高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2_1_1 合情推理課件 新人教A版選修1-2

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1、 第 二 章 推理與證明 2.1合情推理與演繹推理2.1.1 合 情 推 理 自主學(xué)習(xí)新知突破 1了解歸納推理的含義與特點(diǎn)，掌握歸納推理的一般步驟，能利用歸納推理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題2了解類比推理的含義與特點(diǎn)，掌握類比推理的一般步驟，能利用類比推理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題3了解合情推理的含義以及合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 問(wèn)題1我們熟知的三國(guó)演義第34回草船借箭中諸葛亮“先生”的推理過(guò)程是怎樣的呢？ 問(wèn)題2蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鱷魚，海龜，蜥蜴都是爬行動(dòng)物，所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的嗎？ 提示2是所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的 問(wèn)題3觀察下圖 由平面內(nèi)的

2、圓，我們聯(lián)想到空間里的球，讓它們來(lái)類比你能找到它們有哪些類似的特征？提示3魯班類比草葉的邊緣發(fā)明了鋸，平面中的圓與空間中的球有類似的特征 歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的_具有某些特征，推出該類事物的_都具有這些特征的推理，或者由_概括出_的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)由兩類對(duì)象具有某些_特征和其中一類對(duì)象的某些_，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)特征歸納推理是由_、由_的推理類比推理是由_的推理部分對(duì)象全部對(duì)象個(gè)別事實(shí)一般結(jié)論類似已知特征部分到整體個(gè)別到一般特殊到特殊 合情推理觀察 分析 比較聯(lián)想歸納 類比 猜想 1歸納推理的特點(diǎn)和一般步驟：(

3、1)歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)有以下特點(diǎn)：歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍；歸納是依據(jù)若干已知的，沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)；歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)上的 (2)歸納推理的一般步驟：通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)一般地，如果歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題就可能為真 2類比推理的特點(diǎn)(1)類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠

4、(2)類比推理以舊的知識(shí)作基礎(chǔ)，推測(cè)新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能，類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中具有重要作用，但必須明確，類比并不等于論證(3)由于類比推理的前提是兩類對(duì)象之間具有某些可以清楚定義的類似特征，所以進(jìn)行類比推理的關(guān)鍵是明確地指出兩類對(duì)象在某些方面的類似特征 3類比推理的一般步驟 1把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫作三角形數(shù)，如圖所示，則第七個(gè)三角形數(shù)是()A27B28C29 D30 3在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1 2，則它們的面積比為1 4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1 2，則它們的體積比為_解析：由題意知，在平面上，兩個(gè)正三角形的面積比是邊長(zhǎng)比的平方由類比推理

5、知：體積比是棱長(zhǎng)比的立方即可得它們的體積比為18.答案：1 8 合作探究課堂互動(dòng) 圖形中的歸納推理如圖所示，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，將圓最多分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分 (1)在圓內(nèi)畫5條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？(2)猜想：在圓內(nèi)畫n(n2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？ 思路點(diǎn)撥每增加一條線段，與前面的每條線段最多產(chǎn)生1個(gè)交點(diǎn)，而新增加的第n條線段最多與前面的n1條線段產(chǎn)生n1個(gè)交點(diǎn)，

6、則這n1個(gè)點(diǎn)把第n條線段分為n段每段把所在區(qū)域一分為二，共增加了n塊區(qū)域且這n1個(gè)點(diǎn)把這些點(diǎn)所在的線段一分為二，又增加了n1條線段，這樣就有：區(qū)域增加了n塊，線段增加了n(n1)2n1條 設(shè)在圓內(nèi)畫n條線段，彼此最多分割成的線段為f(n)條，將圓最多分割成g(n)部分(1)當(dāng)n5時(shí)，f(5)f(4)45164525，g(5)g(4)511516.(2)猜想：在圓內(nèi)畫n(n2)條線段，彼此最多分割成f(n)n2條線段g(1)2g(2)g(1)2g(3)g(2)3g(4)g(3)4 圖形中的歸納推理的特點(diǎn)及思路1此類題目的特點(diǎn)：由一組平面或空間圖形，歸納猜想其數(shù)量的變化規(guī)律，這類題頗有智力趣題的味

7、道，解答時(shí)常用歸納推理的方法解決，分析時(shí)要注意規(guī)律的尋找2解決這類問(wèn)題從哪入手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣變化 1有兩種顏色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有花紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A26B31C32D36 解析：方法一：有花紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：由表可以看出有花紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有花紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65(61)31.故選B.圖案1 2 3個(gè)數(shù)6 11 16 方法二：由圖案的排列規(guī)

8、律可知，除第一個(gè)無(wú)紋正六邊形需6個(gè)有花紋的正六邊形圍繞(第一個(gè)圖案)外，每增加一個(gè)無(wú)紋正六邊形，只需增加5個(gè)有花紋正六邊形(每?jī)蓚€(gè)相鄰的無(wú)紋正六邊形之間有一個(gè)“公共”的有花紋正六邊形)，第六個(gè)圖案中有花紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為65(61)31.故選B.答案：B 數(shù)列中的歸納推理 思路點(diǎn)撥 歸納推理的步驟在數(shù)列中，常用歸納推理猜測(cè)通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知功能，歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想) 類比推理三角形與四面體有下列共同的性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的最簡(jiǎn)單

9、的封閉圖形；四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形(2)三角形可以看做平面上一條線段外一點(diǎn)與這條直線段上的各點(diǎn)連線所形成的圖形；四面體可以看做三角形外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形 通過(guò)類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫下表： 思路點(diǎn)撥已知三角形和四面體的“外在”性質(zhì)，合理尋找類比對(duì)象對(duì)二者的“內(nèi)在”性質(zhì)進(jìn)行探究 解析：三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對(duì)應(yīng)四面體的面，即平面的線類比空間的面；三角形的中位線對(duì)應(yīng)四面體的中位面，三角形的內(nèi)角對(duì)應(yīng)四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對(duì)應(yīng)四面體的內(nèi)切球具體見(jiàn)下表： 類比推理的步驟運(yùn)用類比推理必須尋找合適的

10、類比對(duì)象，充分挖掘事物的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系在應(yīng)用類比推理時(shí)，其一般步驟為：(1)找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性)(2)用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想(3)檢驗(yàn)這個(gè)猜想 (3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有()A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不對(duì)解析：以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確答案：C 如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB，平面SAC，平面SBC與底面ABC所成角分別為1，2，3，三條側(cè)棱SC，SB，SA與底面ABC所成的角為1，2，3，三側(cè)面SAB，SAC，SBC的面積分別為S1，S2，S3.類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個(gè)猜想 【錯(cuò)因】平面幾何中的角是由兩條射線組成的，在立體幾何中，與之相類比的應(yīng)該是由兩個(gè)平面組成的角，即二面角因此，錯(cuò)解中類比對(duì)象不正確平面中的線與立體圖形中的面相類比，平面中的角一般與立體圖形中的二面角相類比