數(shù)學分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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★絕密★
數(shù)學分析B卷參考答案及評分標準
一.(每題4分,共32分)
1. 1, .
2.
3. 0
4. 或, 1
5. －1,
6.
7.
8.
二. (每題6分,共30分)
1. 解: ∵=
(3分)
∴=
= (5分)
=. ▌ (6分)
2. 解: , (1分)
(2分)
=, (3分)
∴有
=, (5分)
(已知,),
即對數(shù)函數(shù)在定義域任意都可導.于是它在可導,并且
. ▌ (6分)
3. 解: ∵ (3分)
∴ ▌ (6分)
4. 解法一: 對兩邊取常用對數(shù)得 (1分)
再對上式兩邊求導得 (4分)
∴ . (6分)
解法二: ∵, (2分)
∴ . (6分)▌
5. 解: 由于當在處可導時, 必在處連續(xù),于是有
(1分)
即有 (2分)
又∵
(4分)
故在處可導時 ,從而. ▌ (6分)
三. 1. 證明: ∵ (4分)
∴對,取,當時有, (7分)
故. ▌ (8分)
2. 證明: 先設(shè). 由上確界定義，一方面對任何，都有
(1) (2分)
另一方面對任何，存在，使 . (2) (4分)
由的定義及(1)式，得到對一切， 都有 . (6分)
由(2)式，對任何，存在 -，使 . (8分)
所以 =-. ▌ (10分)
3. 證明: (反證法)設(shè)是的間斷點.由于遞增,故在的間斷點是第一類的. (2分)
于是, 都存在,且
與
中至少有一個大于0,不妨設(shè)＞0. (4分)
由函數(shù)單調(diào)性可知
當時, ≤.
當時, ＞; (6分)
即不能取得與之間的實數(shù),這與的值域是相矛盾.
故在內(nèi)連續(xù). (8分)
類似可證在處單側(cè)連續(xù).從而在[,]上連續(xù). ▌ (10分)
4. 函數(shù)在(,+∞)上有界.下面證明這個結(jié)論: (2分)
∵
∴由極限存在的局部有界性知:,,對,有.
即函數(shù)在上有界. (4分)
又∵,∴,,對,有.
即函數(shù)在上有界. (6分)
又因為若函數(shù)在(,+∞)上連續(xù),所以在上也連續(xù).故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知:,對,都有. (8分)
取,則對,都有.
即函數(shù)在(,+∞)上有界. ▌ (10分)
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