高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2_1_1 合情推理課件 新人教A版選修1-2

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1、 第 二 章 推理與證明 2.1合情推理與演繹推理2.1.1 合 情 推 理 自主學(xué)習(xí)新知突破 1了解歸納推理的含義與特點，掌握歸納推理的一般步驟，能利用歸納推理解決一些簡單問題2了解類比推理的含義與特點，掌握類比推理的一般步驟，能利用類比推理解決一些簡單問題3了解合情推理的含義以及合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 問題1我們熟知的三國演義第34回草船借箭中諸葛亮“先生”的推理過程是怎樣的呢？ 問題2蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鱷魚，海龜，蜥蜴都是爬行動物，所有的爬行動物都是用肺呼吸的嗎？ 提示2是所有的爬行動物都是用肺呼吸的 問題3觀察下圖 由平面內(nèi)的

2、圓，我們聯(lián)想到空間里的球，讓它們來類比你能找到它們有哪些類似的特征？提示3魯班類比草葉的邊緣發(fā)明了鋸，平面中的圓與空間中的球有類似的特征 歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的_具有某些特征，推出該類事物的_都具有這些特征的推理，或者由_概括出_的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)由兩類對象具有某些_特征和其中一類對象的某些_，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理(簡稱類比)特征歸納推理是由_、由_的推理類比推理是由_的推理部分對象全部對象個別事實一般結(jié)論類似已知特征部分到整體個別到一般特殊到特殊 合情推理觀察 分析 比較聯(lián)想歸納 類比 猜想 1歸納推理的特點和一般步驟：(

3、1)歸納推理(簡稱歸納)有以下特點：歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍；歸納是依據(jù)若干已知的，沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)；歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或試驗的基礎(chǔ)上的 (2)歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)一般地，如果歸納的個別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題就可能為真 2類比推理的特點(1)類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠

4、(2)類比推理以舊的知識作基礎(chǔ)，推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能，類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中具有重要作用，但必須明確，類比并不等于論證(3)由于類比推理的前提是兩類對象之間具有某些可以清楚定義的類似特征，所以進行類比推理的關(guān)鍵是明確地指出兩類對象在某些方面的類似特征 3類比推理的一般步驟 1把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫作三角形數(shù)，如圖所示，則第七個三角形數(shù)是()A27B28C29 D30 3在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1 2，則它們的面積比為1 4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1 2，則它們的體積比為_解析：由題意知，在平面上，兩個正三角形的面積比是邊長比的平方由類比推理

5、知：體積比是棱長比的立方即可得它們的體積比為18.答案：1 8 合作探究課堂互動 圖形中的歸納推理如圖所示，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，將圓最多分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分 (1)在圓內(nèi)畫5條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？(2)猜想：在圓內(nèi)畫n(n2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？ 思路點撥每增加一條線段，與前面的每條線段最多產(chǎn)生1個交點，而新增加的第n條線段最多與前面的n1條線段產(chǎn)生n1個交點，

6、則這n1個點把第n條線段分為n段每段把所在區(qū)域一分為二，共增加了n塊區(qū)域且這n1個點把這些點所在的線段一分為二，又增加了n1條線段，這樣就有：區(qū)域增加了n塊，線段增加了n(n1)2n1條 設(shè)在圓內(nèi)畫n條線段，彼此最多分割成的線段為f(n)條，將圓最多分割成g(n)部分(1)當(dāng)n5時，f(5)f(4)45164525，g(5)g(4)511516.(2)猜想：在圓內(nèi)畫n(n2)條線段，彼此最多分割成f(n)n2條線段g(1)2g(2)g(1)2g(3)g(2)3g(4)g(3)4 圖形中的歸納推理的特點及思路1此類題目的特點：由一組平面或空間圖形，歸納猜想其數(shù)量的變化規(guī)律，這類題頗有智力趣題的味

7、道，解答時常用歸納推理的方法解決，分析時要注意規(guī)律的尋找2解決這類問題從哪入手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣變化 1有兩種顏色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有花紋的正六邊形的個數(shù)是()A26B31C32D36 解析：方法一：有花紋的正六邊形個數(shù)如下表：由表可以看出有花紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有花紋的正六邊形的個數(shù)是65(61)31.故選B.圖案1 2 3個數(shù)6 11 16 方法二：由圖案的排列規(guī)

8、律可知，除第一個無紋正六邊形需6個有花紋的正六邊形圍繞(第一個圖案)外，每增加一個無紋正六邊形，只需增加5個有花紋正六邊形(每兩個相鄰的無紋正六邊形之間有一個“公共”的有花紋正六邊形)，第六個圖案中有花紋的正六邊形的個數(shù)為65(61)31.故選B.答案：B 數(shù)列中的歸納推理 思路點撥 歸納推理的步驟在數(shù)列中，常用歸納推理猜測通項公式或前n項和公式，歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認知功能，歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題(猜想) 類比推理三角形與四面體有下列共同的性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的最簡單

9、的封閉圖形；四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡單的封閉圖形(2)三角形可以看做平面上一條線段外一點與這條直線段上的各點連線所形成的圖形；四面體可以看做三角形外一點與這個三角形上各點連線所形成的圖形 通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)填寫下表： 思路點撥已知三角形和四面體的“外在”性質(zhì)，合理尋找類比對象對二者的“內(nèi)在”性質(zhì)進行探究 解析：三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對應(yīng)四面體的面，即平面的線類比空間的面；三角形的中位線對應(yīng)四面體的中位面，三角形的內(nèi)角對應(yīng)四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對應(yīng)四面體的內(nèi)切球具體見下表： 類比推理的步驟運用類比推理必須尋找合適的

10、類比對象，充分挖掘事物的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系在應(yīng)用類比推理時，其一般步驟為：(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似性(或一致性)(2)用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，從而得出一個猜想(3)檢驗這個猜想 (3)四面體的六個二面角的平分面交于一點其中類比推理方法正確的有()A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不對解析：以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結(jié)論也不一定正確答案：C 如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB，平面SAC，平面SBC與底面ABC所成角分別為1，2，3，三條側(cè)棱SC，SB，SA與底面ABC所成的角為1，2，3，三側(cè)面SAB，SAC，SBC的面積分別為S1，S2，S3.類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個猜想 【錯因】平面幾何中的角是由兩條射線組成的，在立體幾何中，與之相類比的應(yīng)該是由兩個平面組成的角，即二面角因此，錯解中類比對象不正確平面中的線與立體圖形中的面相類比，平面中的角一般與立體圖形中的二面角相類比