山東省濟南市槐蔭區(qū)九年級數學下冊 第3章 圓復習導學案 （新版）北師大版.doc

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第三章圓 一、知識梳理 (一)圓的概念 集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合 軌跡形式的概念： 1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓； 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線； 4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。 (二)點與圓的位置關系 1、點在圓內 點在圓內； 2、點在圓上 點在圓上； 3、點在圓外 點在圓外； （三）直線與圓的位置關系 1、直線與圓相離 無交點； 2、直線與圓相切 有一個交點； 3、直線與圓相交 有兩個交點； （四）圓與圓的位置關系 外離（圖1） 無交點 ； 外切（圖2） 有一個交點 ； 相交（圖3） 有兩個交點 ； 內切（圖4） 有一個交點 ； 內含（圖5） 無交點 ； （五）垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。 推論1： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。? （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即： ①是直徑 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2個條件推出其他3個結論。 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 （六）圓心角定理 圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中， 只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論， 即：①；②； ③；④ 弧弧 （七）圓周角定理 1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。 即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角 ∴ 2、圓周角定理的推論： 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等?。? 即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角 ∴ 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。 即：在⊙中，∵是直徑或∵ ∴∴是直徑 推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。 （八）圓內接四邊形 圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。 即：在⊙中， ∵四邊形是內接四邊形 ∴ （九）切線的性質與判定定理 （1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：∵且過半徑外端 ∴是⊙的切線 （2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個定理及推論也稱二推一定理： 即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。 （十）切線長定理 切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即：∵、是的兩條切線 ∴ 平分 （十一）圓冪定理 （1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。 即：在⊙中，∵弦、相交于點， ∴ （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。 即：在⊙中，∵直徑， ∴ （3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 即：在⊙中，∵是切線，是割線 ∴ （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。 即：在⊙中，∵、是割線 ∴ （十二）兩圓公共弦定理 圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。 如圖：垂直平分。 即：∵⊙、⊙相交于、兩點∴垂直平分 （十三）圓的公切線 兩圓公切線長的計算公式： （1）公切線長：中，； （2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。 （十四）圓內正多邊形的計算 （1）正三角形:在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：； （2）正四邊形 同理，四邊形的有關計算在中進行，： （3）正六邊形 同理，六邊形的有關計算在中進行，. （十五）扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式 1、扇形：（1）弧長公式：； （2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積 2、圓柱： （1）圓柱側面展開圖 = （2）圓柱的體積： 3 .圓錐側面展開圖 （1）= （2）圓錐的體積： 二、題型、技巧歸納 類型一　確定圓的條件 例1　[xx河北] 如圖，在55正方形網格中，一條圓弧經過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是(　　) A．點P B．點Q C．點R D．點M [解析] B　圓心既在AB的中垂線上又在BC的中垂線上，由圖可以看出圓心應該是點Q. 歸納：過不在同一條直線上的三個點作圓時，只需由兩條線段的垂直平分線確定圓心即可，沒有必要作出第三條線段的垂直平分線．事實上，三條垂直平分線交于同一點． 例2　如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于D點，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，則DC的長為(　　) A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm [解析] D　連接AO，因為OC⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因為OD＝4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以OC＝5 cm，所以DC＝1 cm. 歸納：(1)垂徑定理是根據圓的對稱性推導出來的，該定理及其推論是證明線段相等、垂直關系、弧相等的重要依據．利用垂徑定理常作“垂直于弦的直徑”輔助線(往往又只是作圓心到弦的垂線段，如本例)；(2)垂徑定理常與勾股定理結合在一起，進行有關圓的半徑、圓心到弦的距離、弦長等數量的計算．這些量之間的關系是r2＝d2＋2(其中r為圓半徑，d為圓心到弦的距離，a為弦長)． 類型三　圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系 例3　如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點P，若∠A＝30，∠APD＝70，則∠B等于(　　) A．30 B．35 C．40 D．50 [解析] C　由三角形的外角求得∠C＝40，所以∠B＝∠C＝40. 類型四　圓心角與圓周角 例4　如圖，點A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22，則∠A＝________. [解析] 由同弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44，又因為AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44. 歸納：圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關系，因此，最終實現了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉化，從而為研究圓的性質提供了有力的工具和方法．當圖形中含有直徑時，構造直徑所對的圓周角是解決問題的重要思路．在證明有關問題中注意90的圓周角的構造． 類型五　與圓有關的開放性問題 例5　如圖，在邊長為2的圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點，延長AP交圓于點E. (1)∠E＝________度； (2)寫出圖中現有的一對不全等的相似三角形，并說明理由； (3)求弦DE的長． [解析] (1)由題目可知∠E＝∠ACD，因為四邊形ABCD是正方形，所以∠ACD＝45，所以∠E＝∠ACD＝45. (2)當對應角相等的時候，兩個三角形相似，由圓的性質可知∠E＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP. (3)因為△ACP∽△DEP，所以＝，因為P是CD的中點，所以CP＝DP＝CD＝1，由勾股定理分別求出AP＝，AC＝2，代入比例式算出DE＝. 解：(1)45 (2)△ACP∽△DEP. 理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE， ∴△ACP∽△DEP. (3)∵△ACP∽△DEP，∴＝. 又AP＝＝， AC＝＝2， ∴DE＝. 類型六　圓與圓的位置關系的判別 例6　⊙O1的半徑為3 cm，⊙O2的半徑為5 cm，圓心距O1O2＝2 cm，兩圓的位置關系是(　　)。 A．外切　　B．相交 C．內切 D．內含 [解析] C　圓心距O1O2＝2 cm是兩圓的半徑之差，所以兩圓內切． 類型七　計算扇形面積 例7　如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”．則半徑為2的“等邊扇形”的面積為(　　) A．π B．1 C．2 D.π [解析] C　扇形的面積等于弧長乘以半徑的一半，所以此扇形的面積為22＝2. 類型八　計算弧長 例8　如圖，已知正方形的邊長為2 cm，以對角的兩個頂點為圓心，2 cm長為半徑畫弧，則所得到的兩條弧長度之和為________cm(結果保留π)． [解析] 兩段弧長的和是以2 cm為半徑的半圓的弧長．即2π2＝2π. 類型九　圓的切線性質 例9　如圖X3－10，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D的切線交BC于E. (1)求證：DE＝BC； (2)若tanC＝，DE＝2，求AD的長． [解析] 連接BD，則在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余證明∠C＝∠EDC. 解：(1)證明：連接BD， ∵AB為直徑，∠ABC＝90，∴BE切⊙O于點B. 又因為DE切⊙O于點D，所以DE＝BE， ∴∠EBD＝∠EDB. ∵∠ADB＝90， ∴∠EBD＋∠C＝90，∠BDE＋∠CDE＝90， ∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DE＝BC. (2)因為DE＝2，DE＝BC，所以BC＝4. 在Rt△ABC中，tanC＝， 所以AB＝BC＝2. 在Rt△ABC中， AC＝＝＝6. 又因為△ABD∽△ACB， 所以＝，即＝， 所以AD＝. 歸納：圓的切線性質有很多，可以總結為：與圓相切一直線，只有一個公共點；切點圓心相連接，垂直切線是必然；切線上面取一點，此點圓心相互聯；如若垂直圓切線，此點切點零相間(此句指此點與切點之間距離為零)． 類型十　圓的切線的判定方法 例10　如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90， 以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，連接BD. (1)若AD＝3，BD＝4，求邊BC的長； (2)取BC的中點E，連接ED，試證明ED與⊙O相切． [解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要證明OD⊥DE就能說明ED與⊙O相切，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到等邊轉化為等角，進而算出∠ODE是直角． 解：(1)∵AB是直徑，∴∠ADB＝90. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴＝，即＝，∴BC＝. (2)證明：連接OD，在Rt△BDC中， ∵E是BC的中點，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD， 又∵∠OBD＋∠DBC＝90，∠C＋∠DBC＝90， ∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE. ∵AB是直徑，∴∠ADB＝90， ∴∠BDC＝90，即∠BDE＋∠CDE＝90， ∴∠BDE＋∠BDO＝90，即∠ODE＝90， ∴ED與⊙O相切． 歸納：在涉及切線問題時，常連接過切點的半徑，要想證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線．如果已知直線過圓上某一點，則作出過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑；如果直線與圓的公共點沒有確定，則應過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑． 類型十一　圓錐面積問題 例11　如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB＝13 cm，一條直角邊AC＝5 cm，以直線AB為軸旋轉一周得一個幾何體．求這個幾何體的表面積． [解析] 首先應了解這個幾何體的形狀是上下兩個圓錐，共用一個底面，表面積即為兩個圓錐的側面積之和．根據S側＝πR2或S側＝πrl可知，用第二個公式比較好求，但是得求出底面圓的半徑，因為AB垂直于底面圓的半徑，在Rt△ABC中，由OCAB＝BCAC可求出r，問題就解決了． 解：在Rt△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm，∴BC＝12 cm. ∵OCAB＝BCAC，∴r＝OC＝＝＝. ∴S表＝πr(BC＋AC)＝π(12＋5)＝π cm2. 歸納：對于這類由多個幾何體拼接而成的幾何體，在求它們的側面積或體積時，可以根據其特點適當“分割”求解，再求和． 典例精析： 例題1：如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60. (1)求∠ABC的度數； (2)求證：AE是⊙O的切線； (3)當BC＝4時，求劣弧的長． 解：(1)∠ABC＝∠D＝60 (2)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90，∴∠BAC＝30，∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30＋60＝90，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線 例題2：如圖，扇形OAB中，∠AOB＝90，半徑OA＝6，將扇形OAB沿過B點的直線折疊，點O恰好落在弧AB上的點D處，折痕交OA于點C，求整個陰影部分的周長和面積． 解：連接OD，∵OB＝OD，OB＝BD，∴△ODB是等邊三角形，∠DBO＝60，∴∠OBC＝∠CBD＝30，在Rt△OCB中，OC＝2，S△OBC＝OCOB＝26＝6，S 陰影＝S扇形AOB－2S△OBC＝π36－26＝9π－12，l陰影＝lAB＋AC＋CD＋DB＝3π＋26＝12＋3π 三、隨堂檢測 1．(涼山州)如圖，△ABC內接于⊙O，∠OBC＝40，則∠A的度數為( ) A．80 B．100 C．110 D．130 2．如圖所示，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的半徑OA′，OB′分別交小圓于點A，B，則下列結論中正確的是( ) A．A′B′＝2AB B.＝ C.＝A′B′ D．AA′＝BB′ 3．如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長為（ )。 A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm 4．如圖，在半徑為6 cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，且∠D＝30，下列四個結論：①OA⊥BC；②BC＝6 cm；③sin∠AOB＝；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結論的序號是( ) A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 5．如圖，⊙O中，AB是直徑，CO⊥AB，點D是CO的中點，DE∥AB，則的度數是_________． 6．已知一個等邊三角形的圖案的邊長是3 cm，現用一個最小的圓去覆蓋它，則這個圓的面積是_______cm2. 7．(泰安中考)如圖，AB是半圓的直徑，點O為圓心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足為點E，交⊙O于點D，連接BE，設∠BEC＝α，則sinα的值為_________． 8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，∠M＝∠D. (1)判斷BC，MD的位置關系，并說明理由； (2)若AE＝16，BE＝4，求線段CD的長； (3)若MD恰好經過圓心O，求∠D的度數． 9．已知直線l與半徑為2的⊙O的位置關系是相離，則點O到直線l的距離的取值范圍在數軸上的表示正確的是( ) 10．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝4，BC＝6，以斜邊AB上的一點O為圓心所作的半圓分別與AC，BC相切于點D，E，則AD為( ) A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1 11.如圖，已知以直角梯形ABCD的腰CD為直徑的圓O與梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切點分別是D，C，E，若圓O的半徑為2，梯形的腰AB為5，則該梯形的周長是( ) A．9 B．10 C．12 D．14 12．(xx廈門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊BC的中點，一個圓過點A，交邊AB于點E，且與BC相切于點D，則該圓的圓心是( ) A．線段AE中垂線與線段AC的中垂線的交點 B．線段AB中垂線與線段AC的中垂線的交點 C．線段AE中垂線與線段BC的中垂線的交點 D．線段AB中垂線與線段BC的中垂線的交點 13．(青島)如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點A，則∠PAB＝_______ 14．四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，∠B＝30，有一個直徑為3的圓，其圓心O在BC邊上移動，當BO等于______時，⊙O與BA相切． 15．(荊門)如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于點C，交AD于點E，延長BA與⊙A相交于點F，若的長為，則圖中陰影部分的面積為_________． 16．已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面位置，搬動時，為了保護圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50 m，半圓的直徑為4 m，則圓心O所經過的路線長是___________m(結果用π表示)． 17．如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE. (1)直接寫出AE與BC的位置關系； (2)求證：△BCG∽△ACE； (3)若∠F＝60，GF＝1，求⊙O的半徑長． 18．如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，線段OP與弦AC垂直并相交于點D，OP與弧AC相交于點E，連接BC. (1)求證：∠PAC＝∠B，且PABC＝ABCD； (2)若PA＝10，sinP＝，求PE的長． 【答案】 1.答案為D 2. 答案為D 3．答案為C 4. 答案為B 5. 答案為60 6. 9π 7. 8. 解：(1)BC∥MD，理由：∵∠M＝∠D，∠M＝∠C，∴∠D＝∠C，∴BC∥AD (2)連接OC，由垂徑定理可知CE＝CD，CO＝AB＝(AE＋BE)＝10，OE＝OB－BE＝6，∴CE＝＝＝8，∴CD＝16 (3)∠D＝30，連接MC，∵MD經過圓心，∴∠MCD＝90，∴∠CMD＋∠D＝90，∵BC∥MD，＝，∴∠BMD＝∠MDC，由垂徑定理得：＝，∴∠BMC＝∠BMD，∴∠CMD＋∠D＝∠BMC＋∠BMD＋∠MDC＝3∠MDC＝90，∴∠MDC＝30，即∠D＝30 9. 答案為A 10. 答案為B 11. 答案為D 12. 答案為C 13. 30 14.3 15. 2－ 16. (2π＋50) 17. 解：(1)AE⊥BC (2)∵BF與⊙O相切，∴∠ABF＝90，∠CBF＝90－∠ABE＝∠BAE，∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠BAF＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠CBF＝∠DAE，且∠BGC＝∠AED＝90，△BCG∽△ACE (3)設⊙O半徑為r，則AB＝2r，∠F＝60，∴BF＝r，AF＝r，∵GF＝1，∴CF＝2，∴AC＝AB＝AF－CF＝r－2＝2r，∴r＝2＋3 18. 解：∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，∴∠PAO＝90，∠C＝90，∴∠PAC＋∠BAC＝90，且∠B＋∠BAC＝90，∴∠PAC＝∠B，又∵OP⊥AC，∴∠ADP＝∠C＝90，△PAD∽△ABC，∴AP∶AB＝AD∶BC，∵在⊙O中，AC⊥OD，∴AD＝CD，∴AP∶AB＝CD∶BC，∴PABC＝ABCD 　(2)∵sinP＝，且PA＝10，∴＝，∴AD＝6，∴AC＝2AD＝12，在Rt△ADP中，PD＝＝8，又∵AP∶AB＝PD∶AC，∴AB＝＝15，∴AO＝，∴OP＝，∴PE＝OP－OE＝－＝5