數學分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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第五章 導數與微分
第25次課
教學內容(或課題) §5.1 導數概念
目的要求 從質點運動的瞬時速度引導出導數概念, 要求掌握導數、左導數、右導數概念, 認識導數的幾何意義, 認識導數存在的充要條件, 可導與連續(xù)的關系.
教學過程
一. 導數的定義
已知自由落體的運動方程為
, .
試討論落體在時刻()的速度.
取鄰近于的時刻, 落體在由時刻到時刻這段時間內的平均速度為
.
它近似地反映了落體在時刻的快慢程度. 但當越接近時, 它則反映得越準確. 若令, 得落體在時刻的速度
.
Def 1 設函數在點的某個鄰域內有定義. 若極限
(4)
存在, 則稱函數在點可導, 并稱其極限值為函數在點的導數, 記作.
若令, , 則(4)式可改寫成
. (5)
導數是函數增量與自變量增量之比(也稱差商)的極限.
若(4)式或(5)式的極限不存在, 則稱函數在點不可導.
例1 求函數在處的導數.
解 由(5)式,
.
例2 求函數在處的導數.
解 由于 ,
, 所以
例3 常量函數在任一點的導數都等于零, 即. 略.
例4 證明函數在不可導.
證 由于
時, , 不存在, 所以在不可導.
(5)式可寫作 , (7)
其中為時的無窮小量. 所以(7)式又可寫作
. (8)
稱(8)式為函數在點的有限增量公式. 由此公式得
Th 5.1 若函數在點可導, 則在點連續(xù).
注 可導只是連續(xù)的充分條件, 不是必要條件. 如例4中的函數在連續(xù), 但在不可導.
Def 2 ①設函數在點的某個右鄰域上有定義, 若右極限 存在, 則稱這極限值為在點的右導數, 記作.
②設函數在點的某個左鄰域上有定義, 若左極限 存在, 則稱這極限值為在點的左導數, 記作.
右導數和左導數統(tǒng)稱單側導數.
Th 5.2 若函數在點的某個鄰域內有定義, 則存在 、都存在且.
例5 設, 討論在點處的左、右導數.
解 由于
所以, . 即在點處的左、右導數都存在, 但, 故在點處不可導.
例6 證明: 若, 則存在, 對一切, 有 .
證 由于, 根據函數極限的保號性定理, , 對, 有
又因, 故對, 有.
二. 導數的幾何意義
是函數圖形在點處的切線的斜率. 曲線在點處的切線方程是
.
用表示切線與軸正向的夾角, 則. 若, 則; 若, 則; 若, 則.
例7 求曲線在點處的切線方程和法線方程.
解 由于 , 所以, 所以
切線方程為
法線方程為 .
對于曲線, 有. 因此為了作過點的切線, 只要在軸上取點, , 過點、的直線即為所求作的切線.
作業(yè) P119-120. 1. 3. 4. 5(2). 6(1).
第26次課
教學內容(或可題) §5.1導函數 §5.2導數四則運算
目的要求 掌握導函數概念, 掌握導數四則運算, 學會運用函數概念和導數四則運算處理導數問題.
教學過程
§5.1.三.導函數
若函數在區(qū)間上每一點都可導(對于區(qū)間的左(右)端點只要求存在右(左)導數), 則稱為區(qū)間上的可導函數. 這時對每一個, 都有的一個導數(在區(qū)間左(右)端點是右(左)導數)與之對應, 這就確定了一個定義在區(qū)間的函數,稱為在區(qū)間上的導函數, 也簡稱導數. 記作, , , 即
, .
相應地有時寫作.
例8 求證: .
證 , ,
所以 .
例9 求證: ①, ②.
證 · . 所以.
②同上, 略.
例10 求證: , ().
證 . 所以.
特別 .
例11 設, 求.
解 . 故當時, 由例8, . 當時, 由導數定義, . 當時, 分別求左、右導數: , . 由Th 5.2得. 于是
.
§5.2. 一.導數的四則運算
Th 5.3 若函數和在點都可導, 則函數在點也可導, 且.
證
所以函數在點也可導, 且.
Th 5.4 若函數和在點都可導, 則函數在點也可導, 且.
證
.
. 所以函數在點也可導, 且.
本定理可推廣到多個函數, 如.
Cor 若函數在點可導, 為常數, 則
.
例1 設, 求.
解 .
例2 設, 求
解 .
.
Th 5.5 若函數和在點都可導, 且, 則函數在點也可導, 且.
證 令, 其中. 先證在點可導.
因在點可導, 所以在點連續(xù). 當時, 上式右端極限是. 所以 . 由Th 5.4, 得
.
例3 設, 求.
解 .
例4 證明 .
證 .
例5 證明 , .
證 略.
例6 證明 , .
證 略.
三. 反函數的導數
Th 5.6 設為的反函數, 若在點的某鄰域內連續(xù), 嚴格單調且, 則在點()可導, 且
. (5)
證 設 , . 由
的嚴格單調性, 當時, 也有, 從而有 .
因在點連續(xù), 故當時, 也有, 又因,所以 .
例7 求指數函數的導數.
解 ,或 . 特例 .
例8 求證 , ,
, .
證 .
其余同理.
作業(yè) P131-132. 1(1)(2). 2(2)(4)(6)(8)(10)
第27次課
教學內容(或課題): 復合函數的導數及基本求導法則與公式
目的要求: 認識和掌握復合函數的求導法則, 掌握基本求導法則,掌握基本初等函數的求導公式. 重點是認識和掌握復合函數的求導法則, 難點也是認識和掌握復合函數的求導法則.
教學過程:
四. 復合函數的導數
Th 5.7 若在可導, 在可導,則復合函數在可導, 且
.
課本先介紹一個錯誤證法, 留給學生自己閱讀.
證 設, 則. 令
因在連續(xù), 故時, . 由在可導, 有. 即函數在時也. 所以
. 畢.
求函數, 的復合函數在點的導數的公式可寫為 (10)
類似地, 求函數, , 的復合函數在點的導數的公式可寫為 (11)
復合函數的求導公式(10)、(11)等也稱為鏈式法則.
例9. 設, 求冪函數的導數.
解 可看著函數, 的復合函數,由, , 故
. 即 .
例10. 設, 求, .
解 可看著函數, 的復合函數.
由, , 得.
, .
例11. 設, 求.
解 可看著函數, 的復合函數. 所以
.
例12. 設, 求.
解 函數是, , 三個函數的復合. 故.
以下是對數求導法的例子:
例13. 設 , 求.
解
所以 . 從而
[].
例14. 設, 其中和均可導, 則有
.
證 , , 所以
四. 基本求導法則與公式
基本求導法則
1. .
2. , .
3. , .
4. 反函數導數 .
5. 復合函數導數 .
基本初等函數導數公式
1. (為常數).
2. (為任何實數).
3. , , ,
, , .
4. .
.
5. , .
6. , .
作業(yè) P132-133. 3(1)(3)(5)(7)(8)(15)(16)(25). 6.
第28次課
教學內容(或課題): §5.3 微分
目的要求: 掌握微分的概念、函數可微的充要條件、微分的幾何意義、微分的運算法則、微分在近似計算中的應用. 重點是微分的概念和函數可微的充要條件.
教學過程:
一.微分概念
設一邊長的正方形, 面積為 . 若邊長由增加, 面積增加了 .
是的線性函數, 是較高階的無窮小.
Def 若函數在的增量可以表為的線性函數(是常數)與較高階的無窮小之和:
, (1)
則稱函數在點可微, 稱為函數在點的微分, 記作
或 .
當時, 微分是增量的線性主部.
Th 5.8 函數在點可微 函數在點可導, 這時(1)式中的等于
證 “” 若在點可微, 由(1)式,得.
故().
“” 若在點可導, 則有 . 所以在可微, 且 . 證畢.
對一元函數而言, 有 可微可導.
微分的幾何意義見右圖.
若函數在區(qū)間上每一點都可微, 則稱為上的可微函數.函數在上的微分記作
(3)
它不僅依賴于, 而且也依賴于.
設, 則 , 所以.
所以. 于是(3)式可改寫為
(4)
即函數的微分等于函數的導數與自變量微分的乘積. 例如
, , .
(4)式可改寫為 , 因此導數又稱作微商. 在此之前, 將當作一個完整的記號用來表示函數的導數, 有了微分概念后, 也不妨把它當作一個分式.
二. 微分的運算法則
由導數與微分的關系立得
1.;
2.;
3.;
4., 其中.
在法則4中, 令, 則有 . 又由于, 故又有. 即既有, 又有. 這個性質稱為一階微分形式的不變性.
例1 求 的微分.
解 .
例9 求 的微分.
解
.
三. 近似計算與誤差估計
由 , 得到當很小時, 有
,
或 . (5)
例如, , , 由(5)式, 得.
同理 , , 等等.
(5)式又可改寫為 . ()
例10 已知, 求精確度更高的近似值.
解 .
令, 取, 由()式, 得. 所以
, 而真值是.
例11 求的近似值.
解 令, 取, 由()式,
得 .
可用公式進行誤差估計. 的絕對誤差, 相對誤差.
課本的例5交給學生閱讀.
作業(yè) P139. 1. 2(3)(4)(5)(6). 3(2)(4). 4.
第29次課
教學內容(或課題): §5.4 高階導數與高階微分
目的要求: 使用不完全歸納法認識高階導數, 掌握幾個簡單的函數的階導數的公式, 掌握函數乘積的階導數的萊布尼茲公式, 掌握函數的高階微分.
教學過程:
一. 高階導數
設已知物體的運動方程為 , 則物體的運動速度,在時刻物體運動的加速度.
Def. 若函數的導函數在點可導, 則稱函數在點的導數為在點二階導數, 記作, 即
,
同時稱在點二階可導.
若函數在區(qū)間上每一點都是二階可導, 則得到一個定義在上的二階導函數, 記作,, 或簡記作.
仿照上述定義, 可由二階導函數定義在點的三階導數. 一般地, 可由的階導函數定義在點的階導數.
二階以及二階以上的導數都稱為高階導數. 函數在點處的階導數記作 , , . 相應地階導函數記作 , ,. 理解為.
例1 求冪函數(為正整數)的各階導數.
解 , ,
, ,,
().
.
例2 求和的各階導數.
解 , ,
, , 一般地, 有
.
同理 .
例3 求的各階導數.
解 由 , 可知 .
例4 求的各階導數.
解 , , , ,一般地, 有
.
例5 求的各階導數.
解 由上例, 有 .
思考: ① ? ② ?
③ 與有何聯(lián)系?
設、均為的階可導函數, 則函數也階可導, 且有 .
Th 設, 而、均為的階可導函數, 則函數也階可導, 且有(萊布尼茲公式)
.
證 用數學歸納法, 略.
例6 求函數的階導數.
解 由萊布尼茲公式, 有
.
例7 研究函數 的高階導數.
解 由§5.1例11, 已知. 以下討論二階導數. 當時, ; 當時, ; 當時,
,
.
故在不可導, 即在處不是二階可導的. 因而
.
繼續(xù)研究的高階導數, 可得 , 而都不存在.
注意 對于分段函數在各段分界點上的導數(包括高階導數)都應由導數定義直接考察它的可導性.
二. 高階微分
設, 其一階微分是 , 其中變量和是互相獨立的. 把一階微分只看作是自變量的函數, 它對的微分是, 或寫作
稱它為函數的二階微分.
一般地說, 階微分是階微分的微分, 記作,即
.
當把它改寫為 時, 就和階導數的記法一致了.
對的階微分均稱為高階微分.
一階微分具有微分形式不變性, 高階微分不具有微分形式不變性. 以二階微分為例, 設 , 當為自變量時, 有
. (3)
當時, 有, 從而有
.(4)
式和(4)式不同, 這說明二階微分不具有微分形式不變性.
例8設, , 求.
解 由, , 得
求得 , .
又解 ,
.
下面的解法是錯誤的:
.
作業(yè) P145-146. 1(1). 2. 3(2)(4). 5(3)(4)(5). 6(2).
第30次課
教學內容(或課題): §5.參量方程所確定的函數的導數
目的要求: 學會使用參量方程所確定的函數的一階和二階導數公式, 掌握光滑曲線的概念.
教學過程:
設曲線用參量方程
(1)
表示. 設函數和在點可導, 且, 則因曲線在點的割線的斜率為 , 而有曲線在點的切線的斜率為
(2)
其中為切線與軸正向的夾角. 如果, 只要, 則
. (3)
若函數和在上都存在連續(xù)的導函數,且, 則稱曲線為光滑曲線. 其特點是曲線上不僅每一點都有切線, 而且切線的斜率(或)是的連續(xù)函數.
若函數有反函數, 則它與形成復合函數是
. (4)
只要函數和可導, 嚴格單調, 且(因而當時, 也有和), 則由復合函數和反函數的求導公式, 得
. (5)
如果嚴格單調, 且, 則由方程(1)可確定函數 , 且.
若函數和在上都是二階可導, 則由參量方程
及公式(5)可得由參量方程(1)所確定的函數(4)的二階導數
. (6)
例1試求由橢圓參量方程 所確定的函數的一階導數與導數.
解 .
由于, 所以橢圓在點處有水平切線.
.
若曲線由極坐標方程表示, 則轉化為極角的參量方程是
由公式(5), 得
. (8)
在公式(8)中,的幾何意義是. 即.
例2對數螺線上所有點的切線與向徑的夾角為常量.
解 , 所以為常量.
作業(yè) P150-151. 1(2). 2. 3(1). 4(1). 8.
第31次課
教學內容(或課題): 習題課
目的要求: 復習第5章主要內容, 處理第5章難題, 使學生掌握處理問題的常用方法和技巧.
教學過程:
一. 復習
1.導數
左導數
右導數
2.導數的幾何意義 3.導數的四則運算 4.反函數的導數
5.復合函數的導數 6.求導公式 7.對數求導法
8.參量方程求導法 9.高階導數 10.微分
二.習題講解
例1 求 .
解 .
例2 (P120.10)設, 求.
解
. 因, 故當時是無窮小, 而當時是有界量,所以. 即.
例3 (P120.15)在曲線上任取一點, 過點的切線與該曲線交于點. 證明: 曲線在點處的切線斜率正好是點處的切線斜率的四倍.
證 設點, 則過點的切線方程是
.
即 .
將代入其中, 得點. 過點的切線方程是
.
例4 (P146.12)設.
(1) 證明它滿足方程
(2) 求 .
解 (1) , ,
, , ,
,
. ()
(2)由()式有 . 又因為, , 所以有, .
例5 (P150.5)證明: 曲線 上任一點的法線到原點的距離恒等于.
證
法線方程為 .
法線到原點的距離
.
例6 (P151.3)請舉出一個連續(xù)函數的例子, 它在已知點上不可導.
解 由于在處連續(xù)但不可導, 故舉出的函數可以為 .
例7 (P151.4(2))證明可導的奇函數的導函數是偶函數.
證 因為, 所以 . 由復合函數求導法則, 有, 即. 所以是偶函數.
例8 (P151.5(1))設, 若在點可導, 則和在點都一定可導嗎?
解 不一定可導. 例如, 在點都不可導,而在點可導.
例9 (P151.7)設為多項式, , 且在上. 證明: (1) , (2) 存在, s.t..
證 (1)若, 則或, 與在上矛盾. 若, 則存在, s.t. , 仍與在上矛盾. 故.
(2) 在上連續(xù),, , . 對連續(xù)函數使用零點定理即得證明.
作業(yè) P151-152. 2(1). 4(1)(3). 5(2)(4). 6. 8.
· 111 ·
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