因子分析法基本原理.doc

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1.因子分析法基本原理在對某一個問題進行論證分析時，采集大量多變量的數(shù)據(jù)能為我們的研究分析提供更為豐富的信息和增加分析的精確度。然而，這種方法不僅需要巨大的工作量，并且可能會因為變量之間存在相關性而增加了我們研究問題的復雜性。因子分析法就是從研究變量內(nèi)部相關的依賴關系出發(fā)，把一些具有錯綜復雜關系的變量歸結為少數(shù)幾個綜合因子的一種多變量統(tǒng)計分析方法。這樣我們就可以對原始的數(shù)據(jù)進行分類歸并，將相關比較密切的變量分別歸類，歸出多個綜合指標，這些綜合指標互不相關，即它們所綜合的信息互相不重疊。這些綜合指標就稱為因子或公共因子。因子分析法的基本思想是將觀測變量進行分類，將相關性較高，即聯(lián)系比較緊密的分在同一類中，而不同類變量之間的相關性則較低，那么每一類變量實際上就代表了一個基本結構，即公共因子。對于所研究的問題就是試圖用最少個數(shù)的不可測的所謂公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和來描述原來觀測的每一分量。這樣，就能相對容易地以較少的幾個因子反映原資料的大部分信息，從而達到濃縮數(shù)據(jù)，以小見大，抓住問題本質和核心的目的。因子分析法的核心是對若干綜合指標進行因子分析并提取公共因子，再以每個因子的方差貢獻率作為權數(shù)與該因子的得分乘數(shù)之和構造得分函數(shù)。因子分析法的數(shù)學表示為矩陣：，即: (kp)(1式) 模型中，向量X是可觀測隨機向量，即原始觀測變量。F是X 的公共因子，即各個原觀測變量的表達式中共同出現(xiàn)的因子，是相互獨立的不可觀測的理論變量。公共因子的具體含義必須結合實際研究問題來界定。A是公共因子F的系數(shù)，稱為因子載荷矩陣，（i=1,2,.,p;j=1,2,.,k)稱為因子載荷，是第i個原有變量在第j個因子上的負荷，或可將看作第i個變量在第j公共因子上的權重。是xi與fj的協(xié)方差，也是xi與fj的相關系數(shù)，表示xi對fj的依賴程度或相關程度。的絕對值越大，表明公共因子fj 對于xi的載荷量越大。B是X的特殊因子，是不能被前k個公共因子包含的部分，這種因子也是不可觀測的。各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間都是相互獨立的。2.模型的統(tǒng)計意義因子載荷矩陣A中有兩個統(tǒng)計量對因子分析結果的經(jīng)濟解釋十分重要，即變量共同度和公共因子的方差貢獻。（1） 變量共同度的統(tǒng)計意義 變量共同度是因子載荷矩陣A的第i行的元素的平方和。記為：（其中：i=1,2,.,p）。它衡量全部公共因子對xi的方差所做出的貢獻，反映全部公共因子對變量xi的影響。越大，表明X對于F每一分量的依賴程度大。對1式兩邊取方差，得：（2式）如果的結果接近，且非常小，則因子分析的效果就比較好，從原變量空間到公共因子空間的轉化性質就好。（2） 公共因子的方差貢獻的統(tǒng)計意義 因子載荷矩陣中各列元素的平方和記為：（其中：j=1,2,.,k）。 稱為公共因子F對X的方差貢獻，表示第j個公共因子fi對于x的每一個分量xi(i=1,2,.,p)所提供的方差的總和，是衡量公共因子相對重要性的指標。對2式進行變換，得： 越大，表明公共因子F對X的貢獻越大，或者說對X的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣A的所有(j=1，2，k)都計算出來，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。