數(shù)學分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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第一章 實數(shù)集與函數(shù)
教材說明
本章內(nèi)容分為實數(shù)及其性質(zhì)、絕對值不等式、實數(shù)集的確界與確界原理合函數(shù)的概念以及具有某些特殊性質(zhì)的函數(shù)，函數(shù)是本課程研究的基本對象，確界原理是理論研究的基本立足點，絕對值不等式則是分析論證的重要工具。
1． 教學目的與要求
本章的教學目的是：
(1) 使學生掌握實數(shù)的基本性質(zhì)和確界原理，建立起實數(shù)集確界的清晰概念；
(2) 使學生深刻理解函數(shù)的概念，熟悉與函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語。
本章的教學要求是：
（1）理解并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性與封閉性。掌握鄰域的概念；
（2）牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式；
（3）理解實數(shù)集確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題證明中正確地加以運用；
（4）深刻理解函數(shù)地定義以及復合函數(shù)、反函數(shù)、有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示方法；
（5）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象。會求初等函數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復合關(guān)系。
2． 教學重點與難點
本章的重點是實數(shù)集、函數(shù)、確界的概念及其有關(guān)子性質(zhì)。難點是確界的定義及應用。
第1次課
教學內(nèi)容(或課題)： §1.1 實數(shù)
目的要求：復習實數(shù)的概念和實數(shù)的性質(zhì)，復習絕對值的性質(zhì)及絕對值的三角形不等式，認識并掌握伯努利不等式和平均值不等式.
教學過程：
一 實數(shù)及其性質(zhì)
實數(shù).
正有限小數(shù)（包括正整數(shù)）即正有理數(shù)可以表示為..,
其中為零或正整數(shù),,,,均為中的整數(shù);
正無理數(shù)可以表示為
.,
其中為正整數(shù),,,,均為中的整數(shù);
正數(shù)的前面帶上負號就是負數(shù).因此一切實數(shù)均可表示為
.,
其中為正負整數(shù), ,,,均為中的正負整數(shù).
定義1 給定兩個非負實數(shù)
., .,
其中,為非負整數(shù),為整數(shù),, . 若有 , 則稱與相等,記為;若或存在非負整數(shù), 使得而,則稱大于或小于,記為或.
對于負實數(shù)和, 若按上規(guī)定分別有與,則分別稱與(或). 規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù).
定義2 設.為非負實數(shù), 稱有理數(shù)
.
為實數(shù)的位不足近似值, 而有理數(shù)
稱為的位過剩近似值,.
對于負實數(shù).,其位不足近似值與位過剩近似值分別規(guī)定為
.與..
附注 實數(shù)的不足近似值數(shù)列單調(diào)不減, 過剩近似值數(shù)列單調(diào)不增.
命題 設.與.為兩個實數(shù),則存在非負整數(shù), 使得
,
其中表示的位不足近似值, 表示的位過剩近似值.
證明 見附錄II第八節(jié).
例1 設為實數(shù), ,證明:存在有理數(shù)滿足
證 由于, 故存在非負整數(shù), 使得. 令
,
則為有理數(shù),且有
,
即得.
全體實數(shù)構(gòu)成的集合記為，即 .
實數(shù)有如下一些主要性質(zhì):
1. 實數(shù)對加、減、乘、除(除數(shù)不為0)四則運算是封閉的.
2. 實數(shù)是有序的，即任意兩個實數(shù)和，必滿足下述三個關(guān)系之一：
， =， .
3. 實數(shù)具有阿基米德(Archimedes)性，即即任意兩個實數(shù)
和，若0，則存在自然數(shù)，使得.
4. 實數(shù)的全體具有稠密性，即任意兩個不相等實數(shù)之間必有另一個實數(shù) (而且既有有理數(shù)，又有無理數(shù)).
5. 如果在一直線(通常畫成水平直線)上確定一點O作為原點，指定一個方向為正向(通常把指向右方的方向規(guī)定為正向),并規(guī)定一個單位長度，則稱此直線為數(shù)軸. 于是，任一實數(shù)都對應數(shù)軸上唯一一點，反之數(shù)軸上每一點都唯一地代表一個實數(shù)，于是全體實數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一一對應. 往后常把“實數(shù)”與“數(shù)軸上點”兩種說法視為相同而不加區(qū)別.
全體實數(shù)構(gòu)成的集合記為，即 .
二 絕對值與不等式
實數(shù)的絕對值定義為
從數(shù)軸上看，實數(shù)的絕對值就是點到原點的距離. 絕對值有如下一些性質(zhì)：
1. =，當且僅當=0時有=0.
2. .
3. 關(guān)系式和分別等價于不等式和
4. 對任何實數(shù)和有三角形不等式 .
5. . 6. .
證明 只證4. 由性質(zhì)2有 ， ,兩式相加后得 –(+)++. 由性質(zhì)3，等價于 (1)
將上述換成-后，(1)式仍然成立.這就證明了性質(zhì)4的右半部. 又由=. 由(1)式有. 于是
-. (2)
將換成-后，(2)式仍然成立.這又證明了性質(zhì)4的左半部.故性質(zhì)4成立.
伯努利(Bernoulli)不等式 設，為自然數(shù)，則有
.
證明 用數(shù)學歸納法證，
當n=1時，顯然成立；
設n－1時成立，即 ≥1＋
那么 ＝
≥
＝1＋＋
≥1＋
證畢. ▌
推廣：1.…＝≥1＋＋＋…＋＝1＋ （＞0）
2. 為任何不小于1的實數(shù)，上述不等式仍然成立，仍然稱他為伯努利(至少可謂伯努利型的)不等式.
平均值不等式 設為個正實數(shù)，則有
.
證明 見史濟懷《平均》，略.
三 習題選講
1.(P4.4.(2).) 證明：對任何，有 ++2.
證明 因為 +=1，+， +=2，三式相加后除以2，得 ++2.
又證 ++
2.(P4.5.) 設為任意三個正數(shù)，求證.
證明: =
= 2. (柯西不等式)
故 .
幾何意義見上圖.（三角形兩邊之差小于第三邊）
4.(P4.10.) 證明柯西(Cauchy)不等式：設,，為兩組實數(shù)，則有
.
證明 ∵ ≥0 即 ≥0
≥0 即 ≥0
…………………
≥0 即 ≥0
上述個式子相加得到
≥0
所以判別式. 移項并除以4立得柯西不等式. ▌
5.(P26.1.) 設為實數(shù)，證明：
(1) =，
(2) =.
證明 當時，=，=，==. 所以當時，(1)、(2)兩式成立.
當時，=，=，
=，=. 所以當時，(1)、(2)兩式成立. 證畢. ▌
作業(yè) P4. 1(1)(2). 3. 5(1). 7. 8. 9.
作業(yè)提示 P3. 1. 用反證法.
P4. 3. 分和兩場合運用平均值不等式即可.
P4. 8. 證明 , .
第2次課
教學內(nèi)容或課題： §1.2 數(shù)集 確界原理
目的要求：掌握區(qū)間、鄰域、數(shù)集的上界、下界、有界數(shù)集、上確界、下確界等概念，特別要弄明白上確界即為最小上界，下確界即為最小的下界.
教學過程：
一 區(qū)間與鄰域
設，且，則稱數(shù)集為開區(qū)間，記作;數(shù)集稱為閉區(qū)間，記作;數(shù)集和都稱為半開半閉區(qū)間，分別記作和.它們統(tǒng)稱為有限區(qū)間.
以下是無限區(qū)間：
=， =， =，= ，=. 這里符號讀作“正無窮大”，符號讀作“負無窮大”，符號讀作“無窮大”.
滿足不等式的全體實數(shù)稱為點的鄰域，記作
=，
簡記為. 滿足不等式的全體實數(shù)稱為點的空心鄰域，記作 =，簡記為.
附注 以上兩鄰域的中心是，半徑是. 與的差別是，而. 此外又有
點的右鄰域==，簡記為;
點的左鄰域==，簡記為;
點的去心右鄰域==，記為簡記為;
點的去心左鄰域==，簡記為.
二 有界集
Def1. 設為中的一個數(shù)集,若∈,s.t. 都有
≥,則稱為有上界的數(shù)集. 數(shù)稱為的一個上界.
≤,則稱為有下界的數(shù)集. 數(shù)稱為的一個下界.
顯然任何大(小)于的數(shù)也都是的上(下)界.
若數(shù)集既有上界又有下界，則稱為有界集. 若不是有界集，稱它為無界集. 無界集包括只無上界而有下界、只無下界而有上界、既無上界又無下界這三種情形.
自然數(shù)全體構(gòu)成的數(shù)集，是個有下界但無上界的無界數(shù)集. 任何有限區(qū)間都是有界集. 任何無限區(qū)間都是無界集.
若一個數(shù)集有上界，則它有無數(shù)多個上界. 這些上界中最小的一個(如果存在的話)稱它為數(shù)集的上確界. 同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為數(shù)集的下確界. 例如數(shù)集=的上確界為，下確界為. 實因?qū)σ磺?，都?，因此是一個下界，是一個上界. 若把稍微變小成，則不再是的一個上界，理由是對不成立，可見為上界中的最小者. 同理為下界中的最大者.
Def2. 對于給定的數(shù)集，若數(shù)滿足條件：
(i) 是的上界，即對一切，有 ;
(ii) 對任何小于的數(shù)，一定存在中的某一個數(shù)，使得.
則稱數(shù)為數(shù)集的上確界，記為=或=.
Def3. 對于給定的數(shù)集，若數(shù)滿足條件：
(i) 是的下界，即對一切，有 ;
(ii) 對任何大于的數(shù)，一定存在中的某一個數(shù)，使得.
則稱數(shù)為數(shù)集的下確界，記為=infS或=.
例如，，
.
注：（1）S的上（下）確界可能屬于S，也可能不屬于S；supS＝M∈S maxS＝M,
infS＝M∈S minS＝M
（2）若數(shù)集S有上（下）確界，則上（下）確界唯一.
證：設與都是S的上確界，且有＞.
由于為S的上確界，＜,由上確界的定義知不是S的上界，當然也就不是S的上確界，這與假設矛盾，∴必有≤.同理可得 ≤.
由此知，必有＝. 證畢. ▌
（3）若數(shù)集S有界，即S既有上界又有下界，則M＞0，對∈S都有≤M.
證：設S既有上界T，又有下界L，則對∈S都有L≤≤T；
取 M＝，則－M≤≤M，即≤M. ▌
例1.(P9.3.) 設為非空數(shù)集，試對下述概念給出定義：
(1) 數(shù)集沒有上界，(2) 數(shù)集無界.
解 (1) 任給無論多大正數(shù)，相應地總存在，使.
(2)任給無論多大正數(shù)，相應地總存在，使||.
例2.(P9.4.) 求下列數(shù)集的上、下確界，并依定義加以驗證：
(2) =，
(4) =.
解 (2) . 實因任何，都有, 又任給，存在=1，成立，所以 . 數(shù)集無上界，自然無最小上界.
(4)=1, =.實因任何，都有 . 對任何1由 可解得. 取，則存在=，使得. 故=1. 對任何，存在=，使得.故=.
作業(yè) P9.1(1)(4).4(1)(3).
第3次課
教學內(nèi)容(或課題)： §1.2 數(shù)集 確界原理(續(xù))
目的要求： 掌握確界原理及推廣的確界原理，掌握應用確界原理處理有關(guān)數(shù)集上確界、下確界的一般常用方法.
教學過程：
一 復習：
有上界的數(shù)集上界有無窮之多最小的上界嚴格的定義.
有下界的數(shù)集下界有無窮之多最大的上界嚴格的定義.
二 確界原理和推廣的確界原理
定理1.1（確界原理） 設為非空數(shù)集. 若有上界，則必有上確界；若有下界，則必有下確界.
證 只證上確界的結(jié)論. 不妨設含有非負數(shù). 由于有上界，則可找到非負整數(shù)，使得
1）對任何有；2）存在，使.
對半開區(qū)間作10等分，分點為，，. 則存在，1，2，中的一個數(shù)，使得
1） 對任何有；2）存在，使.
再對半開區(qū)間作10等分，則存，1，2，中的一個數(shù)，使得
1）對任何有；2）存在，使.
繼續(xù)不斷地等分前一個區(qū)間, 對任何, 存在中的一個數(shù),使得
1) 對任何有； (1)
2）存在，使.
將上許不走無限地進行下去,得到實數(shù). 往證
. 只須證明:
①對一切有; ②對任何,存在使.
若結(jié)論(1)不成立, 即存在使, 則可找到的位不足近似值, 使 , 從而, 但這與不等式(1)矛盾, 于是①得證.
現(xiàn)設, 則存在使的位不足近似值, 即
.
根據(jù)數(shù)的構(gòu)造, 存在使, 從而有, 即得
. 這就證明了②. 證畢.
確界原理是極限理論的基礎(chǔ), 應充分重視.
若把和補充到實數(shù)集中，并規(guī)定任一實數(shù)與和的關(guān)系如后： ，，.
若數(shù)集沒有上界，則定義為的非正常上確界，記作. 若數(shù)集沒有下界，則定義為的非正常下確界，記作.
推廣的確界原理 任一非空數(shù)集必有上(下)確界(正常的或非正常的).
對自然數(shù)集，有 =1， =. 對于數(shù)集
= (3)
有=，=2.
三 問題舉例
例1 設為非空數(shù)集，若對一切和一切， 都有則.
證明 由于中任一元素都是的上界，中任一元素都是的下界，而皆為非空數(shù)集，由確界原理知，數(shù)集有上確界，數(shù)集有下確界 .
若 ，則令=(-)0. 于是由確界定義(ii)必分別存在和，使得 -=(+)，+=(+). 因而有.與題設矛盾，故只能成立
又證 因為對一切和一切，都有，所以數(shù)集有上界，因而存在有限的上確界 . 又一切都是數(shù)集的上界，而上確界是最小的上界，所以 ()
且該不等式對一切都成立. 由()知是數(shù)集的一個下界，而下確界是最大的下界，所以. 證畢.
例5 設、皆為非空有界數(shù)集，記=.證明：(1)=. (2). =
證 不妨設. 再設.
(1) 因為對一切，一切，都有和，所以對一切=，都有=. 又對任何，存在==，使. 所以=.
(2) 證法類似, 略.
（以下例題可以不講）
例2.(P9.5(1).) 證明：=的充要條件是=.
證明 “” 因為=，所以對一切，都有.又，所以是的最大值.
“” 因為是的最大值，所以對一切，都有，且. 對任何，存在=，有. 所以=.
例3(P9.6(1).) 設為非空數(shù)集，定義=，證明：=-.
證明 先設. 由上確界定義，一方面對任何，都有 (1)
另一方面對任何，存在，使 . (2)
由的定義及(1)式，得到對一切， 都有 .由(2)式，對任何，存在 -，使 . 所以 =-.
例4(P9.7(1).(3).) 設、皆為非空集合，記=，=≠.證明：(1)=.
(3).
證明 不妨設. 再設.
(1) 因為對一切，一切，都有和，所以對一切=，都有=. 又對任何，存在==，使. 所以=.
(3) 因為對一切，一切，都有和，所以對一切=，都有. 這就是說，實數(shù)是數(shù)集的一個上界. 又數(shù)集的上確界也是數(shù)集的一個上界，而且是最小的上界，所以 . ▌
當時，由學生補證.
例5(P9.8(1).) 設、皆為非空有界數(shù)集，定義數(shù)集
＝.
證明：=+.
證明 i：對∈，有≤；對∈，有≤
∴有 ＝＋≤＋
∴＋是的一個上界；
ii：對ε＞0，－ε不是的上界，
∴∈，s.t. ＞－ε,
同理∈，s.t. ＞－ε,
∴＝＋＞＋－ε；
綜合i，ii可知：＝＋. ▌
例6(P10.9(2).) 設、皆為非空有界數(shù)集，若對任何，，都有，定義數(shù)集：
.
證明：.
證明 對任何，相應存在和，使得= . 即是數(shù)集的一個上界. 對任何＜，總可將分為=，使＜，＜，于是存在和，使，.從而存在=，有=++.所以=.
例7(P10.10.) 設為有理數(shù)，證明
證明 對于給定的，令=. 當時，對一切，都有 ，即是數(shù)集的一個上界. 又對的，由不等式，可得 . 在開區(qū)間(，)內(nèi)存在有理數(shù)，因此存在 ，使. 所以=，即=.
當時，對一切，都有 ，即是數(shù)集的一個下界. 又對的，由不等式，可得. 在開區(qū)間(，)內(nèi)存在有理數(shù)，因此存在 ，使. 所以=，也就是=. 證畢.
作業(yè) P9-10. 5. 6. 7. 8.
第4次課
教學內(nèi)容(或課題)： §1.3 函數(shù)概念
目的要求：掌握函數(shù)的定義、表示法、四則運算、復合運算、反函數(shù)及初等函數(shù).
教學過程：
一 函數(shù)的定義
Def1. 給定兩個實數(shù)集和，若有一個對應法則，使內(nèi)每一個數(shù)，都有唯一的一個數(shù)與它相對應，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作 ：，. (1)
數(shù)集稱為函數(shù)的定義域. 對于中每一個，根據(jù)法則所對應的中的數(shù)，稱為在點的函數(shù)值. 常記為. 全體函數(shù)值的集合 = 稱為函數(shù)的值域.
(1)中第一式“”表示按法則建立到的函數(shù)關(guān)系，第二式“”表示這兩個數(shù)集中元素間的對應關(guān)系，也可以記為“”. 習慣上，稱函數(shù)關(guān)系中的為自變量，為因變量.
關(guān)于函數(shù)概念的幾點說明:
1. 定義域和對應法則是確定函數(shù)的兩要素. 只有定義域相同，對應法則相同的諸函數(shù)才是相同函數(shù).
2. 記號“函數(shù)”與“函數(shù)”省略定義域，而省略的定義域是指用公式法表示函數(shù)時使該式子有意義的自變量值的全體，即函數(shù)的存在域.
3. 函數(shù)給出了軸上的點集到軸上的點集之間的單值對應也稱映射.
4. 對每一個，只能有唯一的值與它對應，這種函數(shù)稱為單值函數(shù). 若允許同一個值可以和多于一個的值相對應，則稱為多值函數(shù). 本書只討論單值函數(shù).
二 函數(shù)的表示法
常用的函數(shù)的表示法主要有:
幾個特殊的函數(shù):
1. 符號函數(shù): ＝
顯然有 =.
2. “∈R,對應的是不超過的最大整數(shù).”顯然, ∈R都對應唯一一個,這是一個函數(shù),表示為＝[].
3. “∈R,對應的＝－[].”這是一個函數(shù),表為＝{}.即數(shù)的小數(shù)部分.
4. 定義在R上的狄利克雷(Dirichlet)函數(shù):
＝
5. 定義在[0,1]上的黎曼(Riemann)函數(shù):
＝
三 函數(shù)的四則運算
函數(shù)定義包含兩個要素:對應關(guān)系與定義域.因此,定義兩個函數(shù)相等和四則運算需要同時考慮這兩個要素.
Def2.設兩個函數(shù)和分別定義在數(shù)集和.
1. 若＝,且∈,有＝,則稱函數(shù)與相等,表示為＝.
2. 若∩≠則函數(shù)與的和＋、差－、積分別定義為:
(＋)()＝＋, ∈∩
(－)()＝－, ∈∩
()()＝·, ∈∩
3. 若(∩)－≠,則函數(shù)與的商定義為:
()()＝, ∈(∩)－
四 復合函數(shù)
設有兩個函數(shù)=， 和=，，若=，，則對每個，可先由函數(shù)對應中唯一一個值，而又由函數(shù)對應唯一一個值. 這就確定了一個定義在上，以為自變量，為因變量的函數(shù)，記作=， 或 =，,稱為由函數(shù)與經(jīng)過復合運算得到的復合函數(shù). 稱數(shù)，稱為內(nèi)函數(shù)，稱為中間變量.
例1函數(shù)==，=，==1-，=經(jīng)過復合運算后得=，=
.值域=.
附注: 復合函數(shù)也可以由多個函數(shù)相繼復合而成，例如：=，，=，，， 相繼復合運算得=，.
例：＝ 由三個函數(shù)復合而成:,,
附注: 當外函數(shù)的定義域和內(nèi)函數(shù)的值域不相交時，不能進行復合運算. 例如，，; ，.
五 反函數(shù)
Def4. 設已知函數(shù) , ∈D
若對于值域中每一個值,D中有且只有一個值,使得,則按此對應法則能得到一個定義在上的函數(shù),稱這個函數(shù)為的反函數(shù),記作
: 或 或 ＝,∈.
注:函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)在定義域內(nèi)是一一對應的.
設已知函數(shù)=，. 若對值域中每一個值，中有且只有一個值，使得 ， 則按此對應法則得到一個定義在上的函數(shù)，稱為的反函數(shù)，記作
：， 或 ，.
附注 函數(shù)=，存在反函數(shù) 與通過一一對應.函數(shù)=，的反函數(shù)習慣上記為
，.
例如：按習慣記法，函數(shù)，，的反函數(shù)分別是，，，.
六 初等函數(shù)
基本初等函數(shù)有：
常量函數(shù) (是常數(shù)); 冪函數(shù) (為實數(shù));
指數(shù)函數(shù) (); 對數(shù)函數(shù) ();
三角函數(shù) ，，，;
反三角函數(shù) ，，，.
由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合運算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù). 例如：多項式函數(shù) =是常量函數(shù)與正整數(shù)冪函數(shù)經(jīng)過若干次乘法與加法運算得到的. 有理(分式)函數(shù)=，這里、均為多項式函數(shù)，其定義域是中剔除使=0的根之后的數(shù)集.
不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù). 狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)都是非初等函數(shù).
作業(yè) P15. 1(4)(5). 3. 4(3)(4). 7(1)(4). P20. 8.
第5次課
教學內(nèi)容(或課題)： §1.4 具有某些特性的函數(shù)
目的要求：掌握有界函數(shù)、上界、下界、無界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、嚴格單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)、基本周期等概念，學會靈活正確使用這些概念.
教學過程：
首先區(qū)別:“函數(shù)定義在數(shù)集上”和“函數(shù)在數(shù)集上有定義”.
一 有界函數(shù)
Def1.設函數(shù)在數(shù)集A有定義.若函數(shù)值的集合
＝
有上界(有下界、有界),則稱函數(shù)在A有上界(有下界、有界).
(請注意本定義與課本上的定義的不同之處)
若在上有上界，則數(shù)集有上界，其上界不止一個. 若在上有下界，則有下界，其下界不止一個.
Def2.設為定義在上的函數(shù)，若存在正數(shù)，對每一個，都有 ，則稱為上有界函數(shù).
由已知的數(shù)集有上界、有下界和有界的定義,不難寫出函數(shù)在A有上界、有下界和有界的肯定敘述,同時也容易寫出它們的否定(即無上界、無下界和無界)敘述:
函數(shù)在A有上界
b∈R,∈A,有≤b
函數(shù)在A無上界
b∈R, ∈A,有＞b
函數(shù)在A有下界
b∈R,∈A,有≥b
函數(shù)在A無下界
b∈R, ∈A,有＜b
函數(shù)在A有界
M＞0,∈A,有≤M
函數(shù)在A無界
M＞0, ∈A,有＞M
由上述定義我們不難發(fā)現(xiàn)：把一個定義中“存在”改為“任意”,把“任意”改為“存在”就得到與其相反概念的另一個定義.
為上有界函數(shù) 在上既有上界又有下界. 即數(shù)集有界.
的幾何意義是：的圖象完全落在直線=-和直線=之間. 例如=和=的圖象.
例1．證明：=為上的無上界函數(shù).
證 對任何正數(shù)，取中的=，則有
=+1.
故為上無上界函數(shù).
例2．設、為上的有界函數(shù)，證明：
① ；
②
證 ①因，故是的一個下界. 而下確界是最大的下界，所以①成立.
② 因，故是的一個上界. 而上確界是最小的上界，所以②成立.
二 單調(diào)函數(shù)
Def3.設函數(shù)在數(shù)集D上有定義,若,∈D,且＜,總有
1°≤,則稱在D上單調(diào)遞增,特別地,當＜時稱在D上嚴格單調(diào)遞增;
2°≥,則稱在D上單調(diào)遞減,特別地,當＞時稱在D上嚴格單調(diào)遞減.
函數(shù)在D上嚴格遞增、嚴格遞減與單調(diào)遞增、單調(diào)遞減統(tǒng)稱為函數(shù)在D上單調(diào).嚴格遞增與嚴格遞減稱為嚴格單調(diào).若D為區(qū)間,則此區(qū)間為函數(shù)地單調(diào)區(qū)間.
例3. 函數(shù)＝[]與＝sgn在R都是單調(diào)遞增函數(shù).
事實上, ,∈R,且＜,有[]≤[], sgn≤sgn.
Th1.2 嚴格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且嚴格遞增(減)函數(shù)地反函數(shù)也必是嚴格遞增(減)的.
證明: 設在D上是嚴格單調(diào)遞增函數(shù),則對∈,都∈D,使.
∵,∈D,若＜,就有＜;若＞,就有＞,
∴一個只能與一個對應.
∴存在反函數(shù),設反函數(shù)為＝, ∈
設,∈,且＜,有＝,＝,那么必有＜,即＜.(若不然,若≥必有≥矛盾)
∴ 的反函數(shù)存在且也嚴格遞增.
同理可證嚴格遞減函數(shù)的反函數(shù)也必是嚴格遞減的.▌
★思考: 該定理的逆命題是否成立?(不成立)
例5．函數(shù)在是嚴格遞減的，存在反函數(shù)；在是嚴格遞增的，存在反函數(shù)；而在不是單調(diào)的.
例6．證明：當時在上嚴增；當時在上嚴減.
證 設，對任意給定，. 由有理數(shù)集的稠密性，存在有理數(shù)，使(參見§1例1)，故有
,
這就證明了當時在上嚴增.
同理可證當時在上嚴減.
三 奇函數(shù)和偶函數(shù)
Def4.設是定義在數(shù)集D上的函數(shù).若∈A,有-∈A,且
＝－ (＝)
則稱為D上的奇(偶)函數(shù).
注: 1.奇、偶函數(shù)的定定義域D必須關(guān)于原點對稱;
2.從函數(shù)圖象上看,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點稱中心對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于縱軸稱軸對稱.
正弦函數(shù)、正切函數(shù)、符號函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，而函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
四 周期函數(shù)
Def5.設函數(shù)是定義在數(shù)集D上的函數(shù).若＞0, s.t. 對∈D,都有±∈D
且＝成立,則稱函數(shù)為周期函數(shù), 稱為的一個周期.
若是函數(shù)的周期,則2也是它的周期,事實上
＝＝＝＝＝＝
不難用歸納法證明,若是函數(shù)的周期,則(∈N)也是它的周期.若函數(shù)有最小的正周期,則稱這個最小周期為的基本周期,簡稱為周期.
函數(shù)的周期為2，的周期為.常量函數(shù)是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但不存在基本周期.
例3. 狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)是周期函數(shù),但無基本周期.
事實上 ＝
存在有理數(shù), s.t. ,∴為周期函數(shù).
同時,對任意的有理數(shù),都有,故無基本周期.
例4. 證明: ＝{}＝－[]是周期函數(shù),并求其基本周期.
證: 先證 [＋]＝[]＋ (為整數(shù))
設 ≤＜＋1,則＋≤＋＜＋＋1,
故[＋]＝＋,[]＝
∴[＋]＝[]＋ (為整數(shù)).
∵＝＋1－[＋1]＝＋1－([]＋1)＝－[]＝
∴T＝1是的一個周期.
設T為的一個周期,則
＝
即 ＋T－[＋T] ＝－[]
∴T＝[＋T]－[] (為整數(shù))
∴若有周期,那么周期必為整數(shù),而T＝1為的周期
∴T＝1為的基本周期.▌
作業(yè) P20. 1. 2(1)(3). 4(1)(4). 5(1)(2). 6(3).
第6次課
教學內(nèi)容(或課題)： 習題課
目的要求：處理課本上幾個難題以及作業(yè)中出現(xiàn)的問題，使學生對處理初等函數(shù)的性質(zhì)、處理確界、處理極大極小問題的方法能達到靈活自如的程度，為進一步學習打好基礎(chǔ).重點強調(diào)有關(guān)確界的證明過程.
教學過程：
1(P21.3.). 設=，求：，，，，，，，.
解 =1，=，=，=，=，，=， ==.
2(P22.14.(2)). 延拓定義在上的函數(shù)到整個實數(shù)軸上，使所得之函數(shù)為：(1)奇函數(shù)，(2)偶函數(shù). 設
解 (1) 令 令
3(P22.15.) 設為定義在上的以為周期的函數(shù)，為實數(shù). 證明：若在上有界，則在上有界.
證 任取，由于實數(shù)具有阿基米德性，存在整數(shù)，使 ，因而 .由此存在，使 . 再由函數(shù)的周期性，得. 設在上，. 則.證畢
4(P21.9.) 設為區(qū)間上遞增函數(shù)，證明：和 都是上的增函數(shù).
證 設，且. 因為為區(qū)間上遞增函數(shù)，所以，. 所從，，從而. 即.
，. 因而. 即. 證畢.
5(P20.7.) 設為定義在上有界函數(shù)，且，.求證：
(1) ， (2) .
證 因為為定義在上有界函數(shù)，所以它們在上都存在有限的上、下確界.
(1)由，. 得 ，.亦即，. 由于上確界是最小的上界，得.
（2）由，. 得 ,.亦即，. 由于下確界是最大的下界，得.
6(P22.16.) 設在區(qū)間上有界，記
, .
證明： .
證 對于任意的，有和，從而有 . 即. 這就是說是數(shù)集的一個上界. 數(shù)集的上確界也是一個上界，而且是最小的上界，故
. (1)
對于任意的，有，從而，
有 .
對每個固定，常數(shù)是數(shù)集的一個上界，數(shù)集的上確界也是一個上界，而且是最小的上界，故
.
從而 .
常數(shù)是數(shù)集的一個下界，數(shù)集的下確界也是一個下界，而且是最大的下界，故
.
從而 . (2)
由(1)、(2)兩式立得 .
作業(yè)： P20. 8. P21. 8. 10. 11(3)(3)(3).
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