《平面向量基本定理》教學設計.doc

《《平面向量基本定理》教學設計.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《平面向量基本定理》教學設計.doc（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

《平面向量基本定理》教學設計 一、內容和內容解析 內容：平面向量基本定理。 內容解析：向量不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實際問題的重要工具。從問題中抽象出向量模型，再通過向量的代數(shù)運算獲得問題的解決方案或結果，是利用向量解決問題的基本特征。（平面向量的概念、向量的運算、平面向量基本定理、平面向量的坐標表示是平面向量的主要內容。）平面向量基本定理是向量進行坐標表示，進而將向量的運算（向量的加、減法，向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積等）轉化為坐標的數(shù)量運算的重要基礎，同時，它還是用基本要素（基底、元）表達和研究事物（向量空間、具有某種性質的對象的集合）的典型范例，對于人們掌握認識事物的方法，提高研究事物的水平，有著難以替代的重要作用。 二、目標和目標解析 1．理解平面向量的基底的意義與作用，利用平面向量的幾何表示，正確地將平面上的向量用基底表示出來。 2．通過不同向量用同一基底表示的探究過程，得出并證明平面向量基本定理。 3．通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念。 4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合與二元有序數(shù)組的集合之間的對應關系（這種對應關系建立了非數(shù)對象與數(shù)（或數(shù)組）之間的一種映射），通過這種對應關系，我們可以將向量的運算轉化為數(shù)的運算，由此達到簡化向量的運算，這是數(shù)學的一種基本方法。 5．體會用基本要素（元）表示事物，或將事物分解成基本要素（元），由此達到將對事物的研究轉化為對基本要素（元）的研究，通過對基本要素的內在聯(lián)系的研究達到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。 三、教學問題診斷分析 1．如何處理共線向量定理與平面向量定理之間的同異點及聯(lián)系是教學平面向量基本定理時的關鍵問題，也是理解不同維數(shù)的“向量空間”，體會高維空間向低維空間轉化的重要機會與途徑。因此，教學時應該從共線向量定理的意義與作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）統(tǒng)一表示的方法。 2．利用向量加法的平行四邊形法則，將平面上任一向量用兩個不平行的確定向量（即基底）表示出來是教學中應該關注的另一個關鍵問題。教學時，讓學生聽教師講解是一種處理方法，如果能結合力的分解，啟發(fā)學生聯(lián)想到用平行四邊形的加法法則進行向量分解，可能會有更大的收獲。當然，在進行這個關鍵問題的教學時，可能會涉及平行投影等知識與方法，可根據(jù)不同的學生對象進行取舍。 四、學生學習行為分析 1．學生對向量加、減法及數(shù)乘等運算的意義與作用認識不夠，容易將向量的運算與數(shù)的運算混淆。 2．對于向量的加法、數(shù)乘等運算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數(shù)運算的角度理解向量運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。 3．如果不加啟發(fā)與引導，學生是不會從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內涵，也難以認識這個定理在今后用向量方法解決問題中的重要作用。 五、教學支持條件分析 1．學生的認知基礎：對平面向量與數(shù)量的“同異點及聯(lián)系”有一個基本認識，會用有向線段表示向量，掌握了向量的加法運算與數(shù)乘運算。 2．教學設備：能反映向量加法與數(shù)乘運算的計算機軟件或圖形計算器，盡可能準備實物投影設備。 六、教學過程設計 問題1： 任意找一首用簡譜譜寫的歌曲，你能找到用阿拉伯數(shù)字“8”表示的音符嗎？為什么？ 意圖：關注依附于平面向量基本定理上的重要數(shù)學思想，讓學生明白任何一首曲子都可以用1~7這七個阿拉伯數(shù)字作為音符來譜寫，為用基底表示向量作鋪墊，并由此感受用“元”表達事物的思想。提出這個與數(shù)學知識聯(lián)系不緊密的問題讓學生思考的另一個目的，是將將要學習的知識與思想寓于學生感興趣的問題中，從而激發(fā)他們的學習欲望與熱情。 師生活動：教師給出一些用簡譜譜寫的歌曲，提出問題讓學生思考，歸納總結出如下結論：任何一首用簡譜譜寫的曲子都找不出用阿拉伯數(shù)字“8”表示的音符，但都可以用1~7這七個阿拉伯數(shù)字作為音符譜寫出來。 問題2： 兩個三角形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形之間有什么關系？你是如何得出這個關系的？你能從這個問題中得到一個怎樣的結論？ 意圖：由此，使學生形成三角形的三條邊是三角形這個數(shù)學對象的三個類似于向量的“基底”的元認知，明確有關三角形（忽略了位置）的問題均可以轉化為關于三角形的三條邊的問題。希望能將問題1中“事物元分解”的觀點遷移到數(shù)學對象的認識中來，并由此引出向量的分解與基底表示的探討。 師生活動：讓學生思考討論，教師幫助學生總結出結論：“如果只考慮形狀大小，任何三角形都可由它的邊來確定，因此我們可以說邊是構成三角形的要素（元），而三角形是三元對象”。任何數(shù)學對象都有確定它的基本要素（元），可以通過探究如何用這些要素表示數(shù)學對象，達到理解并把握這些數(shù)學對象的目的。 問題3： 取一個與數(shù)軸方向相同的向量記為a，那么與數(shù)軸平行的所有向量與向量a有什么關系？ 意圖：回顧共線向量定理，體會共線向量的“基底”及用基底表示共線向量的方法，明確平行向量形成“一維空間”，形成對“一元數(shù)學對象”的認識，并為探究平面向量基本定理作鋪墊。 師生活動：引導學生回顧共線向量定理，教師重新解析共線向量定理的意義與作用。 問題4： 取一個與數(shù)軸不平行的向量記為b，那么向量b可以表示怎樣的向量？ 意圖：明確任意一個方向上的全體向量均構成“一維向量空間”，為探究選取兩個不同方向的向量作平面向量的基底作準備。 師生活動：學生思考問題4與問題3的同異點與聯(lián)系，教師解析這個問題的意義與作用。 問題5： 對平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將引起下滑的重力分解成哪幾個力？ 意圖：由重力可以分解為下滑方向的力與垂直斜坡向里的力的和，體會向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）過渡。 師生活動：學生說，教師引導并表述結論。 問題6： 取一個與向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出來嗎？ 意圖：得出平面向量基本定理的內容。 師生活動：教師引導，學生獨立探究，教師在學生的探究所獲得的結論的基礎上，總結出平面向量基本定理。 問題7： 利用平面向量基本定理，你能解決下面問題嗎？ 如圖在中, , 與相交于, 求證: . 解析：設，則，同時，由三個向量的終點共線，故有 。 所以，，從而 　 　　所以，。 意圖：這個問題是一個相當簡單的問題，用相似三角形之間的比例關系就可以解決。這里的目的，是以這個熟悉而且簡單的問題，讓學生感受平面向量基本定理的重要作用，體會向量的應用，加深對平面向量基本定理的認識。 師生活動：教師啟發(fā)引導學生思考，給出解決這一問題的嚴謹過程，給學生一個利用向量解決問題的示范。 教師引導學生總結上述解決問題的方法的步驟，一方面使學生明確這一方法與平面幾何方法的差異：由于數(shù)量及其運算的引進，使得我們的算法更容易表達和操作了；另一方面為今后學習算法留下案例，引導學生從算法的角度思考并解決問題。 此處要再配一些題目，訓練學生以學會用基底表示非基底向量。 問題8： 如果一個問題中沒有向量（結合問題7中的平面幾何問題考慮），但可以考慮用向量來解決它，你會按怎樣的步驟來實現(xiàn)？ 意圖：加深對平面向量基本定理的理解，將向量方法總結為一個算法。 師生活動：學生先思考，讓學生發(fā)表意見，教師總結出向量方法的算法步驟。 問題9： 你能結合問題1、問題2與平面向量基本定理，談談你的認識嗎？ 意圖：進行本節(jié)課的小結。 師生活動：學生先談，教師給出總結： 世界上具有某種共同屬性的事物總有決定它的基本要素，如果我們能找出這些要素并用它來表示這一類事物，那么我們就能通過研究這些基本要素來研究這一類事物，這是一種基本方法。平面向量基本定理為我們建立了一個示范，它告訴我們，今后利用向量研究問題，我們關注更多的是基底是什么，如何將有關向量用基底表示出來。當向量用基底表示后，一個向量與其它向量的區(qū)別就在于基底前的系數(shù)的區(qū)別，這使問題中的各種關系在轉化為向量間的關系后，又進一步地轉化為有序數(shù)組之間的關系，從而可以利用數(shù)量的運算來研究問題，使問題的解決更容易，更徹底。 七、評價設計： 1．如圖所示，D、E、F分別是的邊BC、CA、AB的中點，G是的重心，請將、、用、表示出來，并探究、、之間有什么關系？ 2．請用向量的方法，探究三角形內部的其它一些特殊點的性質