第二講圓冪定理

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1、黃金數(shù)學(xué)組 專注專業(yè) 彰顯權(quán)威 堅(jiān)持 執(zhí)著 高效 調(diào)節(jié) 反思 總結(jié) 第三講 直線與圓的位置關(guān)系 一、 知識掃描 （一）、直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表： （二）、切線的性質(zhì)及判定 1、切線的性質(zhì) （1） 定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑． 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)． 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． （2） 注意：這個定理共有三個條件，即一條直線滿足：①垂直于切線②過切點(diǎn)③過圓心 ①過圓心，過切點(diǎn)垂直于切線．過圓心，過切點(diǎn)，則． ②過圓心，垂直于切線過切點(diǎn)．過圓心，，

2、則過切點(diǎn)． ③過切點(diǎn)，垂直于切線過圓心．，過切點(diǎn)，則過圓心． 2、切線的判定 （1） 定義法：和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線； （2） 距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； （3） 定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 注意：定理的題設(shè)是①“經(jīng)過半徑外端”，②“垂直于半徑”，兩個條件缺一不可；定理的結(jié)論是“直線是圓的切線”．因此，證明一條直線是圓的切線有兩個思路：①連接半徑，證直線與此半徑垂直；②作垂直，證垂直在圓上． 3、切線長和切線長定理 （1） 切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這

3、點(diǎn)到圓的切線長． （2） 切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角． 二、 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)題型1、直線與圓位置關(guān)系的確定 例1、在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓和有怎樣的位置關(guān)系？為什么？ ⑴ ；⑵；⑶． 例2、如圖，已知⊙是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動，若過點(diǎn)且與平行的直線與⊙有公共點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是 A．≤≤ B．≤≤ C．－1≤≤1 D．＞ 例3、如下左圖，在直角梯形中，，，且，是的直徑，則直線與的位置關(guān)系為( ) A．相離 B．相切 C．相

4、交 D．無法確定 鞏固練習(xí)： 如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，，，，那么直線與以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的位置關(guān)系是 ． 考點(diǎn)題型2、切線的性質(zhì)與判斷 例4、（1）如圖，中，，以上一點(diǎn)為圓心作與相切，又與的另一交點(diǎn)為，則線段的長為_____________． （2）是圓的直徑，是它的弦，過作圓的切線，過作交于，求證：． 例5、已知：如圖，在中，，以為直徑的半圓與邊相交于點(diǎn)，切線，垂足為點(diǎn)．求證：（1）是等邊三角形；（2）． 鞏固練習(xí)： 在中，，是邊上一點(diǎn)，以為直徑的與邊相切于點(diǎn)，

5、連結(jié)并延長，與的延長線交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）若，求的面積． 例6、（1）如圖，為等腰三角形，，是底邊的中點(diǎn)，與腰相切于點(diǎn)，求證與相切． （2） 已知：如圖，內(nèi)接于，是過的一條射線，且．求證：是的切線． （3）如下圖所示，以的直角邊為直徑作半圓，交斜邊于，交于，求證：是的切線； （4）如圖，已知AB為⊙O的弦，C為⊙O上一點(diǎn)，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B． ①求證：AD是⊙O的切線． ②若⊙O的半徑為3，AB=4，求AD的長． 鞏固練習(xí)： 1、如圖所示在中，，的平分線交于，為上一點(diǎn)，，以為圓心，以的長為半徑

6、畫圓．求證：（1）是的切線；（2）． 2、如圖，是的直徑，點(diǎn)在圓上，于．在延長線上，且．求證：是的切線． 3、如圖，是的外接圓，，點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，切于點(diǎn)，且． （1）求證：是的切線． （2）已知，求的半徑． 考點(diǎn)題型3、切線長定理 例7、（1）如圖，已知以直角梯形的腰為直徑的半圓與梯形 上底、下底以及腰均相切，切點(diǎn)分別是．若半圓 的半徑為，梯形的腰為，則該梯形的周長是________． （2）如圖，分別切于，若，周長為，求的半徑． （3）如圖，是的內(nèi)切圓，是切點(diǎn)，，又直線切于，交于，則的周長為______________． 鞏固練習(xí)：

7、 1、等腰梯形外切于圓，且中位線的長為，那么這個等腰梯形的周長是________． 2、如圖，切于，切于，交于兩點(diǎn)，已知，求的周長． 例8、（1）如圖，以正方形的邊為直徑作半圓, 過點(diǎn)作直線切半圓于點(diǎn), 交邊于點(diǎn). 則三角形和直角梯形周長之比為________． （2）梯形中，是上一點(diǎn)，以為圓心的半圓與都相切。已知，求的長。 例9、（1）如圖, 是⊙直徑, 于,交⊙于,切⊙于,交于.求證① ;② （2）（2012?岳陽）如圖，為半圓的直徑，分別切⊙O于兩點(diǎn)，切⊙O于點(diǎn)與相交于與相交于，連接，對于下列結(jié)論：①；

8、②；③④；⑤，其中正確的是________． 綜合提升 例10、如圖，為的直徑，是的中點(diǎn)，交的延長線于，的切線交的延長線于點(diǎn)． （1）求證：是的切線； （2）若，的半徑為，求的長． 例11、已知，如圖在矩形中，點(diǎn)在對角線上，以長為半徑的圓與分別交于點(diǎn)，． （1）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）若，求的半徑． 例12、已知：在中，是直徑，是弦，于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使，交的延長線于點(diǎn)． （1）求證：是的切線； （2）設(shè)與相交于點(diǎn)，若，求半徑的長； （3）在（2）的條件下，當(dāng)時，求圖中陰影部分的面積．

9、 例13、如圖，已知是的直徑，點(diǎn)在上，過點(diǎn)的直線與的延長線交于點(diǎn)，，． （1）求證：是的切線； （2）求證：； （3）點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的值． 對應(yīng)練習(xí)： 1、如圖，已知是正方形對角線上一點(diǎn)，以為圓心、長為半徑的與相切于，與、分別相交于、． （1）求證：與相切． （2）若正方形的邊長為，求的半徑． 2、如圖，是的的直徑，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，弦，弦于點(diǎn)． （1）求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)； （2）求證：是的切線； （3）若，的半徑為，求的長． 3、如圖，是的直徑，，是上一點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，且．

10、 （1）證明是的切線； （2）設(shè)的半徑為，且，求的長． 第四講 圓冪定理 一、知識掃描 1、弦切角定理 ⑴定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。 ⑵弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。 如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，AB是弦，則∠PAB＝∠ACB。 證明： 2、相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。 即： 證明： 3、切割線定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切

11、線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 4、割線定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。 如圖，PT是⊙O的切線，T是切點(diǎn)，PAB、PCD是割線，則PT2＝PA·PB，PA·PB＝PC·PD。 證明： 小結(jié)：（圓冪定理） 過圓所在平面內(nèi)任一點(diǎn)作直線，與圓交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)與圓上兩點(diǎn)的距離之乘積等于點(diǎn)心距與半徑的平方差的絕對值. 即 (因叫做點(diǎn)對于⊙O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理)． 二、方法技能平臺 例1、（1）已知：如圖 ，、切⊙于兩點(diǎn)，為直徑，則圖中與相等的角的個數(shù)為

12、 ． （2） 已知：如圖，直線切⊙于點(diǎn)，，，那么 ． （3） 如圖，為⊙直徑，切⊙于點(diǎn)，，為垂足，，則__________;_________. （4） 已知：如圖，三角形的，內(nèi)切圓與的三邊分別切于，，三點(diǎn)，，那么 ． 對應(yīng)練習(xí)： 如圖，內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，∠B＝35°，MN是過A點(diǎn)的切線，則∠C＝____，∠CAM＝ 。 例2、(1)如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線MN切⊙O于點(diǎn)C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延長線交MN于點(diǎn)P，求證：。 (2)已知：內(nèi)接于⊙O， AE切⊙O于A，BD

13、平分∠ABC交⊙O于D，交AE于E，DF⊥AE于F，求證：①;②. (3)如圖，、切⊙于、，為割線。求證： 拔高訓(xùn)習(xí)： 如圖，為圓的切線，為切點(diǎn)，為割線，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)． 求證：（1）；（2）；（3）若是上的點(diǎn)，交于，且，試確定點(diǎn)在上的位置，并證明你的結(jié)論． 例3、（1）如圖，⊙O的弦AB與CD相交于點(diǎn)P，PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm，那么PD＝_____cm。 （2）如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OC相交于點(diǎn)M，且OM＝MC，若AM＝

14、1.5，BM＝4，則OC的長為____。 ⑶如圖，在⊙O中，P為弦AB上一點(diǎn)，PO⊥PC，PC交⊙O于C，那么( ) A． B． C． D． （4）如圖，在直徑為的半圓上有兩動點(diǎn)，弦相交于點(diǎn)，則 例4、如圖，和是的半徑，并且是上任一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)的的切線交延長線于點(diǎn)． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若，試求的長． 對應(yīng)練習(xí)： 如圖，內(nèi)接于⊙O，的延長線與過點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)，且． 求證：（1）； （2）． 例5、（1）如圖，點(diǎn)是⊙O的直徑延長線上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，垂足為，連接，那么下列結(jié)論中：

15、 ①； ②； ③． 正確的有________________ （2） 已知如圖，的內(nèi)接四邊形，、的延長線交于點(diǎn)，切于點(diǎn)，，則__________;__________. （3） 如圖，兩圓相交于C、D，AB為公切線，AB＝12，CD＝9，則MD＝__________. 例6、如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，P是BA延長線上的點(diǎn)，連結(jié)PC交⊙O于F，如果PF＝7，F(xiàn)C＝13，且PA∶AE∶EB＝2∶4∶1，那么CD的長是________。 例7、如圖，AC是⊙O的直徑，OB⊥AC，M是AO上一點(diǎn)，BM的延長線交⊙O于N，過N點(diǎn)的切線交CA得延長線于P， ①求證：; ②若⊙O的半徑為，,求的周長. 例8、如圖，PA是⊙O的切線，從PA的中點(diǎn)B作割線BCD，分別交⊙O于C、D，連結(jié)PC、PD，分別交⊙O于E、F，求證：∠APD＝∠EFD。 例9、如圖，已知是⊙O直徑延長線上一點(diǎn)，割線交⊙O于、兩點(diǎn)，弦于，交于點(diǎn)； (1)連接，求證： (2)求證：； (3)若，⊙O的半徑為，求的長。 （備用圖） - 17 -