數學分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
數學分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數學分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20
第十七章 多元函數微分學
一．教材說明
多元函數微分學是一元函數微分學的推廣和發(fā)展，兩者在概念、理論和研究方法等方面有許多相似之處。在注意它們共性的同時，特別要注意特性——多元性。課本上著重討論二元函數的情況，對二元以上的情況也有類似的結果，一般不予以證明。全微分是多元函數微分學的基本概念，求多元函數的偏導數是微分學的主要運算。多元函數極值的討論是多元函數微分學的重要應用.
1．目的與要求
本章的教學目的是：
（1）理解多元函數微分學的概念，特別應掌握偏導數、全微分、連續(xù)及偏導存在、偏導連續(xù)等之間的關系；
（2）掌握多元函數特別是二元函數可微性及其應用.
本章的教學要求是：
（1）理解偏導數、全微分、方向導數、梯度等概念。弄清可微、連續(xù)、偏導數存在、偏導數連續(xù)之間的關系；
（2）熟練掌握求偏導數，特別是復合函數偏導數的運算；
（3）會求空間曲線的切線方程、法平面方程；空間曲面的切平面方程，法線方程；
（4）掌握泰勒公式的意義和用途，并能寫出簡單二元函數的泰勒公式或馬克勞林公式；
（5）掌握求二元函數的局部極值和最大（?。┲档姆椒?，并能解決一些簡單的應用問題。
2．重點與難點
本章的重點是全微分的概念、偏導數的計算以及應用. 難點是復合函數偏導數的計算及二元函數的泰勒公式.
§17.1 可微性
第28次課
教學內容：可微性
目的要求：掌握可微性、全微分、偏導數的概念，理解偏導數的幾何意義，并學會求二元函數在某點的偏導數.
一．可微性與全微分
一元函數的可微性：在有定義，，稱在可微，為在的微分，記，后有，。
定義1. 設在點某鄰域有定義，
，若在點的全增量可表為
（） （1）
則稱在點可微，并稱為在點的全微分，記作
可見：1°是、的線性函數；
2°，，：
3°（1）式常寫作：， （）
因為
4°在點可微，則在點必連續(xù)。
例1．考察在點的可微性。
解：由于
而
即 ，故在可微，且
二．偏導數
1．問題的引出
若在可微，則
令（），則
（一元函數在的導數）
類似的
2．偏導數概念
定義 設，，若，在某鄰域有定義，且存在
稱此極限為在點關于的偏導數，記為
或
即
同樣
注：1°這里符號、是專用于偏導數的算符，與一元函數的導數符號相仿，但有又差別；
2°在上述定義中，在點存在關于（或）的偏導數，至少在
（或 ）
上必須有意義。
若在都存在對（或對）的偏導數，則得在上對（或對）的偏導函數，記作
，，， （，，，）
即
3．偏導數的幾何意義
設（）為曲面上一點，是一元函數在的導數，即為曲線
（平面與曲面的交線）
在點處的切線對軸的斜率（與軸正向所成傾角的正切值）
例2－4（P142－143）略
例5．求
在點的偏導數。
解：
可見：偏導數與函數連續(xù)性的關系為：函數的連續(xù)點處不一定存在偏導數，存在偏導數的點函數不一定連續(xù)。
作業(yè)：P152. T1(4)(6)(10) T2. T3. T4
§17.1 可微性
第29次課
教學內容：可微性（續(xù)）——可微性的條件
目的要求：掌握二元函數可微的必要條件、充分條件和一個中值定理，重點弄清可微、連續(xù)、偏導數存在、偏導數連續(xù)之間的關系.
三．可微性條件
1．可微的必要條件
定理1 若在其定義域內點處可微，則，均存在且在的微分公式中
，
證明見前面“二. 1（問題的提出）”。
注：若在可微，則全微分
若在區(qū)域可微，則
例1．考察
在原點的可微性。
解：
若在可微，則
而
則由
令知其不存在，故在不可微。
2．可微的充分條件
若的偏導數在點某鄰域存在，且在點連續(xù)，則在可微。
證：應用一元函數的拉格朗日中值定理有
（）
（其中，，）因為，在連續(xù)
故在可微。
如：i）在
由于，在連續(xù)，故在可微，且
ii）在
，在連續(xù)，從而在可微。
注：偏導數連續(xù)可微，但反之不成立。
反例：
在可微，但，在卻不連續(xù)。
原因：i）易求得，，有
（）
即在可微；
ii），有
由
知不存在，故在不連續(xù)。
同理在不連續(xù)。
3．二元函數的一個中值公式
定理3 設在點某鄰域存在偏導數，若屬于該鄰域，則存在
，，
使得 。
證：由即可證。
小結幾個概念的關系：
反例：①②：在
③：在
④：在
⑤：
作業(yè)：P152-153. T5, 6, T8(2). T9(2)
§17.1 可微性
第30次課
教學內容：可微性（續(xù)）——可微性的幾何意義及其應用
目的要求：理解二元函數可微性的幾何意義，會求空間曲線的切線方程、法平面方程；空間曲面的切平面方程，法線方程，并掌握用二元函數的可微性進行近似計算和誤差估計的方法.
四．可微性的幾何意義與應用
1．曲面的切平面
平面曲線在其上點的切線定義：
（或）
曲面在點的切平面定義：
若當在上以任何方式趨于時，恒有，則稱平面為在點處的切平面，為切點
2．可微性的幾何意義
定理4. 曲面：在點存在不平行于軸的切平面在點可微。
證：“”若在點可微，則
（）
考察過點的平面：
上任一點到平面的距離：
而到的距離：
于是由
（）
即為在點的切平面。
“”略（見課本P148）。▌
可見：若在可微，則曲面：在點處的切平面方程為
過切點與切平面垂直的直線稱為曲面在點的法線。故在點的法線方程為：
例1．（P150例6）略
3．可微的應用：近似計算與誤差估計
若在可微，則
或
例2．求的近似值。
解：設，則，。
由，令，，，，有
。
例3．應用公式計算某三角形面積，線測得，，，若測量，的誤差為，的誤差為，求用此公式計算三角形面積時的絕對誤差與相對誤差。
解：已知測量中，，的絕對誤差分別為：
，，
由此計算三角形面積絕對誤差為：
又
所以計算面積的相對誤差為
％。
例4．（P153.T15）證明：若二元函數在點的某鄰域內的偏導函數，有界，則在內連續(xù)。
證：已知，在有界，即，有，。
，
（）
（）
即，故在內連續(xù)。▌
作業(yè)：P153. T10. T12. T13(2)
§17.2 復合函數微分法
第31次課
教學內容：復合函數微分法
目的要求：熟練掌握求偏導數，特別是復合函數偏導數的運算，理解并掌握多元函數的一階微分形式不變性，會求復合函數的全微分.
多重復合函數的概念：
，， （內函數）
， （外函數）
且
則得 ，
一．復合函數的求導法則
定理5. 若，在點可微，在點
可微，則
在點可微，且它關于與的偏導數分別為：
——————鏈式法則
證：由，在點可微，則
又由在點可微，則
（）
其中，（補充定義時，）
由上：
………①
其中
………②
由，在點可微，知其在點連續(xù)，即，有，從而也有，及，由①，②可知在點可微且其偏導數即為所給的公式。 ▌
注：1°上述定理中，若只要求在點的偏導數，則只需，具有的偏導數即可，但外函數在點可微條件不可少。（由（）式，除以，，令即可得證）
2°上述定理可推廣至三元及以上復合函數的求導問題。
例1．設，，，求，
解：
例2．（P157例2. 略）
例3．設，，，求
解：
例4．（P160. T1(6)）設，求，，
解：設，，，則
例5（158例4）用多元復合函數微分法計算下列一元函數的導數。（略）
二．復合函數的全微分
i）若以，為自變量的函數可微，則
ii）若，作為中間變量關于自變量，可微
，
則復合函數可微，且
即若在可微，無論，為自變量還是中間變量，總成立
稱此性質為多元函數的一階（全）微分形式不變性。
例5．設，利用微分形式不變性求，并由此導出，
解：令，，，由于
，
故
由此得
※習題選講
①（P161. T6）證明：可微函數為次齊次函數
證：“”由已知，（），令，，，兩邊對求導得
令，即得
“”設（），令，，，該式子兩端對求導得
由已知得
即僅是的函數，設
令得 ，故得
。 ▌
②（P161. T7）設（），證明：
（1）
（2）
證：（1）由，令得
（2）對，令，，，該式兩端對求導得
令即得 。 ▌
作業(yè)：P160-161. T1(1)(3)(4)(5) T2. T3. T5.
§17.3 方向導數與梯度
第32次課
教學內容：方向導數與梯度
目的要求：掌握方向導數與梯度的概念，會求二元函數在某方向上的方向導數與梯度.
討論多元函數在某方向上的變化率.
定義1 設三元函數在點的某鄰域內有定義，為從點出發(fā)的射線，為上且含于的任一點，以表示與的距離，若極限
存在，則稱此極限為在點沿方向的方向導數，記作
，或
可見：若在點存在關于的偏導數，則
沿軸正向：
沿軸負向：
定理6. 若在點可微，則在點處沿任一方向的方向導數都存在，且
其中，，為方向的方向余弦.
證：設為上任一點，則
，
，
由于在點可微，則
從而
（）
即 . ▌
注：函數在一點可微是方向導數存在的充分條件而非必要條件. 見例2.
例1．（P163例1）略
例2．設
討論在原點的可微性與過原點的方向的方向導數.
解：（1）由于 ， ，
故不存在. 則在不連續(xù)，從而也不可微.
（2）在始于原點的任何射線上，都存在包含原點的充分小的一段，在其上，故在原點沿任何方向都有 .
定義2. 若在點存在對所有自變量的偏導數，則稱向量
為在點的梯度，記作
且 .
若在點可微，自出發(fā)的方向上單位向量，則
，
可見：最大值為，即在點梯度方向是的值增長最快的方向；最小值為.
例3．（P165. 例3）略
補充例題P165-166 T4. T9. T10.
作業(yè)：P165-166. T1. 3. 5. 7.
§17.4 泰勒公式與極值問題
第33次課
教學內容：高階偏導數與復合函數的偏導數
目的要求：會求多元函數（特別是二元函數）的高階偏導數，理解并掌握混合偏導數求導次序可交換的一個充分條件，學會求復合函數的高階偏導數.
一．高階偏導數
1．若的偏導數，關于與的偏導數存在，則說明函數具有二階偏導數. 二元函數的二階偏導數有如下四種情形：
混合偏導數
類似的：
……………………………………
注：多元函數的不同順序的混合偏導數不一定相等.
如：討論
的，.
分析：，
為此，當時
即
同樣可得
從而
由此看到，這里的在原點的兩個二階混合偏導數與求導順序有關，那么，在什么條件下混合偏導數與求導順序無關呢？下述定理給出了一個與求導順序無關的一個充分條件.
定理7. 若和都在點連續(xù)，則.
證：令
則
（由于存在關于的偏導數，則可導）由一元函數拉格朗日中值定理有
（）
（） …（*）
（因為存在對的偏導數）
若令
則
類似的可推得
（） …（*’）
當不為零時，由（*）、（*’）兩式得到
（）
由和都在點連續(xù)，令，即得
▌
注：上述定理對元函數的混合偏導數也成立.
2．討論復合函數的高階偏導數
設，，，則函數，，都具有連續(xù)的二階偏導數.
，
同理有
例3．（P171.例3 略）
補例（P183. T3）
作業(yè)：P183-184. T1(2)(3)(6)(7). T2. T14
§17.4 泰勒公式與極值問題
第34次課
教學內容：中值定理、泰勒公式與極值問題
目的要求：掌握泰勒公式的意義和用途，并能寫出簡單二元函數的泰勒公式或馬克勞林公式；理解并掌握極值的必要條件和充分條件.
二．中值定理和泰勒公式
1．凸區(qū)域：區(qū)域中任意兩點的連線含于.
即：為凸區(qū)域，，有
2．中值定理
定理8. 設在凸區(qū)域上連續(xù)，在的所有內點都可微，則，，，s. t.
證：令，. 由已知知在連續(xù)，在可微，由一元函數中值定理，，s. t.
而由復合函數求導法則知
由于為凸區(qū)域，所以*，故得證. ▌
注：對滿足下述條件的閉凸域，定理也成立：
，，有
如：，在連續(xù)，在可微，滿足定理；
，不滿足定理，因為不滿足上述“*”部分
推論. 若在區(qū)域上存在偏導數，且，則在上為常量函數.
3．泰勒公式（一元函數泰勒公式對應的推廣）
定理9（泰勒定理）若在點的某鄰域內有直到階的連續(xù)偏導數，則對，，s. t.
上式稱為二元函數在點的階泰勒公式. 其中
.
證：（與定理8的證明一樣）令，，則在滿足一元函數泰勒定理條件，從而
，
由復合函數求導法則有：
，，
…………
則 ，
由上即得證. ▌
可見：凸域上中值公式是泰勒公式在時的特殊情形.
注：若在存在直到階的連續(xù)偏導數，則
，
例4．（P175.例4）略
三．極值問題
1．定義
設在點的某鄰域內有定義. 若對，成立
（或 ）
則稱在點取得極大（或極小）值，點稱為的極大（?。c.
例5．（橢圓拋物面），是的極小點.
（半球面），是的極大點.
（馬鞍面），非的極值點
可見：
在點取極值不妨設為極大值，則 ，有
2．極值必要條件
定理10. 若在點存在偏導數，且在點取得極值，則有
， （Δ）
反之，若函數在點滿足（Δ），則稱點為的穩(wěn)定點.
注：1°若存在偏導數，則極值點一定是穩(wěn)定點，但穩(wěn)定點卻不一定是極值點.
如：在
2°在偏導數不存在的點也可能取極值.
如；在無偏導數，但為極小點.
§17.4 泰勒公式與極值問題
第35次課
教學內容：極值問題（續(xù)），區(qū)域上的最值問題
目的要求：理解并掌握極值的充分條件. 會判別二元函數在某點是否取得極值，并會求解二元函數的極值點；學會求解某區(qū)域上函數的最值.
3．極值充分條件
為了討論二元函數在點取得極值的充分條件，我們假定具有二階連續(xù)偏導數，并記
它稱為在點的海賽（Hesse）矩陣.
定理11. 設在點的某鄰域具有二階連續(xù)偏導數，且是的穩(wěn)定點，記為在點的海賽（Hesse）矩陣，則
（i）時，為的極值點，且為
（ii）時，非的極值點
（iii）時，不能判定.
證：由泰勒公式，并由有
（）
由于的二階偏導數在點連續(xù)，所以
其中為，時的無窮小量，于是
其中是比（）高階無窮小量. 故當，充分小時，的符號取決于
不同時為0，不妨設，則
則
1) ，與符號相同，為的極值點；
2），符號有正有負，非的極值點；
3），情況不明，如例5.
可見：求可微的二元函數的極值的步驟：
求偏導數解穩(wěn)定點 符號判定.
P179. 例6. 例7.
例8．討論在原點是否取得極值.
解：由得的唯一穩(wěn)定點為，
又，，，則，故由定理無法判定是否為的極值點.
由于當時，；當或時，，故不在原點取得極值.
4．在區(qū)域的最值
考察在所有穩(wěn)定點，無偏導數點及屬于區(qū)域的界點上的函數值. 方法類似于一元函數求最值的方法.
P180. 例9 略
最小二乘法
設通過觀測或實驗得到一列點（一組數據），，現用一條直線的方程（一元線性回歸函數）取反映變量與之間的對應關系，試確定該直線，使它與個點的偏差平方和最小.
設所求直線方程為
令
以下確定，使最小.
由
即
解得：
又 ，，
則
故在取極小值，由偏導數的處處存在性知為的最小值.
例（184.T9(1)）求函數在指定范圍內的最值.
，
解：，，即函數偏導數均存在.
由得穩(wěn)定點，且.
函數定義區(qū)域的邊界為，在邊界上：
由得，此時，且；
在邊界上：，由得，此時，且；
比較函數在以上各點的值知函數在取得最大值，在取得最小值.
作業(yè)：P183-184. T7(3). T8(1). T9(2). T12
— 138 —
收藏
編號：20313630
類型：共享資源
大?。?span id="uacikfl" class="font-tahoma">19.50MB
格式：RAR
上傳時間：2021-03-06
25
積分
- 關 鍵 詞：
-
數學分析
全套
教案
附有
答案
謎底
試卷
20
- 資源描述：
-
數學分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數學分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20
展開閱讀全文
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯系，我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
裝配圖網所有資源均是用戶自行上傳分享，僅供網友學習交流，未經上傳用戶書面授權，請勿作他用。