《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專題突破二 數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專題突破二 數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
專題突破二 數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項
一、數(shù)列的單調(diào)性
(1)定義：若數(shù)列{an}滿足：對一切正整數(shù)n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，則稱數(shù)列{an}為遞增數(shù)列(或遞減數(shù)列)．
(2)判斷單調(diào)性的方法
①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性．
②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較an＋1與an的大小；作商比較法，即作商比較an＋1與an的大小，從而判斷出數(shù)列{an}的單調(diào)性．
例1 已知函數(shù)f(x)＝(x≥1)，構(gòu)造數(shù)列an＝f(n)(n∈N＋)．試判斷數(shù)列的單調(diào)性．
解 f(x)＝＝－2＋.
方法一 ∵an＝－2＋(n∈N＋)，an＋1＝－2＋，
∴an＋1－an＝－＝
＝＜0.
∴an＋1＜an.
∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．
方法二 設(shè)x1＞x2≥1，則
f(x1)－f(x2)＝－
＝－
＝，
∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，
∴an＝f(n)為遞減數(shù)列．
反思感悟 研究數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項，首選作差，其次可以考慮借助函數(shù)單調(diào)性．之所以首選作差，是因為研究數(shù)列的單調(diào)性和研究函數(shù)單調(diào)性不一樣，函數(shù)單調(diào)性要設(shè)任意x1
0，n≥6時，an<0.
∴{an}的最大值為a5.
例3 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4，n∈N＋.
(1)數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？
(2)n為何值時，an有最小值？并求出其最小值．
解 (1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴數(shù)列中有兩項是負(fù)數(shù)．
(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，且n∈N＋，
∴當(dāng)n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為22－52＋4＝－2.
反思感悟 有時也可借助函數(shù)最值來求數(shù)列最值．但應(yīng)注意函數(shù)最值點不是正整數(shù)的情形．
跟蹤訓(xùn)練3 已知(－1)na＜1－對任意n∈N＋恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案
解析 設(shè)f(n)＝1－，n≥1，則f(n)單調(diào)遞增．
當(dāng)n為奇數(shù)時，有－a＜1－
又f(n)min＝f(1)＝1－＝.
∴－a＜即a＞－.
當(dāng)n為偶數(shù)時，a＜1－.
f(n)min＝f(2)＝1－＝.
∴a＜.綜上，－＜a＜.
例4 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝nn+1，n∈N＋，則該數(shù)列是否有最大項，若有，求出最大項的項數(shù)；若無，請說明理由．
解 ∵an＋1－an＝(n＋1)n+2－nn+1＝n+1，且n∈N＋，
∴當(dāng)n>3，n∈N＋時，an＋1－an<0；
當(dāng)1≤n≤3，n∈N＋時，an＋1－an>0.
綜上，可知{an}在n∈{1,2,3}時，單調(diào)遞增；在n∈{4,5,6,7，…}時，單調(diào)遞減．所以存在最大項．又a3＝33+1－(2n＋1)，n∈N＋?λ>－3.
∴λ的取值范圍是(－3，＋∞)．
(2)依題意有即
解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范圍是[－15，－13]．
反思感悟 注意只有對二次函數(shù)這樣的單峰函數(shù)，這個解法才成立，對于如圖的多峰函數(shù)滿足不一定a7最小．
跟蹤訓(xùn)練5 數(shù)列{an}中，an＝2n－1－k2n－1，n∈N＋，若{an}是遞減數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍．
解 an＋1＝2(n＋1)－1－k2n＋1－1＝2n＋1－k2n，
an＋1－an＝2－k2n－1.
∵{an}是遞減數(shù)列，
∴對任意n∈N＋，有2－k2n－1＜0，
即k＞恒成立，
∴k＞max＝2，
∴k的取值范圍為(2，＋∞)．
1．設(shè)an＝－2n2＋29n＋3，n∈N＋，則數(shù)列{an}的最大項是( )
A．103 B.
C. D．108
答案 D
解析 ∵an＝－22＋2＋3，n∈N＋，
∴當(dāng)n＝7時，an取得最大值，最大值為a7＝－272＋297＋3＝108.故選D.
2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n-1－n-1(n∈N＋)，則數(shù)列{an}( )
A．有最大項，沒有最小項
B．有最小項，沒有最大項
C．既有最大項又有最小項
D．既沒有最大項也沒有最小項
答案 C
解析 an＝n-1－n-1＝2－n-1，
令n-1＝t，則t是區(qū)間(0,1]內(nèi)的值，而an＝t2－t＝2－，所以當(dāng)n＝1，即t＝1時，an取最大值．
使n-1最接近的n的值為數(shù)列{an}中的最小項，所以該數(shù)列既有最大項又有最小項．
3．設(shè)an＝－n2＋10n＋11，則數(shù)列{an}從首項到第幾項的和最大( )
A．10B．11C．10或11D．12
答案 C
解析 ∵an＝－n2＋10n＋11是關(guān)于n的二次函數(shù)，∴數(shù)列{an}是拋物線f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些離散的點，∴{an}前10項都是正數(shù)，第11項是0，∴數(shù)列{an}前10項或前11項的和最大．故選C.
4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，則數(shù)列{an}的最大項的值為________．
答案 1024
解析 ∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴＝2＞1，
∴an＞an－1，即{an}單調(diào)遞增，∴{an}的最大項為a10＝2a9＝22a8＝…＝29a1＝292＝210＝1024.
5．已知數(shù)列{an}中，an＝1＋.若a6為最大項，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (－11，－9)
解析 根據(jù)題意知，y＝1＋的圖象如下：
由a6為最大項，知5＜＜6.∴－11＜m＜－9.
一、選擇題
1．已知數(shù)列{an}滿足a1>0，2an＋1＝an，則數(shù)列{an}是( )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．以上都不對
答案 B
解析 ∵a1>0，an＋1＝an，
∴an>0，∴＝<1，
∴an＋10，
∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．
3．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－9n－100，則其最小項是( )
A．第4項 B．第5項
C．第6項 D．第4項或第5項
答案 D
解析 f(x)＝x2－9x－100的對稱軸為x＝，且開口向上．
∴an＝n2－9n－100的最小項是第4項或第5項．
4．在遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
答案 C
解析 ∵{an}是遞減數(shù)列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
5．函數(shù)f(x)滿足f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N＋)，an＝f(n)，則{an}是( )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．不能確定
答案 A
解析 an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＝3>0.
6．已知p>0，n∈N＋，則數(shù)列{log0.5pn}是( )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．增減性與p的取值有關(guān) D．常數(shù)列
答案 C
解析 令an＝log0.5pn.
當(dāng)p>1時，pn+1>pn，∴l(xiāng)og0.5pn+10)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增，故數(shù)列an＝(n∈N＋)在區(qū)間(0，)上遞增，在區(qū)間(，＋∞)上遞減．
又2<<3，且a2＝a3，所以最大項為第2項或第3項．
8．已知數(shù)列an的通項公式an＝n＋，若對任意的n∈N＋，都有an≥a3，則實數(shù)k的取值范圍為( )
A．[6,12]B．(6,12) C．[5,12]D．(5,12)
答案 A
解析 n＋≥3＋對任意的n∈N＋恒成立，則k≥3－n，
≥3－n，
當(dāng)n≥4時，k≤3n，所以k≤12，
當(dāng)n＝1時，k≥3，
當(dāng)n＝2時，k≥6，
以上三個要都成立，故取交集得6≤k≤12.
二、填空題
9．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2－28n，則數(shù)列{an}的各項中的最小項是第________項．
答案 5
解析 易知，an＝3n2－28n＝32－，故當(dāng)n取附近的正整數(shù)時，an最?。?
又4<<5，且a4＝－64，a5＝－65，故數(shù)列{an}的各項中的最小項是第5項．
10．若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則{an}的通項公式可能為________(填序號)．
①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n.
答案?、佗?
解析 可以通過畫函數(shù)的圖象一一判斷，②有增有減，④是擺動數(shù)列．
11．設(shè)函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N＋，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (2,3)
解析 由題意，得點(n，an)分布在分段函數(shù)
f(x)＝的圖象上．
因此當(dāng)3－a>0時，a11時，a80，
即2n＋1－k>0，n∈N＋恒成立，分離變量得k<2n＋1，
故需k<3即可，
所以k的取值范圍為(－∞，3)．
13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝.
(1)判斷{an}的單調(diào)性；
(2)求{an}的最小項．
解 (1)an＋1－an＝(n＋1)＋－
＝1＋－＝，且n∈N＋，
當(dāng)1≤n≤2時，an＋1－an＜0，
當(dāng)n≥3時，an＋1－an＞0，
即n＝1，n＝2時，{an}遞減，
n≥3時，{an}遞增．
(2)由(1)知{an}的最小項從a2，a3中產(chǎn)生．
由a2＝＞a3＝，
∴{an}的最小項為a3＝.
14．已知數(shù)列an＝，則數(shù)列{an}中的最小項是第________項．
答案 5
解析 an＝＝＝＋，
令3n－16<0，得n<.
又f(n)＝an在上單調(diào)遞減，且n∈N＋，
所以當(dāng)n＝5時，an取最小值．
15．作出數(shù)列{an}：an＝－n2＋10n＋11的圖象，判斷數(shù)列的增減性，若有最值，求出最值．
解 列表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
an
20
27
32
35
36
35
32
27
20
11
0
…
圖象如圖所示．
由數(shù)列的圖象知，
當(dāng)1≤n≤5時數(shù)列遞增；
當(dāng)n>5時數(shù)列遞減，最大值為a5＝36，無最小值．
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