2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題六 算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、概率與統(tǒng)計 第三講 概率教案 文.docx

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第三講　概率 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學(xué)科素養(yǎng) 2018 Ⅱ卷 古典概型T5 命題分析 高考對古典概型與幾何概型考查一般為選擇題，多考查互斥事件、對立事件與幾何概型的計算． 學(xué)科素養(yǎng) 主要是通過古典概率的求法考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模及數(shù)據(jù)分析的學(xué)科素養(yǎng). Ⅲ卷 互斥事件的概率T5 2017 Ⅰ卷 幾何概型T4 Ⅱ卷 古典概型T11 2016 Ⅰ卷 古典概型求概率T3 Ⅱ卷 幾何概型求概率T8 頻數(shù)、頻率、平均值等T18 Ⅲ卷 古典概型求概率T5 幾何概型 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第63頁 [悟通——方法結(jié)論] 　幾何概型的兩個基本特征 (1)基本事件的無限性、等可能性． (2)其事件的概率為P(A) ＝，一般要用數(shù)形結(jié)合法求解． [全練——快速解答] 1．(2017高考全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖. 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A.　　　 B. C. D. 解析：不妨設(shè)正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，所以黑色部分的面積為，故此點取自黑色部分的概率為＝，故選B. 答案：B 2．(2018高考全國卷Ⅰ)如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 解析：∵S△ABC＝ABAC，以AB為直徑的半圓的面積為π2＝AB2， 以AC為直徑的半圓的面積為π2＝AC2， 以BC為直徑的半圓的面積為π2＝BC2， ∴SⅠ＝ABAC，SⅢ＝BC2－ABAC， SⅡ＝－ ＝ABAC. ∴SⅠ＝SⅡ.由幾何概型概率公式得p1＝，p2＝. ∴p1＝p2. 故選A. 答案：A 3．(2018福州四校聯(lián)考)如圖，在圓心角為90?的扇形AOB中，以圓心O為起點在A上任取一點C作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30?的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：記事件T是“作射線OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30?”，如圖，記A的三等分點為M，N，連接OM，ON，則∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30?，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故選A. 答案：A 【類題通法】 幾何概型的判斷關(guān)鍵是注意事件發(fā)生的種數(shù)具有無限性、等可能性，否則不為幾何概型，同時要注意分清是面積型、長度型，還是角度型． 古典概型 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第64頁 [悟通——方法結(jié)論] 古典概型的兩個基本特征 (1)基本事件的有限性、等可能性． (2)其事件的概率為P(A)＝ ＝. [全練——快速解答] 1．(2017高考全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.　　　 B. C. D. 解析：依題意，記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a>b的數(shù)組共有10個，分別為(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率為＝，選D. 答案：D 2．近期“共享單車”在全國多個城市持續(xù)升溫，某移動互聯(lián)網(wǎng)機構(gòu)對使用者進(jìn)行了調(diào)查，得到了使用者對常見的八個品牌的“共享單車”的滿意度指數(shù)，并繪制出莖葉圖(如圖所示)． (1)求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)； (2)某用戶從滿意度指數(shù)超過82的品牌中隨機選擇兩個品牌使用，求所選兩個品牌的滿意度指數(shù)均超過88的概率． 解析：(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝＝83.875. 將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，易知這組數(shù)據(jù)最中間的兩個數(shù)為83,85，則其平均數(shù)為＝84，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為84. (2)滿意度指數(shù)超過82的品牌有五個，其滿意度指數(shù)分 別為83,85,89,91,94，依次記為a，b，c，d，e，從中任選兩個的選法為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10種； 滿意度指數(shù)超過88的有三個，分別為c，d，e，從中任選兩個的選法為{c，d}，{c，e}，{d，e}，共3種． 故所選兩個品牌的滿意度指數(shù)均超過88的概率P＝＝0.3. 【類題通法】 對于較復(fù)雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進(jìn)而可得所求事件的概率． 概率與統(tǒng)計的綜合問題 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第64頁 [悟通——方法結(jié)論] 　(2017高考全國卷Ⅲ)(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 ? 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率． 的概率． (2)設(shè)六月份一天銷售這種(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率． [學(xué)審題] 條件信息 想到方法 注意什么 信息?中頻率分布表 表中最高氣溫與天數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 1.讀表中數(shù)據(jù)要準(zhǔn)確． 2.注意條件中未售出的酸奶要當(dāng)天全部降價處理 信息?中估計概率 利用頻率與概率關(guān)系進(jìn)行估計 信息?中酸奶的利潤 想到進(jìn)貨成本與售價 [規(guī)范解答]　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25， (2分) 由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6， (4分) 所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (5分) (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6450－4450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)， 則Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300； (7分) 若最高氣溫低于20， 則Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100. 所以Y的所有可能值為900,300，－100. (10分) Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8， 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. (12分) 【類題通法】 解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟 [練通——即學(xué)即用] (2018廣州五校聯(lián)考)某市為慶祝北京奪得2022年冬奧會舉辦權(quán)，圍繞“全民健身促健康、同心共筑中國夢”主題開展全民健身活動．組織方從參加活動的群眾中隨機抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20,30)，第2組[30,40)，第3組[40,50)，第4組[50,60)，第5組[60,70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示． (1)若電視臺記者要從抽取的群眾中選一人進(jìn)行采訪，估計被采訪人恰好在第1組或第4組的概率； (2)已知第1組群眾中男性有3名，組織方要從第1組中隨機抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊，求至少有1名女性群眾的概率． 解析：(1)設(shè)第1組[20,30)的頻率為f1，則由題意可知， f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)10＝0.05. 被采訪人恰好在第1組或第4組的頻率為0.05＋0.02010＝0.25. ∴估計被采訪人恰好在第1組或第4組的概率為0.25. (2)第1組[20,30)的人數(shù)為0.05120＝6. ∴第1組中共有6名群眾，其中女性群眾共3名． 記第1組中的3名男性群眾分別為A，B，C,3名女性群眾分別為x，y，z， 從第1組中隨機抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15個基本事件． 至少有一名女性群眾包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12個基本事件． ∴從第1組中隨機抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊，至少有1名女性群眾的概率P＝＝. 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第139頁 一、選擇題 1．(2018高考全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　) A．0.3　　　 B．0.4 C．0.6 D．0.7 解析：由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為1－0.45－0.15＝0.4. 故選B. 答案：B 2．(2018云南模擬)在正方形ABCD內(nèi)隨機生成n個點，其中在正方形ABCD內(nèi)切圓內(nèi)的點共有m個，利用隨機模擬的方法，估計圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. 解析：依題意，設(shè)正方形的邊長為2a， 則該正方形的內(nèi)切圓半徑為a，于是有≈， 即π≈，即可估計圓周率π的近似值為. 答案：C 3．(2018滄州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，在區(qū)間(－1,4)上任取一點，則使f′(x)＞0的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：f′(x)＝，由f′(x)＞0可得f′(x)＝＞0，解得0＜x＜2，根據(jù)幾何概型的概率計算公式可得所求概率P＝＝. 答案：B 4．在區(qū)間[0,1]上隨意選擇兩個實數(shù)x，y，則使≤1成立的概率為(　　) A.　　 　B. C.　　　 D. 解析：如圖所示，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成正方形區(qū)域，使得≤1成立的平面區(qū)域為以坐標(biāo)原點O為圓心，1為半徑的圓的與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的區(qū)域，由幾何概型的概率計算公式得，所求概率P＝＝. 答案：B 5．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，從6張大小相同分別標(biāo)有號碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號碼，則滿足ab＞0的概率是(　　) A.　　 　B. C.　　 　D. 解析：設(shè)(x，y)表示一個基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有66＝36個，ab＞0，即x－2y＞0，滿足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6個，所以所求概率P＝＝. 答案：D 6．(2018湖南五校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點P，△ABP的最大邊是AB的概率是(　　) A.　　　 B. C.－1　　 　D.－1 解析：分別以A，B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運動時，能使得△ABP的最大邊是AB，易得＝－1，即△ABP的最大邊是AB的概率是－1. 答案：D 7．(2018天津六校聯(lián)考)連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m，n，則向量a＝(m，n)與向量b＝(－1,1)的夾角θ＞90?的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：連擲兩次骰子得到的點數(shù)(m，n)的所有基本事件為(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36個． ∵(m，n)(－1,1)＝－m＋n＜0， ∴m＞n.符合要求的事件為(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15個，∴所求概率P＝＝. 答案：A 8．由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意作圖，如圖所示，Ω1的面積為22＝2，圖中陰影部分的面積為2－1＝，則所求的概率P＝＝. 答案：D 二、填空題 9．(2018長沙模擬)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 解析：由題意，在正方體中與點O距離等于1的是個半球面，V正＝23＝8，V半球＝π13＝π， ＝＝，∴所求概率P＝1－. 答案：1－ 10．如圖，在等腰直角△ABC中，過直角頂點C作射線CM交AB于M，則使得AM小于AC的概率為________． 解析：當(dāng)AM＝AC時，△ACM為以A為頂點的等腰三角形，∠ACM＝＝67.5?. 當(dāng)∠ACM＜67.5?時，AM＜AC， 所以AM小于AC的概率 P＝＝＝. 答案： 11．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎，則中獎的概率是________． 解析：由題意，所有可能的結(jié)果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}，共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎的概率為P＝＝. 答案： 12．一只受傷的候鳥在如圖所示(直角梯形ABCD)的草原上飛，其中AD＝3，CD＝2，BC＝5，它可能隨機落在該草原上任何一處(點)，若落在扇形沼澤區(qū)域(圖中的陰影部分)CDE以外候鳥能生還，則該候鳥生還的概率為________． 解析：直角梯形ABCD的面積S1＝(3＋5)2＝8，扇形CDE的面積S2＝π22＝π，根據(jù)幾何概型的概率公式，得候鳥生還的概率P＝＝＝1－. 答案：1－ 三、解答題 13．(2018寶雞模擬)為了解我市的交通狀況，現(xiàn)對其6條道路進(jìn)行評估，得分分別為5,6,7,8,9,10.規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表： 評估的平均得分 (0,6) [6,8) [8,10] 全市的總體交通狀況等級 不合格 合格 優(yōu)秀 (1)求本次評估的平均得分，并參照上表估計我市的總體交通狀況等級； (2)用簡單隨機抽樣的方法從這6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 解析：(1)6條道路的平均得分為(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，∴該市的總體交通狀況等級為合格． (2)設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”． 從6條道路中抽取2條的得分組成的所有基本事件為(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15個基本事件． 事件A包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7個基本事件． ∴P(A)＝. 故該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率為. 14．(2018西安八校聯(lián)考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65)，[65,75)，[75,85]內(nèi)的頻率之比為4∶2∶1. (1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率； (2)用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率． 解析：(1)設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為x，則質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65)，[65,75)內(nèi)的頻率分別為4x,2x. 依題意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05. 所以質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為0.05. (2)由(1)得，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[45,55)，[55,65)，[65,75)內(nèi)的頻率分別為0.3,0.2,0.1. 用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個容量為6的樣本，則在區(qū)間[45,55)內(nèi)應(yīng)抽取6＝3件，記為A1，A2，A3； 在區(qū)間[55,65)內(nèi)應(yīng)抽取6＝2件，記為B1，B2；在區(qū)間[65,75)內(nèi)應(yīng)抽取6＝1件，記為C. 設(shè)“從樣本中任意抽取2件產(chǎn)品，這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)”為事件M，則所有的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15種， 事件M包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10種，所以這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率P＝＝. 15．(2018長沙模擬)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術(shù)支援．現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖(單位：厘米)，設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米. (1)列出22列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)？ (2)為了改良玉米品種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株，再從這5株玉米中選取2株進(jìn)行雜交試驗，則選取的植株均為矮莖的概率是多少？ 附： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解析：(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得22列聯(lián)表如下： 抗倒伏 易倒伏 總計 矮莖 15 4 19 高莖 10 16 26 總計 25 20 45 由于K2的觀測值k＝≈7.287＞6.635，因此可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為抗倒?fàn)钆c玉米矮莖有關(guān)． (2)由題意得，抽到的高莖玉米有2株，設(shè)為A，B，抽到的矮莖玉米有3株，設(shè)為a，b，c，從這5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種，其中均為矮莖的選取方法有ab，ac，bc，共3種，因此選取的植株均為矮莖的概率是. 算法、概率與統(tǒng)計中的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng) 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第66頁 提分策略一　　探究命題新情景考查應(yīng)用能力 此類問題多以現(xiàn)實中的生活實例或最新時事為背景考查概率、統(tǒng)計的求解及應(yīng)用． 　(2018合肥模擬)一家大型購物商場委托某機構(gòu)調(diào)查該商場的顧客使用移動支付的情況．調(diào)查人員從年齡(單位：歲)在[20,60]內(nèi)的顧客中，隨機抽取了180人，調(diào)查結(jié)果如下表： 年齡 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 使用人數(shù) 45 30 15 15 未使用人數(shù) 0 10 20 45 (1)為推廣移動支付，商場準(zhǔn)備對使用移動支付的顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該商場預(yù)計有12 000人(年齡在[20,60]內(nèi))購物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計該商場當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋． (2)某機構(gòu)從被調(diào)查的使用移動支付的顧客中，按分層抽樣的方式選出7人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，并給其中2人贈送額外禮品，求獲得額外禮品的2人的年齡都在[20,30)內(nèi)的概率． 解析：(1)由表可知，該日該商場使用移動支付的顧客人數(shù)與顧客總?cè)藬?shù)之比為7∶12， 若某日該商場有12 000人(年齡在[20,60]內(nèi))購物，則估計該商場要準(zhǔn)備環(huán)保購物袋的個數(shù)為12 000＝7 000. (2)由題知，抽樣比為1∶15，所以應(yīng)從年齡在[20,30)內(nèi)的顧客中選出3人，[30,40)內(nèi)的顧客中選出2人，[40,50)內(nèi)的顧客中選出1人，[50,60]內(nèi)的顧客中選出1人． 記從年齡在[20,30)內(nèi)的顧客中選出的3人分別為A，B，C，其他4人分別為a，b，c，d，從7個人中選出2人贈送額外禮品，有以下情況： AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad， BC，Ba，Bb，Bc，Bd， Ca，Cb，Cc，Cd， ab，ac，ad， bc，bd， cd， 共21種， 其中獲得額外禮品的2人的年齡都在[20,30)內(nèi)的情況有3種， 所以獲得額外禮品的2人的年齡都在[20,30)內(nèi)的概率為＝. [對點訓(xùn)練] 30名學(xué)生參加某大學(xué)的自主招生面試，面試分?jǐn)?shù)與學(xué)生序號之間的統(tǒng)計圖如下： (1)下表是根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計這些學(xué)生面試分?jǐn)?shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表). 面試分?jǐn)?shù) [0,100) [100,200) [200,300) [300,400] 人數(shù) a 10 4 1 頻率 b (2)該大學(xué)的某部門從1～5號學(xué)生中隨機選擇兩人進(jìn)行訪談，求選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的概率． 解析：(1)面試分?jǐn)?shù)在[0,100)內(nèi)的學(xué)生共有30－10－4－1＝15名， 故a＝15，b＝＝， 估計這些學(xué)生面試分?jǐn)?shù)的平均值為50＋150＋250＋350＝120分． (2)從1～5號學(xué)生中任選兩人的選擇方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種， 觀察題圖易知1號，4號，5號學(xué)生的面試分?jǐn)?shù)在100分以下， 故選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的選擇方法有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3種， 故選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的概率為. 提分策略二　　引入數(shù)學(xué)文化考學(xué)科素養(yǎng) 數(shù)學(xué)文化與算法、概率的融合命題是高考的熱點，多為選擇、填空題． 　(2018鄭州模擬)我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，則輸出結(jié)果n＝(　　) A．5　　　 B．4 C．3 D．2 解析：n＝1，S＝2；n＝2，S＝2＋＋2＝；n＝3，S＝＋＋4＝；n＝4，S＝＋＋8＞10，結(jié)束循環(huán)．則輸出的n為4，故選B. 答案：B 點評　從中國古代文學(xué)作品中選取素材考查數(shù)學(xué)問題，豐富了數(shù)學(xué)文化題的取材途徑．插圖的創(chuàng)新是本題的一個亮點，其一，增強了數(shù)學(xué)問題的生活化，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更貼近考生的生活實際；其二，有利于考生分析問題和解決問題，這對穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果． [對點訓(xùn)練] 　歐陽修的《賣油翁》中寫到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．”可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直 徑為3 cm的圓，中間有邊長為1 cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計)，則正好落入孔中的概率是________． 解析：依題意，所求概率為P＝＝. 答案： 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第141頁 一、選擇題 1．(2018福州模擬)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代著名的《孫子算經(jīng)》．圖中的Mod(N，m)≡n表示正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，例如Mod(10,3)≡1.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于(　　) A．23　　　 B．38 C．44 D．58 解析：Mod(11,3)≡2成立，Mod(11,5)≡3不成立，i＝12；Mod(12,3)≡2不成立，i＝13；Mod(13,3)≡2不成立，i＝14；Mod(14,3)≡2成立，Mod(14,5)≡3不成立，i＝15；Mod(15,3)≡2不成立，i＝16；Mod(16,3)≡2不成立，i＝17；Mod(17,3)≡2成立，Mod(17,5)≡3不成立，i＝18；Mod(18,3)≡2不成立，i＝19；Mod(19,3)≡2不成立，i＝20；Mod(20,3)≡2成立，Mod(20,5)≡3不成立，i＝21；Mod(21,3)≡2不成立，i＝22；Mod(22,3)≡2不成立，i＝23；Mod(23,3)≡2成立，Mod(23,5)≡3成立，Mod(23,7)≡2成立，結(jié)束循環(huán)．故輸出的i＝23.故選A. 答案：A 2．(2018益陽、湘潭聯(lián)考)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例．若輸入n，x的值分別為3,3，則輸出v的值為(　　) A．15 B．16 C．47 D．48 解析：執(zhí)行程序框圖，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2≥0，v＝13＋2＝5，i＝1≥0，v＝53＋1＝16，i＝0≥0，v＝163＋0＝48，i＝－1＜0，退出循環(huán)，輸出v的值． 答案：D 3．宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等．下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5,2，則輸出的n＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：程序運行如下：n＝1，a＝5＋＝，b＝4，a＞b，繼續(xù)循環(huán)； n＝2，a＝＋＝，b＝8，a＞b，繼續(xù)循環(huán)； n＝3，a＝＋＝，b＝16，a＞b，繼續(xù)循環(huán)； n＝4，a＝＋＝，b＝32，此時，a＜b. 輸出n＝4，故選C. 答案：C 4．(2018福州模擬)在檢測一批相同規(guī)格質(zhì)量共500 kg的航空用耐熱墊片的品質(zhì)時，隨機抽取了280片，檢測到有5片非優(yōu)質(zhì)品，則這批航空用耐熱墊片中非優(yōu)質(zhì)品的質(zhì)量約為(　　) A．2.8 kg B．8.9 kg C．10 kg D．28 kg 解析：由題意，可知抽到非優(yōu)質(zhì)品的概率為，所以這批航空用耐熱墊片中非優(yōu)質(zhì)品的質(zhì)量約為500＝≈8.9 kg. 答案：B 二、填空題 5.甲、乙兩組各有三名同學(xué)，他們在一次測驗中的成績的莖葉圖如圖所示．如果分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的成績相同的概率是________． 解析：由題意知甲組三名同學(xué)的成績?yōu)?8,92,93，乙組三名同學(xué)的成績?yōu)?0,91,92，則兩組中各任取一名共有9種結(jié)果，成績相同時只有一種結(jié)果，所以概率為. 答案： 6．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，也是古代東方數(shù)學(xué)的代表作．書中有如下問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)接正方形邊長為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)投豆子，則落在其內(nèi)接正方形內(nèi)的概率是________． 解析：如圖，設(shè)Rt△ABC的兩直角邊長分別為a，b，其內(nèi)接正方形CEDF的邊長為x， 則由△ADF∽△ABC，得＝， 即＝，解得x＝. 從而正方形CEDF的面積為S正方形CEDF＝2， 又Rt△ABC的面積為S△ABC＝，所以所求概率為P＝＝＝＝. 答案： 三、解答題 7．(2018福州模擬)隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享自行車”在很多城市相繼出現(xiàn)．某“共享自行車”運營公司為了了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了40名用戶，得到用戶的滿意度評分如下： 用戶編號評分 用戶編號評分 用戶編號評分 用戶編號評分 1　　78 2　　73 3　　81 4　　92 5　　95 6　　85 7　　79 8　　84 9　　63 10　　86 11　　88 12　　86 13　　95 14　　76 15　　97 16　　78 17　　88 18　　82 19　　76 20　　89 21　　79 22　　83 23　　72 24　　74 25　　91 26　　66 27　　80 28　　83 29　　74 30　　82 31　　93 32　　78 33　　75 34　　81 35　　84 36　　77 37　　81 38　　76 39　　85 40　　89 用系統(tǒng)抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本，且在第一分段里隨機抽到的評分?jǐn)?shù)據(jù)為92. (1)請你列出抽到的10個樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù)； (2)計算所抽到的10個樣本的均值和方差s2； (3)在(2)的條件下，若用戶的滿意度評分在(－s，＋s)之間，則滿意度等級為“A級”．試應(yīng)用樣本估計總體的思想，估計該地區(qū)滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比是多少？(精確到0.1%) 參考數(shù)據(jù)：≈5.48，≈5.74，≈5.92. 解析：(1)由題意得，通過系統(tǒng)抽樣分別抽取編號為4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的評分?jǐn)?shù)據(jù)為樣本，則樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù)分別為92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. (2)由(1)中樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù)可得 ＝(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83， 則有s2＝[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78－83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－83)2]＝33. (3)由題意知用戶的滿意度評分在(83－，83＋)，即(77.26,88.74)之間，滿意度等級為“A級”， 由(1)中容量為10的樣本評分在(77.26,88.74)之間的有5人，則該地區(qū)滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比約為100%＝50.0%. 另解：由題意知用戶的滿意度評分在(83－，83＋)，即(77.26,88.74)之間，滿意度等級為“A級”，調(diào)查的40名用戶的評分?jǐn)?shù)據(jù)在(77.26,88.74)之間的共有21人，則該地區(qū)滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比約為100%＝52.5%. 8．(2018湘中名校聯(lián)考)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元．根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，該同學(xué)為這個開學(xué)季購進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以x(單位：盒，100≤x≤200)表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量，y(單位：元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤． (1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量x的眾數(shù)和平均數(shù)； (2)將y表示為x的函數(shù)； (3)根據(jù)頻率分布直方圖估計利潤y不少于4 800元的概率． 解析：(1)由頻率分布直方圖得：最大需求量為150盒的頻率為0.01520＝0.3. 這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量x的眾數(shù)估計值是150. 需求量為[100,120)的頻率為0.00520＝0.1， 需求量為[120,140)的頻率為0.0120＝0.2， 需求量為[140,160)的頻率為0.01520 ＝0.3， 需求量為[160,180)的頻率為0.012 520 ＝0. 25， 需求量為[180,200]的頻率為0.007 520＝0.15. 則平均數(shù)＝ 1100.1＋1300.2＋1500.3＋1700.25＋1900.15＝153. (2)因為每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元， 所以當(dāng)100≤x≤160時，y＝50x－30(160－x)＝80x－4 800， 當(dāng)160＜x≤200時，y＝16050＝8 000， 所以y＝(x∈N)． (3)因為利潤不少于4 800元，所以80x－4 800≥4 800，解得x≥120. 所以由(1)知利潤不少于4 800元的概率P＝1－0.1＝0.9. 9．(2018洛陽模擬)霧霾天氣對人體健康有傷害，應(yīng)對霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM2.5，要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措，聚焦重點領(lǐng)域，嚴(yán)格指標(biāo)考核．某省環(huán)保部門為加強環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，認(rèn)真進(jìn)行責(zé)任追究，派遣四個不同的專家組對A，B，C三座城市進(jìn)行治霾落實情況檢查． (1)若每個專家組隨機選取一個城市進(jìn)行檢查，四個專家組選取的城市可以相同，也可以不同，且每一個城市必須有專家組選取，求A城市恰有兩個專家組選取的概率； (2)在檢查的過程中專家組從A城市的居民中隨機抽取出400人進(jìn)行是否戶外作業(yè)人員與是否患有呼吸道疾病進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下： 分類 患呼吸道疾病 未患呼吸道疾病 合計 戶外作業(yè)人員 40 60 100 非戶外作業(yè)人員 60 240 300 合計 100 300 400 根據(jù)上面的統(tǒng)計結(jié)果，我們是否有超過99%的把握認(rèn)為“戶外作業(yè)”與“患呼吸道疾病”有關(guān)？ 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：(1)若每個專家組隨機選取一個城市進(jìn)行檢查，四個專家組選取的城市可以相同，也可以不同，且每一個城市必須有專家組選取，共有36種不同方法，若設(shè)四個專家組分別為1,2,3,4，則各種選取方法如下表所示： A B C A B C A B C 1,2 3 4 3 1,2 4 3 4 1,2 1,2 4 3 4 1,2 3 4 3 1,2 1,3 2 4 2 1,3 4 2 4 1,3 1,3 4 2 4 1,3 2 4 2 1,3 …… 3,4 1 2 1 3,4 2 1 2 3,4 3,4 2 1 2 3,4 1 2 1 3,4 其中，A城市恰有兩個專家組選取的有12種不同方法，如表中前三列所示． 故A城市恰有兩個專家組選取的概率P＝＝. (2)K2的觀測值k＝＝ 16．16＞6.635， 所以有超過99%的把握認(rèn)為“戶外作業(yè)”與“患呼吸道病”有關(guān)．