人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案：第二章2.2直接證明與間接證明

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1、人教版高中數(shù)學(xué)精品資料第1課時綜合法和分析法核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P36P41的內(nèi)容，回答下列問題(1)閱讀教材P36“已知a，b0，求證a(b2c2)b(c2a2)4abc”的證明過程，思考下列問題：該題的條件和結(jié)論各是什么？提示：條件：a，b0；結(jié)論：a(b2c2)b(c2a2)4abc.本題的證明過程是從“已知條件”出發(fā)，還是從“要證明的結(jié)論”出發(fā)？即證明該題的順序是什么？提示：本題是從已知條件a，b0出發(fā)，借助基本不等式證明待證結(jié)論的(2)閱讀教材中證明基本不等式“(a0，b0)”的過程，回答下列問題：該證明過程是從“條件”還是從“結(jié)論”開始證明的？提示：從

2、結(jié)論開始證明的該證明過程是綜合法嗎？提示：不是該證明過程的實(shí)質(zhì)是尋找使結(jié)論成立的什么條件？提示：充分條件2歸納總結(jié)，核心必記(1)綜合法綜合法的定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法的框圖表示(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論)(2)分析法分析法的定義從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明的方法叫做分析法分析法的框圖表示問題思考(1)綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹

3、推理？提示：綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，它們的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”(2)綜合法與分析法有什么區(qū)別？提示：綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч?；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因(3)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，求證：8.證明過程如下：a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1.10，10，10，8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號，不等式成立這種證明方法是綜合法還是分析法？提示：綜合法課前反思(1)綜合法的定義是什么？如何用框圖表示綜合法？；(2)分析法的定義是什么？如何用框圖表示分析法？.

4、講一講1設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1.嘗試解答(1)由a2b22ab，b2c2 2bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.利用綜合法證明問題的步驟(1)分析條件選擇方向：仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法(2)轉(zhuǎn)化條件組織過程：把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字

5、、符號、圖形三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化，組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路(3)適當(dāng)調(diào)整回顧反思：解題后回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選取練一練1已知xyzm.求證：x2y2z2.證明：xyzm，(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)m2.又x2y22xy，y2z22yz，z2x22xz，2(x2y2z2)2(xyyzzx)，即x2y2z2xyyzzx，m2x2y2z22(xyyzzx)3(x2y2z2)x2y2z2.思考1分析法的證明過程是什么？名師指津：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理的過程，實(shí)際上是尋找使

6、結(jié)論成立的充分條件思考2分析法的書寫格式是什么？名師指津：分析法的書寫格式是：“要證，只需證，只需證，由于顯然成立(已知，已證)，所以原結(jié)論成立”其中的關(guān)聯(lián)詞語不能省略講一講2已知a0，求證： a2.嘗試解答要證 a2.只需證 2a.因?yàn)閍0，故只需證22，即a244a2222，從而只需證2，只需證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立 (1)當(dāng)問題的證明用綜合法不易尋找思路時，可從待證的結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后得到一個明顯成立的條件，從而得原問題成立(2)含有根號、絕對值的等式或不等式的證明，若從正面不易推導(dǎo)時，可以考慮用分析法(3)書寫形式：要證，只需證，

7、即證，然后得到一個明顯成立的條件，所以結(jié)論成立練一練2當(dāng)a2時，求證：.證明：要證，只需證，只需證()2()2，只需證a1a22aa12，只需證，只需證(a1)(a2)a(a1)，即證20，而20顯然成立，所以成立講一講3已知a，b，c表示ABC的三邊長，m0，求證：.先用分析法將要證明的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用綜合法證明嘗試解答要證明.只需證明0即可而.因?yàn)閍0，b0，c0，m0，所以(am)(bm)(cm)0.因?yàn)閍(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(ab

8、c)m2.因?yàn)锳BC中任意兩邊之和大于第三邊，所以abc0，所以(abc)m20，所以2abmabc(abc)m20，所以.對于比較復(fù)雜的證明題，常用分析綜合法，即先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件之間的關(guān)系，找到解決問題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或在證明過程中將兩種方法交叉使用練一練3已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0x1.求證：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.證明：要證logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要證明logxlogx(abc)，由0xabc.由基本不等式得0，0，0，又a，b，c是不全相等的正數(shù)，abc.即abc成立logxlogx

9、logxlogxalogxblogxc成立課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是綜合法和分析法的應(yīng)用，難點(diǎn)是分析綜合法的應(yīng)用2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)利用綜合法解決問題，見講1；(2)利用分析法解決問題，見講2；(3)利用分析綜合法解決問題，見講3.3在利用分析法證明問題時，一定要恰當(dāng)使用好“要證”、“只需證”、“即證”等詞語，這也是本節(jié)課的易錯點(diǎn)課下能力提升(五)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1綜合法的應(yīng)用1在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，則ABC一定是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形解析：選C由sin Asin Bcos Acos B得cos Acos

10、Bsin Asin B0，即cos(AB)0，cos C0，cos C0，從而角C必為鈍角，ABC一定為鈍角三角形2使不等式1成立的正整數(shù)a的最大值是()A13 B12 C11 D10解析：選B由1得a(1)2.而(1)23812221242412.68.因此使不等式成立的正整數(shù)a的最大值為12.3在銳角ABC中，已知3b2asin B，且cos Bcos C，求證：ABC是等邊三角形證明：ABC為銳角三角形，A，B，C，由正弦定理及條件，可得3sin B2sin Asin B.B，sin B0.32sin Asin A.A，A.又cos Bcos C，且B，C.BC.又BC，ABC.從而AB

11、C是等邊三角形題組2分析法的應(yīng)用4. 0 Bab0且abCab0且ab Dab(ba)0解析：選D ，()3()3，ab33ab， ，ab2a2b，ab(ba)1)，證明方程f(x)0沒有負(fù)實(shí)根嘗試解答假設(shè)方程f(x)0有負(fù)實(shí)根x0，則x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，這與x0180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯誤所以一個三角形不能有兩個直角假設(shè)ABC中有兩個直角，不妨設(shè)A90，B90.上述步驟的正確順序?yàn)開答案：3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可

12、能成為等比數(shù)列解：(1)設(shè)公差為d，由已知得解得d2，故an2n1， Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.又p，q，rN*，所以所以2pr.(pr)20，所以pr，這與pr矛盾所以數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列題組2用反證法證明“至多”、“至少”型命題4用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時，假設(shè)正確的是()A假設(shè)三內(nèi)角都不大于60B假設(shè)三內(nèi)角都大于60C假設(shè)三內(nèi)角至少有一個大于60D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60解

13、析：選B“至少有一個”即“全部中最少有一個”5設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足abc1，則a、b、c中至少有一個數(shù)不小于_解析：假設(shè)a、b、c都小于，則abc1與abc1矛盾故a、b、c中至少有一個不小于.答案：6若x0，y0，且xy2，求證：與中至少有一個小于2.解：假設(shè)與都不小于2，即2，2.又x0，y0，1x2y,1y2x.兩式相加得2xy2(xy)，即xy2.這與已知xy2矛盾所以假設(shè)不成立，所以與中至少有一個小于2.題組3用反證法證明“唯一性”命題7用反證法證明命題“關(guān)于x的方程axb(a0)有且只有一個解”時，反設(shè)是關(guān)于x的方程axb(a0)()A無解 B有兩解C至少有兩解 D無解或至少有兩解

14、解析：選D“唯一”的否定上“至少兩解或無解”8“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的否定正確的為()Aa，b，c都是奇數(shù)Ba，b，c都是偶數(shù)Ca，b，c中至少有兩個偶數(shù)Da，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)解析：選D自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個都是奇數(shù)；(2)2個奇數(shù)，1個偶數(shù)；(3)1個奇數(shù)，2個偶數(shù)；(4)3個都是偶數(shù)所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)9求證：兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)證明：因?yàn)閮芍本€為相交直線，故至少有一個交點(diǎn)，假設(shè)兩條直線a，b不只有一個交點(diǎn)，則至少有兩個交點(diǎn)A和B，這樣同時經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線就有兩條，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線

15、”相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)能力提升綜合練1用反證法證明命題“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除 Da，b有1個不能被5整除解析：選B用反證法只否定結(jié)論即可，而“至少有一個”的反面是“一個也沒有”，故B正確2有以下結(jié)論：已知p3q32，求證pq2，用反證法證明時，可假設(shè)pq2；已知a，bR，|a|b|2.故的假設(shè)是錯誤的，而的假設(shè)是正確的3設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個數(shù)a，b，c()A都大于2 B至少有一個大于2C至少有一個不大于2 D至少有一個不小于2解析：選D因?yàn)閍

16、、b、c都是正數(shù)，則有6.故三個數(shù)中至少有一個不小于2.4已知數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式分別為anan2，bnbn1(a，b是常數(shù))，且ab，那么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個數(shù)有()A0個 B1個 C2個 D無窮多個解析：選A假設(shè)存在序號和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在n使得anbn，由題意ab，nN*，則恒有anbn，從而an2bn1恒成立，不存在n使得anbn.5已知平面平面直線a，直線b，直線c，baA，ca，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)_解析：空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：異面、平行、相交，應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交答案：b與c平行或相交6完成反證法證題的全過程題目：設(shè)a

17、1，a2，a7是1,2，7的一個排列，求證：乘積p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)_0.這與0為偶數(shù)矛盾，說明p為偶數(shù)解析：證明過程應(yīng)為：假設(shè)p為奇數(shù)，則有a11，a22，a77均為奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.這與0為偶數(shù)矛盾，說明p為偶數(shù)答案：a11，a22，a77(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)7設(shè)a，b是異面直線，在a上任取兩點(diǎn)A1，A2，在b上任取兩點(diǎn)B1，B2，試證：A1B1與A2B2也是異面直線證明：假設(shè)A1B1與A2B2不是異面直線，則A1B1與A2B2可以確定一個平面，點(diǎn)A1，A2，B1，B2都在平面內(nèi)，于是A1A2，B1B2，即a，b，這與已知a，b是異面直線矛盾，所以假設(shè)錯誤所以A1B1與A2B2也是異面直線8用反證法證明：對于直線l：yxk，不存在這樣的非零實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2y21的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線yx對稱證明：假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yx對稱，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)M在直線yx上，由得2x22kx1k20.x1x2k，可得M.這與M在直線yx上矛盾所以假設(shè)不成立，故不存在非零實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yx對稱