2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第1課時(shí) 距離問(wèn)題練習(xí) 新人教A版必修5.doc
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第一章 1.2 第1課時(shí) 距離問(wèn)題 A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120，則A、C兩地的距離為( D ) A．10 km B． km C．10 km D．10 km [解析] 在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120，則由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC＝100＋400－21020cos120 ＝100＋400－21020(－)＝700， ∴AC＝10，即A、C兩地的距離為10 km． 2．如圖，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是( D ) A．γ，c，α B．b，c，α C．c，α，β D．b，α，γ [解析] 本題中a、c、β這三個(gè)量不易直接測(cè)量，故選D． 3．一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10 n mlie的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60方向上，另一燈塔在船的南偏西75方向上，則這艘船的速度是每小時(shí)( C ) A．5 n mlie B．5 n mlie C．10 n mlie D．10 n mlie [解析] 如圖，依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75， ∴∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，求得AB＝5， ∴這艘船的速度是＝10(n mlie/h)． 4．某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300 m和500 m，測(cè)得燈塔A在觀察站C北偏東30，燈塔B在觀察站C正西方向，則兩燈塔A、B間的距離為( C ) A．500 m B．600 m C．700 m D．800 m [解析] 根據(jù)題意畫出圖形如圖． 在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120， 由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120 ＝3002＋5002－2300500(－) ＝490 000，∴AB＝700(m)． 5．要直接測(cè)量河岸之間的距離(河的兩岸可視為平行)，由于受地理?xiàng)l件和測(cè)量工具的限制，可采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選取A、B兩點(diǎn)，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得∠CAB＝45，∠CBA＝75，且AB＝120 m由此可得河寬為(精確到1m)( C ) A．170 m B．98 m C．95 m D．86 m [解析] 在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45，∠CBA＝75，則∠ACB＝60，由正弦定理，得BC＝＝40． 設(shè)△ABC中，AB邊上的高為h，則h即為河寬， ∴h＝BCsin∠CBA＝40sin75≈95(m)． 6．甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船從B島出發(fā)，以12 km/h的速度向北偏東60方向駛?cè)?，則行駛15 min時(shí)，兩船的距離是( B ) A． km B． km C． km D． km [解析] 由題意知AM＝8＝2，BN＝12＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MBBNcos120＝1＋9－213(－)＝13，所以MN＝ km． 二、填空題 7．在相距2km的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75，∠CBA＝60，則A，C兩點(diǎn)之間的距離是____km． [解析] 如圖所示，由題意易知C＝45， 由正弦定理得＝，從而AC＝＝(km)． 8．一只蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，則x＝____cm． [解析] 如圖， 由題意知，∠BAC＝75，∠ACB＝45.∠B＝60， 由正弦定理，得＝， ∴x＝＝＝． 三、解答題 9．如圖，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45，∠ADC＝75，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí)測(cè)得∠BCD＝30，∠BDC＝15.求炮兵陣地到目標(biāo)的距離．(結(jié)果保留根號(hào)) [解析] 在△ACD中，∠CAD＝60， AD＝＝CD． 在△BCD中，∠CBD＝135，BD＝＝CD， ∠ADB＝90． 在Rt△ABD中，AB＝＝CD ＝1 000(m)． 10．一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A處看燈塔S在船的北偏東20的方向，30 min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65的方向，已知距離此燈塔6.5 n mile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？ [解析] 在△ASB中，∠SBA＝115，∠S＝45.由正弦定理，得SB＝＝ ≈7.787(n mile)．設(shè)點(diǎn)S到直線AB的距離為h，則h＝SBsin65≈7.06(n mile)． ∵h(yuǎn)>6.5 n mile，∴此船可以繼續(xù)沿正北方向航行． B級(jí) 素養(yǎng)提升 一、選擇題 1．已知船A在燈塔C北偏東85且到C的距離為2 km，船B在燈塔C西偏北25且到C的距離為 km，則A、B兩船的距離為( D ) A．2 km B．3 km C． km D． km [解析] 如圖可知∠ACB＝85＋(90－25)＝150， AC＝2，BC＝， ∴AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos150＝13， ∴AB＝． 2．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68 n mile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為( A ) A． n mile/h B．34 n mile/h C． n mile/h D．34 n mile/h [解析] 如圖所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mile/h)． 3．如圖，貨輪在海上以40 km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為140的方向航行．為了確定船的位置，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110，航行 h到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是( B ) A．10 km B．10 km C．15 km D．15 km [解析] 在△ABC中，BC＝40＝20( km)，∠ABC＝140－110＝30，∠ACB＝(180－140)＋65＝105， 則A＝180－(30＋105)＝45． 由正弦定理，得 AC＝＝＝10( km)． 二、填空題 4．海上一觀測(cè)站測(cè)得方位角240的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正東方有一艘海盜船正向它靠近，速度為每小時(shí)90 n mile.此時(shí)海盜船距觀測(cè)站10 n mile，20 min后測(cè)得海盜船距觀測(cè)站20 n mlie，再過(guò)____min，海盜船到達(dá)商船． [解析] 如下圖，設(shè)開始時(shí)觀測(cè)站、商船、海盜船分別位于A、B、C處，20 min后，海盜船到達(dá)D處，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得 cos∠ADC＝＝＝． ∴∠ADC＝60，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30， ∠BAD＝60－30＝30， ∴BD＝AD＝20，60＝(min)． 5．如圖，一艘船上午8∶00在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8∶30到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距4 n mile，則此船的航行速度是__16__n mile/h． [解析] 在△ABS中，∠A＝30，∠ABS＝105， ∴∠ASB＝45， ∵BS＝4，＝， ∴AB＝＝＝8， ∵上午8∶00在A地，8∶30在B地， ∴航行0.5小時(shí)的路程為8 n mile， ∴此船的航速為16 n mile/h． 三、解答題 6．如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80 m，于B處測(cè)得水深BE＝200 m，于C處測(cè)得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值． [解析] 由題意可得DE2＝502＋1202＝1302， DF2＝1702＋302＝29 800， EF2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos∠DEF＝． C級(jí) 能力拔高 1．為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖)．能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M、N間的距離的步驟． [解析] 方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：點(diǎn)A到點(diǎn)M、N的俯角α1、β1；點(diǎn)B到點(diǎn)M、N的俯角α2、β2；A、B間的距離d(如圖)． ②第一步：計(jì)算AM，由正弦定理，得AM＝； 第二步：計(jì)算AN，由正弦定理，得AN＝； 第三步：計(jì)算MN，由余弦定理，得 MN＝． 方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：點(diǎn)A到點(diǎn)M、N的俯角α1、β1；點(diǎn)B到點(diǎn)M、N的俯角α2、β2；A、B間的距離d(如圖)． ②第一步：計(jì)算BM，由正弦定理，得BM＝； 第二步：計(jì)算BN，由正弦定理，得BN＝； 第三步：計(jì)算MN，由余弦定理，得 MN＝． 2．已知海島B在海島A的北偏東45方向上，A、B相距10 n mile，小船甲從海島B以2 n mile/h的速度沿直線向海島A移動(dòng)，同時(shí)小船乙從海島A出發(fā)沿北偏西15方向也以2 n mile/h的速度移動(dòng)． (1)經(jīng)過(guò)1 h后，甲、乙兩小船相距多少海里？ (2)在航行過(guò)程中，小船甲是否可能處于小船乙的正東方向？若可能，請(qǐng)求出所需時(shí)間，若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由． [解析] 經(jīng)過(guò)1 h后，甲船到達(dá)M點(diǎn)，乙船到達(dá)N點(diǎn)， AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60， 所以MN2＝AM2＋AN2－2AMANcos60＝64＋4－282＝52． 所以MN＝2． 所以經(jīng)過(guò)1 h后，甲、乙兩小船相距2海里． (2)設(shè)經(jīng)過(guò)t(0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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