2022年人教A版高中數(shù)學 必修五 2-3 第2課時 等差數(shù)列的前n項和（教案）

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1、2022年人教A版高中數(shù)學 必修五 2-3 第2課時 等差數(shù)列的前n項和（教案）【教學目標】1.知識與技能： 進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題，會利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式研究的最值.初步體驗函數(shù)思想在解決數(shù)列問題中的應用.2.過程與方法： 通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力.3.情感、態(tài)度與價值觀： 提高學生代數(shù)的思維能力，使學生獲得一定的成就感； 通過生動具體的現(xiàn)實問題、數(shù)學問題，激發(fā)學生探究的興趣與欲望，樹立求真的勇氣與自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)

2、生熱愛數(shù)學的情感.【教學重點】等差數(shù)列前n項和公式的掌握與應用.【教學難點】靈活應用求和公式解決問題.【教輔手段】多媒體投影儀、黑板【教學過程】I.情景設(shè)置溫故知新 首先，回顧上一節(jié)所學的內(nèi)容：（1）等差數(shù)列的前n項和公式1：（2）等差數(shù)列的前n項和公式2：.新知探究1. 等差數(shù)列的等價條件例1：已知數(shù)列的前項和，求（1）（2）求這個數(shù)列的通項公式.（3）這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差分別是什么？分析：課本例題，題型比較簡單，主要是靠引導學生.過程略.設(shè)計意圖本例題實際上給出了數(shù)列前項和公式判別是否是等差數(shù)列的依據(jù)，要讓學生們知道等差數(shù)列前項是一個常數(shù)項為0的關(guān)于的二次型函數(shù).接

3、下來，我們來完成一探究題.如果一個數(shù)列的前 n 項和為.其中p、q、r 為常數(shù)，且 ，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：由 得又 時 此類數(shù)列從第二項開始為等差數(shù)列.歸納要使數(shù)列為等差數(shù)列，則即設(shè)計意圖本探究實際上是對例1的深化，目的是為了讓學生進一步認識到，如果一個數(shù)列的前項公式是一個常數(shù)項為0的關(guān)于的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列，從而使學生從結(jié)構(gòu)上認識數(shù)列.2.等差數(shù)列的最值問題例2：已知等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值分析：等差數(shù)列的前n項和公式可以寫成 ，所以 可以看成函數(shù)，當時的函數(shù)值.另一方面，容易知道 關(guān)于n的圖像是一條拋物線

4、上的一些點，因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.解：由題意知，等差數(shù)列 的公差為 所以 當 n取與最接近的整數(shù)即為7或8時取最大值.設(shè)計意圖通過學習等差數(shù)列前項和的函數(shù)性質(zhì)來用于實際題型中的應用，加深對函數(shù)結(jié)構(gòu)的認識。例3：等差數(shù)列 中，求使得最小的序號的值？解法一（同例2的解法一樣，在此可以帶過即可）：由得 因此 則 則由以上條件知有最小值.又 ，則=10或11時取最小值，最小值為.即 解法二：由解法一知 而則數(shù)列為遞增數(shù)列.令 即數(shù)列的前10項均為負值, =0.從第12項開始為正值.n=10或n=11時取最小值.解法三：即又則數(shù)列 為遞增數(shù)列.數(shù)列的前10項均為負值， =0.從第12項開

5、始為正值.當n=10或11是取最小值.設(shè)計意圖本例是對例2 的深化，通過一般的求最值方法，引導學生思考用簡單的方法來解決同樣的問題，達到數(shù)學淺入深出的學習效果。3. 等差數(shù)列前項和的性質(zhì)例4：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，求證也成等差數(shù)列，設(shè)成等差數(shù)列嗎？解法一：由 可得 解法二： 同理可得： （的情況也類似，在此省略）設(shè)計意圖本例是要求學生通過自己做題來得出結(jié)論的，但是為了學生能更好的理解這個結(jié)論并且應用這個結(jié)論，在本節(jié)課加了這個例題，希望可以減輕學生課后的負擔。例5：（備用例題，時間允許可在課堂上講解）若兩個數(shù)列和的前項和和滿足關(guān)系式求（分析：條件是前項和的比值，而結(jié)論是通項的比值，所以

6、，需要將通項的比值轉(zhuǎn)化為前項和的比值，恰當?shù)膽玫炔罟娇梢院喕忸}過程.）解：由等差數(shù)列性質(zhì)：設(shè)計意圖本例題對于初學者來說解答比較困難，若果讓學生自行解答比較吃力，在這里加了講解，希望對學生有所幫助?！練w納提升】1.等差數(shù)列的等價條件 若一個數(shù)列為等差數(shù)列，則 中的C必為0，A、B為任意常數(shù).反之也成立.2.求等差數(shù)列前n項和的最值有兩種方法第一種：根據(jù)項的正負來定若，則數(shù)列的所有正數(shù)項之和最大，若, 則數(shù)列的所有負數(shù)項之和最小.第二種：由二次函數(shù)的最大，小值知識及 知.當n取接近于的正整數(shù)時，取最大值（或最小值）值得注意的是接近的正整數(shù)有時1個，有時2個.3.等差數(shù)列前項和的性質(zhì)若數(shù)列是等

7、差數(shù)列，是其前項和，設(shè)也成等差數(shù)列.設(shè)計意圖總結(jié)是為了讓學生明白本節(jié)課的重難點在哪，同時使學生回顧本節(jié)課的知識點，達到復習加總結(jié)的效果?！炯磿r體驗】問題1.等差數(shù)列中，求數(shù)列的前n項和的最小值.分析：利用歸納的2種解題方法進行求解：將Sn表示成關(guān)于n的一元二次函數(shù)的最值求解.確定數(shù)列中負值的個數(shù)，由所有項之和最小求解.解答過程略.問題2：已知等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為多少？解：成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D，又首項為，前10項的和為又問題3：若兩個等差數(shù)列的前項和之比是，試求它們的第11項之比.分析：同例3同題型，問題轉(zhuǎn)化為具體的項之比，題目更簡單化，解答過程

8、在此處省略.設(shè)計意圖及時鞏固，讓學生活學活用，直接應用本節(jié)課所學的知識點來解決數(shù)學問題。達到加深理解的學習效果。八、課后延續(xù)P46習題2.3.A組第3題；P47習題2.3.B組第4題設(shè)計意圖課后作業(yè)可以讓學生加深本節(jié)課的認識，同時不忘記鞏固。九、板書設(shè)計 幕布課題一、復習二、探究題歸納總結(jié)三、最值問題歸納四、等差數(shù)列性質(zhì)一 例1二 探究分析三 例2分析四 例3分析十、備用問題（高考題）：【xx年高考福建卷理3】設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，則當Sn取最小值時，n等于（）A、6 B、7 C、8 D、9考點：等差數(shù)列的前n項和專題：常規(guī)題型分析：條件已提供了首項，故用“a1，d”法，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)解得解答： 解：設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2（-11）+8d=-6，解得d=2，所以 ，所以當n=6時，Sn取最小值故選A.十一、教后反思