高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六章 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 文.ppt

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第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念 1 等比數(shù)列的定義 1 條件 一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于 2 公比 是指常數(shù) 通常用字母q表示 q 0 同一 個(gè)常數(shù) 若等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)是a1 公比是q 則其通項(xiàng)公式為 n N 推廣式 an amqn m n m N 2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 3 等比中項(xiàng) 如果 成等比數(shù)列 那么G叫做a與b的等比中項(xiàng) 即G是a與b的等比中項(xiàng) a G b成等比數(shù)列 an a1qn 1 a G b G2 a b 知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及性質(zhì) 1 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2 等比數(shù)列的性質(zhì) na1 已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列 Sn是其前n項(xiàng)和 1 若m n p q 2r 則am an 2 數(shù)列am am k am 2k am 3k 仍是等比數(shù)列 3 數(shù)列Sm S2m Sm S3m S2m 仍是等比數(shù)列 此時(shí) an 的公比q 1 名師助學(xué) 本部分知識(shí)可以歸納為 1 三個(gè)定義 等比數(shù)列的定義 等比中項(xiàng)的定義 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 兩種方法 證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩種方法 定義法 等比中項(xiàng)法 方法1等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用 1 等比數(shù)列的單調(diào)性設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公比為q 1 當(dāng)q 1 a1 0或01 a10時(shí) 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 3 當(dāng)q 1時(shí) 數(shù)列 an 是 非零 常數(shù)列 4 當(dāng)q 1時(shí) 數(shù)列 an 是擺動(dòng)數(shù)列 2 等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)若m n p q m n p q q N 則am an ap aq 1 特別地 當(dāng)m n 2k m n k N 時(shí) am an a 2 對(duì)有窮等比數(shù)列 與首末兩項(xiàng) 等距離 的兩項(xiàng)之積等于末兩項(xiàng)的積 即a1 an a2 an 1 ak an k 1 3 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)若Sn是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 則當(dāng)q 1時(shí) Sn S2n Sn S3n S2n 成等比數(shù)列 例1 1 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 則a4 a5 a6 2 已知等比數(shù)列 an 滿足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 則log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 A n 2n 1 B n 1 2C n2D n 1 2 解題指導(dǎo) 1 已知 等比數(shù)列中項(xiàng)之間的關(guān)系 1 問(wèn)中a1a2a3 5 a7 a8 a9 10 2 問(wèn)中a5 a2n 5 22n 2 分析 通過(guò)等比數(shù)列的性質(zhì) 將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化 3 轉(zhuǎn)化 1 問(wèn)中a1a2a3 a4a5a6 a7a8a9成等比數(shù)列 點(diǎn)評(píng) 在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題中 一般是列出a1 q滿足的方程組 求解方程組 但有時(shí)運(yùn)算量較大 如果可利用等比數(shù)列的性質(zhì) 便可減少運(yùn)算量 提高解題的速度 要注意挖掘已知和 隱含 的條件 答案 1 A 2 C 方法2等比數(shù)列的判定與證明 3 通項(xiàng)公式法 若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an c qn c q均是不為0的常數(shù) n N 則 an 是等比數(shù)列 4 前n項(xiàng)和公式法 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn k qn k k為常數(shù)且k 0 q 0 1 則 an 是等比數(shù)列 提醒 前兩種方法常用于解答題中 而后兩種方法常用于選擇 填空題中的判定 例2 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 設(shè)bn an 1 2an 證明數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 1 證明由a1 1 及Sn 1 4an 2 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 由Sn 1 4an 2 知當(dāng)n 2時(shí) 有Sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 方法3等差與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 1 在等差數(shù)列中蘊(yùn)含等比關(guān)系 由等差數(shù)列設(shè)出數(shù)列的項(xiàng) 突出a1 d 利用等比數(shù)列列方程求解 同樣等比數(shù)列中蘊(yùn)含等差關(guān)系也如此解決 2 兩個(gè)數(shù)列 一個(gè)是等差數(shù)列 另一個(gè)是等比數(shù)列 要找到它們之間的聯(lián)系 來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題 3 解題時(shí)適當(dāng)利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件可簡(jiǎn)化運(yùn)算 4 挖掘隱含條件 發(fā)現(xiàn)等差 或等比 關(guān)系 使解題目的明確 例3 成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15 并且這三個(gè)數(shù)分別加 上2 5 13后成為等比數(shù)列 bn 中的b3 b4 b5 1 求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式 解題指導(dǎo) 設(shè)等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù) 利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d 從而求出數(shù)列 bn 的首項(xiàng) 公比 利用等比數(shù)列的定義可解決第 2 問(wèn) 答題模板 求解等差和等比數(shù)列綜合性問(wèn)題的一般步驟 第一步 設(shè)等比數(shù)列 等差數(shù)列的基本量 第二步 根據(jù)條件列方程 解出基本量 第三步 根據(jù)公式求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和 第四步 根據(jù)定義證明等差 等比數(shù)列 對(duì)于等比數(shù)列 一定要說(shuō)明首項(xiàng)非零 溫馨提醒 關(guān)于等差 比 數(shù)列的基本運(yùn)算 其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組 需要認(rèn)真計(jì)算 靈活處理已知條件 容易出現(xiàn)的問(wèn)題主要有兩個(gè)方面 一是計(jì)算出現(xiàn)失誤 特別是利用因式分解求解方程的根時(shí) 不注意對(duì)根的符號(hào)進(jìn)行判斷 二是不能靈活運(yùn)用等差 比 數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件 導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜 增大運(yùn)算量