上底、下底以及腰均相切，切點分別是．若半圓 的半徑為，梯形的腰為，則該梯形的周長是________． （2）如圖，分別切于，若，周長為，求的半徑． （3）如圖，是的內(nèi)切圓，是切點，，又直線切于，交于，則的周長為______________． 鞏固練習(xí)：

7、 1、等腰梯形外切于圓，且中位線的長為，那么這個等腰梯形的周長是________． 2、如圖，切于，切于，交于兩點，已知，求的周長． 例8、（1）如圖，以正方形的邊為直徑作半圓, 過點作直線切半圓于點, 交邊于點. 則三角形和直角梯形周長之比為________． （2）梯形中，是上一點，以為圓心的半圓與都相切。已知，求的長。 例9、（1）如圖, 是⊙直徑, 于,交⊙于,切⊙于,交于.求證① ;② （2）（2012?岳陽）如圖，為半圓的直徑，分別切⊙O于兩點，切⊙O于點與相交于與相交于，連接，對于下列結(jié)論：①；

8、②；③④；⑤，其中正確的是________． 綜合提升 例10、如圖，為的直徑，是的中點，交的延長線于，的切線交的延長線于點． （1）求證：是的切線； （2）若，的半徑為，求的長． 例11、已知，如圖在矩形中，點在對角線上，以長為半徑的圓與分別交于點，． （1）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）若，求的半徑． 例12、已知：在中，是直徑，是弦，于點，過點作直線，使，交的延長線于點． （1）求證：是的切線； （2）設(shè)與相交于點，若，求半徑的長； （3）在（2）的條件下，當(dāng)時，求圖中陰影部分的面積．

9、 例13、如圖，已知是的直徑，點在上，過點的直線與的延長線交于點，，． （1）求證：是的切線； （2）求證：； （3）點是弧的中點，交于點，若，求的值． 對應(yīng)練習(xí)： 1、如圖，已知是正方形對角線上一點，以為圓心、長為半徑的與相切于，與、分別相交于、． （1）求證：與相切． （2）若正方形的邊長為，求的半徑． 2、如圖，是的的直徑，于點，連接交于點，弦，弦于點． （1）求證：點是的中點； （2）求證：是的切線； （3）若，的半徑為，求的長． 3、如圖，是的直徑，，是上一點，過作的垂線交于點，交的延長線于點，直線交于點，且．

10、 （1）證明是的切線； （2）設(shè)的半徑為，且，求的長． 第四講 圓冪定理 一、知識掃描 1、弦切角定理 ⑴定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。 ⑵弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。 如圖，PA是⊙O的切線，A是切點，AB是弦，則∠PAB＝∠ACB。 證明： 2、相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦被交點分成的兩條線段長的乘積相等。 即： 證明： 3、切割線定理： 從圓外一點引圓的切線和割線，切

11、線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 4、割線定理： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。 如圖，PT是⊙O的切線，T是切點，PAB、PCD是割線，則PT2＝PA·PB，PA·PB＝PC·PD。 證明： 小結(jié)：（圓冪定理） 過圓所在平面內(nèi)任一點作直線，與圓交于兩點，則點與圓上兩點的距離之乘積等于點心距與半徑的平方差的絕對值. 即 (因叫做點對于⊙O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理)． 二、方法技能平臺 例1、（1）已知：如圖 ，、切⊙于兩點，為直徑，則圖中與相等的角的個數(shù)為

12、 ． （2） 已知：如圖，直線切⊙于點，，，那么 ． （3） 如圖，為⊙直徑，切⊙于點，，為垂足，，則__________;_________. （4） 已知：如圖，三角形的，內(nèi)切圓與的三邊分別切于，，三點，，那么 ． 對應(yīng)練習(xí)： 如圖，內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，∠B＝35°，MN是過A點的切線，則∠C＝____，∠CAM＝ 。 例2、(1)如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線MN切⊙O于點C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延長線交MN于點P，求證：。 (2)已知：內(nèi)接于⊙O， AE切⊙O于A，BD

13、平分∠ABC交⊙O于D，交AE于E，DF⊥AE于F，求證：①;②. (3)如圖，、切⊙于、，為割線。求證： 拔高訓(xùn)習(xí)： 如圖，為圓的切線，為切點，為割線，的平分線交于點，交于點． 求證：（1）；（2）；（3）若是上的點，交于，且，試確定點在上的位置，并證明你的結(jié)論． 例3、（1）如圖，⊙O的弦AB與CD相交于點P，PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm，那么PD＝_____cm。 （2）如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OC相交于點M，且OM＝MC，若AM＝

14、1.5，BM＝4，則OC的長為____。 ⑶如圖，在⊙O中，P為弦AB上一點，PO⊥PC，PC交⊙O于C，那么( ) A． B． C． D． （4）如圖，在直徑為的半圓上有兩動點，弦相交于點，則 例4、如圖，和是的半徑，并且是上任一點，的延長線交于點，過點的的切線交延長線于點． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若，試求的長． 對應(yīng)練習(xí)： 如圖，內(nèi)接于⊙O，的延長線與過點的切線相交于點與相交于點，且． 求證：（1）； （2）． 例5、（1）如圖，點是⊙O的直徑延長線上一點，與相切于點，，垂足為，連接，那么下列結(jié)論中：

15、 ①； ②； ③． 正確的有________________ （2） 已知如圖，的內(nèi)接四邊形，、的延長線交于點，切于點，，則__________;__________. （3） 如圖，兩圓相交于C、D，AB為公切線，AB＝12，CD＝9，則MD＝__________. 例6、如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，P是BA延長線上的點，連結(jié)PC交⊙O于F，如果PF＝7，F(xiàn)C＝13，且PA∶AE∶EB＝2∶4∶1，那么CD的長是________。 例7、如圖，AC是⊙O的直徑，OB⊥AC，M是AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過N點的切線交CA得延長線于P， ①求證：; ②若⊙O的半徑為，,求的周長. 例8、如圖，PA是⊙O的切線，從PA的中點B作割線BCD，分別交⊙O于C、D，連結(jié)PC、PD，分別交⊙O于E、F，求證：∠APD＝∠EFD。 例9、如圖，已知是⊙O直徑延長線上一點，割線交⊙O于、兩點，弦于，交于點； (1)連接，求證： (2)求證：； (3)若，⊙O的半徑為，求的長。 （備用圖） - 17 -