數(shù)學(xué)分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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★絕密★
數(shù)學(xué)分析A卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一.(每題4分,共32分)
1. 設(shè)為定義在D上的函數(shù),若對(duì),總,使得≥成立,則稱為D上的無(wú)界函數(shù).
2. 或
3. 2
4. 1
5. 0, 1
6. 或
7.
8. 2, 0
二. (每題6分,共30分)
1. 解:令,則, (1分)
于是由保號(hào)性知,,s.t. 當(dāng)時(shí)
從而當(dāng)時(shí)有
= (3分)
由知,上式兩端當(dāng)時(shí)均以為極限.
于是 (5分)
又∵
故由歸結(jié)原理可得: . (6分)▌
2. 解: (1)若,則= (2分)
(2)若,則由,可得 (2分)
(3)若,則 (2分)▌
3. 解:
顯然當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), (2分)
∵
(4分)
∴ (5分)
故存在且. (6分)
∴綜上可得 . ▌
4. 解法一: 對(duì)兩邊取常用對(duì)數(shù)得 (1分)
再對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得 (4分)
∴ . (6分)
解法二: ∵, (2分)
∴ . (6分)▌
5. 解: 令,則 (1分)
又∵,,,,……
∴. (3分)
由萊布尼茲公式得:
(5分)
. (6分)▌
三. 1. 證明: 設(shè),取,顯然有 .
∵,
∴. (3分)
又取,也有
∵,
∴. (6分)
從而由歸結(jié)原理可知 不存在. (8分) ▌
2. 證明: ∵,故對(duì),,當(dāng)時(shí),有 . (2分)
于是當(dāng)時(shí),
≤
＜＜.
其中 . (4分)
而,于是對(duì)上述,,當(dāng)時(shí),有. (5分)
取 ,則當(dāng)時(shí),
＜
∴ . 證畢. (7分)
由于, (8分)
∵,由上述結(jié)論可得
. (10分) ▌
3. 證明: 由題設(shè)知有 .
若中至少有一個(gè)等于或,則結(jié)論成立. (2分)
若,則可令. (4分)
易見(jiàn)在[,]上連續(xù),且,, (6分)
由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知,至少存在一點(diǎn)∈[,],使得
即 . (8分) ▌
4. 證明: 任取,在上連續(xù),從而一致連續(xù).即對(duì),,對(duì),當(dāng)時(shí),有
(4分)
現(xiàn)在考慮在上的一致連續(xù)性.
由于當(dāng)時(shí),
. (7分)
對(duì)上述,令,當(dāng)且時(shí),有
(9分)
現(xiàn)取,當(dāng)且時(shí),必有或,從而有
(11分)
故在上的一致連續(xù)性. (12分) ▌
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