2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理教案1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(5)cos A cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin A

2、acsin B(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.3在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)在ABC中，AB必有sin Asin B()(2)若滿足條件C60，AB，BCa的ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是(，2)()(3)若ABC中，acos Bbcos A，則ABC是等腰三角形()(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形()(5)當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形ABC為銳角三角形；當(dāng)b2c

3、2a20時(shí)，三角形為直角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形為鈍角三角形()(6)在ABC中，AB，AC1，B30，則ABC的面積等于.()1(xx湖南改編)在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，若2asin Bb，則角A .答案解析在ABC中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A為銳角，A.2在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是 三角形答案鈍角解析sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，cos C，ABC為鈍角三角形3(xx江西改編)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是

4、 答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.4(xx廣東)在ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcos Cccos B2b，則 .答案2解析方法一因?yàn)閎cos Cccos B2b，所以bc2b，化簡(jiǎn)可得2.方法二因?yàn)閎cos Cccos B2b，所以sin Bcos Csin Ccos B2sin B，故sin(BC)2sin B，故sin A2sin B，則a2b，即2.題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(xx山東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且

5、ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理得：cos B，即a2c24ac.(ac)22ac4ac，ac9.由得ac3.(2)在ABC中，cos B，sin B .由正弦定理得：，sin A.又AC，0A0，sin A.cos B0，sin B.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.題型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀例2在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大??；(2)若sin Bsin C，試判斷A

6、BC的形狀解(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，0A180，A60.(2)ABC180，BC18060120.由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.sin Bcos B，即sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090，B60.ABC60，ABC為等邊三角形思維升華(1)三角形的形狀按邊分類(lèi)主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類(lèi)主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角

7、關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別(2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理(1)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若cos A，則ABC為 鈍角三角形 直角三角形銳角三角形 等邊三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為 等邊三角形直角三角形等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形答案(1)(2)解析(1)已知cos A，由正弦定理，得cos A，即sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，

8、即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0，于是有cos B0，B為鈍角，所以ABC是鈍角三角形(2)cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC為直角三角形題型三和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題例3(xx浙江)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大?。?2)若sin A，求ABC的面積解(1)由題意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得A

9、B.又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sin A，得a.由ac，得AC，從而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面積為Sacsin B.思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則：(1)對(duì)于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化(1)(xx課標(biāo)全國(guó)改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為 (2)(xx山東)在ABC中，已知tan A，當(dāng)A時(shí)，ABC的面積為 答案(

10、1)1(2)解析(1)因?yàn)锽，C，所以A.由正弦定理得，解得c2.所以三角形的面積為bcsin A22sin .因?yàn)閟in sin，所以bcsin A21.(2)已知A，由題意得|cos tan ，|，所以ABC的面積S|sin .三角變換不等價(jià)致誤典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀易錯(cuò)分析(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形；(2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解；(3)結(jié)論表述不規(guī)范規(guī)范解答解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)

11、sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02Bc，已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解(1)由2得cacos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292613.解得或因?yàn)閍c，所以a3，c2

12、.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B.因?yàn)閍bc，所以C為銳角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：20分鐘)1ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則 .答案解析asin Asin Bbcos2Aa，sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，sin Bsin A，.2在ABC中，若b5，B，tan A2，則a .答案2解析由tan A2得sin A2cos A.又sin2Acos2A1得sin A.b5，B，根據(jù)正弦定理，有

13、，a2.3(xx江蘇)若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是 答案解析由sin Asin B2sin C，結(jié)合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C，故cos C1，故cos C的最小值為.4(xx浙江)在ABC中，C90，M是BC的中點(diǎn)若sinBAM，則sinBAC .答案解析因?yàn)閟inBAM，所以cosBAM.如圖，在ABM中，利用正弦定理，得，所以.在RtACM中，有sinCAMsin(BACBAM)由題意知BMCM，所以sin(BACBAM)化簡(jiǎn)，得2sinBACcosBACcos2BAC1.所以2tanBAC1tan2BAC1，解得tanBAC

14、.再結(jié)合sin2BACcos2BAC1，BAC為銳角可解得sinBAC.5已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對(duì)的邊b，且函數(shù)f(x)2sin2x2sin xcos x在xA處取得最大值(1)求f(x)的值域及周期；(2)求ABC的面積解(1)因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以2BAC，又ABC，所以B，即AC.因?yàn)閒(x)2sin2x2sin xcos x(2sin2x1)sin 2xsin 2xcos 2x2sin，所以T.又因?yàn)閟in1,1，所以f(x)的值域?yàn)?,2(2)因?yàn)閒(x)在xA處取得最大值，所以sin1.因?yàn)?A，所以2A，故當(dāng)2A時(shí)，f(x)取到最大值，所以A，所以C.由正弦定理，知c.又因?yàn)閟in Asin，所以SABCbcsin A.