山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第3章 圓復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案 （新版）北師大版.doc

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第三章圓 一、知識(shí)梳理 (一)圓的概念 集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合 軌跡形式的概念： 1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓； 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線； 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。 (二)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)； 2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上； 3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外； （三）直線與圓的位置關(guān)系 1、直線與圓相離 無交點(diǎn)； 2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)； 3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)； （四）圓與圓的位置關(guān)系 外離（圖1） 無交點(diǎn) ； 外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ； 相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) ； 內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ； 內(nèi)含（圖5） 無交點(diǎn) ； （五）垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。 推論1： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： ①是直徑 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 （六）圓心角定理 圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中， 只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論， 即：①；②； ③；④ 弧弧 （七）圓周角定理 1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。 即：∵和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角 ∴ 2、圓周角定理的推論： 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等?。? 即：在⊙中，∵、都是所對(duì)的圓周角 ∴ 推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。 即：在⊙中，∵是直徑或∵ ∴∴是直徑 推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。 （八）圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 即：在⊙中， ∵四邊形是內(nèi)接四邊形 ∴ （九）切線的性質(zhì)與判定定理 （1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：∵且過半徑外端 ∴是⊙的切線 （2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理： 即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。 （十）切線長(zhǎng)定理 切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即：∵、是的兩條切線 ∴ 平分 （十一）圓冪定理 （1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。 即：在⊙中，∵弦、相交于點(diǎn)， ∴ （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。 即：在⊙中，∵直徑， ∴ （3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 即：在⊙中，∵是切線，是割線 ∴ （4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。 即：在⊙中，∵、是割線 ∴ （十二）兩圓公共弦定理 圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。 如圖：垂直平分。 即：∵⊙、⊙相交于、兩點(diǎn)∴垂直平分 （十三）圓的公切線 兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式： （1）公切線長(zhǎng)：中，； （2）外公切線長(zhǎng)：是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：是半徑之和 。 （十四）圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算 （1）正三角形:在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：； （2）正四邊形 同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，： （3）正六邊形 同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，. （十五）扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式 1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：； （2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長(zhǎng) ：扇形面積 2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖 = （2）圓柱的體積： 3 .圓錐側(cè)面展開圖 （1）= （2）圓錐的體積： 二、題型、技巧歸納 類型一　確定圓的條件 例1　[xx河北] 如圖，在55正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是(　　) A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M [解析] B　圓心既在AB的中垂線上又在BC的中垂線上，由圖可以看出圓心應(yīng)該是點(diǎn)Q. 歸納：過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，只需由兩條線段的垂直平分線確定圓心即可，沒有必要作出第三條線段的垂直平分線．事實(shí)上，三條垂直平分線交于同一點(diǎn)． 例2　如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于D點(diǎn)，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，則DC的長(zhǎng)為(　　) A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm [解析] D　連接AO，因?yàn)镺C⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因?yàn)镺D＝4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以O(shè)C＝5 cm，所以DC＝1 cm. 歸納：(1)垂徑定理是根據(jù)圓的對(duì)稱性推導(dǎo)出來的，該定理及其推論是證明線段相等、垂直關(guān)系、弧相等的重要依據(jù)．利用垂徑定理常作“垂直于弦的直徑”輔助線(往往又只是作圓心到弦的垂線段，如本例)；(2)垂徑定理常與勾股定理結(jié)合在一起，進(jìn)行有關(guān)圓的半徑、圓心到弦的距離、弦長(zhǎng)等數(shù)量的計(jì)算．這些量之間的關(guān)系是r2＝d2＋2(其中r為圓半徑，d為圓心到弦的距離，a為弦長(zhǎng))． 類型三　圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 例3　如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若∠A＝30，∠APD＝70，則∠B等于(　　) A．30 B．35 C．40 D．50 [解析] C　由三角形的外角求得∠C＝40，所以∠B＝∠C＝40. 類型四　圓心角與圓周角 例4　如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22，則∠A＝________. [解析] 由同弧所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)的圓周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44，又因?yàn)锳B∥CO，所以∠A＝∠O＝44. 歸納：圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，因此，最終實(shí)現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了有力的工具和方法．當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解決問題的重要思路．在證明有關(guān)問題中注意90的圓周角的構(gòu)造． 類型五　與圓有關(guān)的開放性問題 例5　如圖，在邊長(zhǎng)為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，P為邊CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交圓于點(diǎn)E. (1)∠E＝________度； (2)寫出圖中現(xiàn)有的一對(duì)不全等的相似三角形，并說明理由； (3)求弦DE的長(zhǎng)． [解析] (1)由題目可知∠E＝∠ACD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠ACD＝45，所以∠E＝∠ACD＝45. (2)當(dāng)對(duì)應(yīng)角相等的時(shí)候，兩個(gè)三角形相似，由圓的性質(zhì)可知∠E＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP. (3)因?yàn)椤鰽CP∽△DEP，所以＝，因?yàn)镻是CD的中點(diǎn)，所以CP＝DP＝CD＝1，由勾股定理分別求出AP＝，AC＝2，代入比例式算出DE＝. 解：(1)45 (2)△ACP∽△DEP. 理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE， ∴△ACP∽△DEP. (3)∵△ACP∽△DEP，∴＝. 又AP＝＝， AC＝＝2， ∴DE＝. 類型六　圓與圓的位置關(guān)系的判別 例6　⊙O1的半徑為3 cm，⊙O2的半徑為5 cm，圓心距O1O2＝2 cm，兩圓的位置關(guān)系是(　　)。 A．外切　　B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含 [解析] C　圓心距O1O2＝2 cm是兩圓的半徑之差，所以兩圓內(nèi)切． 類型七　計(jì)算扇形面積 例7　如果一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”．則半徑為2的“等邊扇形”的面積為(　　) A．π B．1 C．2 D.π [解析] C　扇形的面積等于弧長(zhǎng)乘以半徑的一半，所以此扇形的面積為22＝2. 類型八　計(jì)算弧長(zhǎng) 例8　如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2 cm，以對(duì)角的兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心，2 cm長(zhǎng)為半徑畫弧，則所得到的兩條弧長(zhǎng)度之和為________cm(結(jié)果保留π)． [解析] 兩段弧長(zhǎng)的和是以2 cm為半徑的半圓的弧長(zhǎng)．即2π2＝2π. 類型九　圓的切線性質(zhì) 例9　如圖X3－10，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線交BC于E. (1)求證：DE＝BC； (2)若tanC＝，DE＝2，求AD的長(zhǎng)． [解析] 連接BD，則在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余證明∠C＝∠EDC. 解：(1)證明：連接BD， ∵AB為直徑，∠ABC＝90，∴BE切⊙O于點(diǎn)B. 又因?yàn)镈E切⊙O于點(diǎn)D，所以DE＝BE， ∴∠EBD＝∠EDB. ∵∠ADB＝90， ∴∠EBD＋∠C＝90，∠BDE＋∠CDE＝90， ∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DE＝BC. (2)因?yàn)镈E＝2，DE＝BC，所以BC＝4. 在Rt△ABC中，tanC＝， 所以AB＝BC＝2. 在Rt△ABC中， AC＝＝＝6. 又因?yàn)椤鰽BD∽△ACB， 所以＝，即＝， 所以AD＝. 歸納：圓的切線性質(zhì)有很多，可以總結(jié)為：與圓相切一直線，只有一個(gè)公共點(diǎn)；切點(diǎn)圓心相連接，垂直切線是必然；切線上面取一點(diǎn)，此點(diǎn)圓心相互聯(lián)；如若垂直圓切線，此點(diǎn)切點(diǎn)零相間(此句指此點(diǎn)與切點(diǎn)之間距離為零)． 類型十　圓的切線的判定方法 例10　如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90， 以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD. (1)若AD＝3，BD＝4，求邊BC的長(zhǎng)； (2)取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與⊙O相切． [解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要證明OD⊥DE就能說明ED與⊙O相切，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到等邊轉(zhuǎn)化為等角，進(jìn)而算出∠ODE是直角． 解：(1)∵AB是直徑，∴∠ADB＝90. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴＝，即＝，∴BC＝. (2)證明：連接OD，在Rt△BDC中， ∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD， 又∵∠OBD＋∠DBC＝90，∠C＋∠DBC＝90， ∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE. ∵AB是直徑，∴∠ADB＝90， ∴∠BDC＝90，即∠BDE＋∠CDE＝90， ∴∠BDE＋∠BDO＝90，即∠ODE＝90， ∴ED與⊙O相切． 歸納：在涉及切線問題時(shí)，常連接過切點(diǎn)的半徑，要想證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線．如果已知直線過圓上某一點(diǎn)，則作出過這一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑；如果直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑． 類型十一　圓錐面積問題 例11　如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB＝13 cm，一條直角邊AC＝5 cm，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得一個(gè)幾何體．求這個(gè)幾何體的表面積． [解析] 首先應(yīng)了解這個(gè)幾何體的形狀是上下兩個(gè)圓錐，共用一個(gè)底面，表面積即為兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和．根據(jù)S側(cè)＝πR2或S側(cè)＝πrl可知，用第二個(gè)公式比較好求，但是得求出底面圓的半徑，因?yàn)锳B垂直于底面圓的半徑，在Rt△ABC中，由OCAB＝BCAC可求出r，問題就解決了． 解：在Rt△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm，∴BC＝12 cm. ∵OCAB＝BCAC，∴r＝OC＝＝＝. ∴S表＝πr(BC＋AC)＝π(12＋5)＝π cm2. 歸納：對(duì)于這類由多個(gè)幾何體拼接而成的幾何體，在求它們的側(cè)面積或體積時(shí)，可以根據(jù)其特點(diǎn)適當(dāng)“分割”求解，再求和． 典例精析： 例題1：如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60. (1)求∠ABC的度數(shù)； (2)求證：AE是⊙O的切線； (3)當(dāng)BC＝4時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)． 解：(1)∠ABC＝∠D＝60 (2)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90，∴∠BAC＝30，∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30＋60＝90，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線 例題2：如圖，扇形OAB中，∠AOB＝90，半徑OA＝6，將扇形OAB沿過B點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積． 解：連接OD，∵OB＝OD，OB＝BD，∴△ODB是等邊三角形，∠DBO＝60，∴∠OBC＝∠CBD＝30，在Rt△OCB中，OC＝2，S△OBC＝OCOB＝26＝6，S 陰影＝S扇形AOB－2S△OBC＝π36－26＝9π－12，l陰影＝lAB＋AC＋CD＋DB＝3π＋26＝12＋3π 三、隨堂檢測(cè) 1．(涼山州)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠OBC＝40，則∠A的度數(shù)為( ) A．80 B．100 C．110 D．130 2．如圖所示，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的半徑OA′，OB′分別交小圓于點(diǎn)A，B，則下列結(jié)論中正確的是( ) A．A′B′＝2AB B.＝ C.＝A′B′ D．AA′＝BB′ 3．如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為（ )。 A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm 4．如圖，在半徑為6 cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且∠D＝30，下列四個(gè)結(jié)論：①OA⊥BC；②BC＝6 cm；③sin∠AOB＝；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是( ) A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 5．如圖，⊙O中，AB是直徑，CO⊥AB，點(diǎn)D是CO的中點(diǎn)，DE∥AB，則的度數(shù)是_________． 6．已知一個(gè)等邊三角形的圖案的邊長(zhǎng)是3 cm，現(xiàn)用一個(gè)最小的圓去覆蓋它，則這個(gè)圓的面積是_______cm2. 7．(泰安中考)如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)O為圓心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足為點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接BE，設(shè)∠BEC＝α，則sinα的值為_________． 8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，∠M＝∠D. (1)判斷BC，MD的位置關(guān)系，并說明理由； (2)若AE＝16，BE＝4，求線段CD的長(zhǎng)； (3)若MD恰好經(jīng)過圓心O，求∠D的度數(shù)． 9．已知直線l與半徑為2的⊙O的位置關(guān)系是相離，則點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍在數(shù)軸上的表示正確的是( ) 10．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝4，BC＝6，以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)D，E，則AD為( ) A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1 11.如圖，已知以直角梯形ABCD的腰CD為直徑的圓O與梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切點(diǎn)分別是D，C，E，若圓O的半徑為2，梯形的腰AB為5，則該梯形的周長(zhǎng)是( ) A．9 B．10 C．12 D．14 12．(xx廈門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，一個(gè)圓過點(diǎn)A，交邊AB于點(diǎn)E，且與BC相切于點(diǎn)D，則該圓的圓心是( ) A．線段AE中垂線與線段AC的中垂線的交點(diǎn) B．線段AB中垂線與線段AC的中垂線的交點(diǎn) C．線段AE中垂線與線段BC的中垂線的交點(diǎn) D．線段AB中垂線與線段BC的中垂線的交點(diǎn) 13．(青島)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，則∠PAB＝_______ 14．四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，∠B＝30，有一個(gè)直徑為3的圓，其圓心O在BC邊上移動(dòng)，當(dāng)BO等于______時(shí)，⊙O與BA相切． 15．(荊門)如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C，交AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BA與⊙A相交于點(diǎn)F，若的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為_________． 16．已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面位置，搬動(dòng)時(shí)，為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50 m，半圓的直徑為4 m，則圓心O所經(jīng)過的路線長(zhǎng)是___________m(結(jié)果用π表示)． 17．如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點(diǎn)B，AF交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在DF上，BC交⊙O于點(diǎn)E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于點(diǎn)G，連接AE. (1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系； (2)求證：△BCG∽△ACE； (3)若∠F＝60，GF＝1，求⊙O的半徑長(zhǎng)． 18．如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，線段OP與弦AC垂直并相交于點(diǎn)D，OP與弧AC相交于點(diǎn)E，連接BC. (1)求證：∠PAC＝∠B，且PABC＝ABCD； (2)若PA＝10，sinP＝，求PE的長(zhǎng)． 【答案】 1.答案為D 2. 答案為D 3．答案為C 4. 答案為B 5. 答案為60 6. 9π 7. 8. 解：(1)BC∥MD，理由：∵∠M＝∠D，∠M＝∠C，∴∠D＝∠C，∴BC∥AD (2)連接OC，由垂徑定理可知CE＝CD，CO＝AB＝(AE＋BE)＝10，OE＝OB－BE＝6，∴CE＝＝＝8，∴CD＝16 (3)∠D＝30，連接MC，∵M(jìn)D經(jīng)過圓心，∴∠MCD＝90，∴∠CMD＋∠D＝90，∵BC∥MD，＝，∴∠BMD＝∠MDC，由垂徑定理得：＝，∴∠BMC＝∠BMD，∴∠CMD＋∠D＝∠BMC＋∠BMD＋∠MDC＝3∠MDC＝90，∴∠MDC＝30，即∠D＝30 9. 答案為A 10. 答案為B 11. 答案為D 12. 答案為C 13. 30 14.3 15. 2－ 16. (2π＋50) 17. 解：(1)AE⊥BC (2)∵BF與⊙O相切，∴∠ABF＝90，∠CBF＝90－∠ABE＝∠BAE，∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠BAF＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠CBF＝∠DAE，且∠BGC＝∠AED＝90，△BCG∽△ACE (3)設(shè)⊙O半徑為r，則AB＝2r，∠F＝60，∴BF＝r，AF＝r，∵GF＝1，∴CF＝2，∴AC＝AB＝AF－CF＝r－2＝2r，∴r＝2＋3 18. 解：∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，∴∠PAO＝90，∠C＝90，∴∠PAC＋∠BAC＝90，且∠B＋∠BAC＝90，∴∠PAC＝∠B，又∵OP⊥AC，∴∠ADP＝∠C＝90，△PAD∽△ABC，∴AP∶AB＝AD∶BC，∵在⊙O中，AC⊥OD，∴AD＝CD，∴AP∶AB＝CD∶BC，∴PABC＝ABCD 　(2)∵sinP＝，且PA＝10，∴＝，∴AD＝6，∴AC＝2AD＝12，在Rt△ADP中，PD＝＝8，又∵AP∶AB＝PD∶AC，∴AB＝＝15，∴AO＝，∴OP＝，∴PE＝OP－OE＝－＝5