（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系講義（含解析）.doc

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第二節(jié)　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 突破點一　平面的基本性質(zhì) 1．公理1～3 文字語言 圖形語言 符號語言 公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) ?l?α 公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l [點撥]　公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)． 2．公理2的三個推論 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面； 推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面； 推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面． 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(　　) (2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(　　) (3)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于A點，并記作α∩β＝A.(　　) (4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(　　) 答案：(1)√　(2)　(3)　(4) 二、填空題 1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有________． 答案：4 2．下列命題中，真命題是________． (1)空間不同三點確定一個平面； (2)空間兩兩相交的三條直線確定一個平面； (3)兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形； (4)和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)． 解析：(1)是假命題，當三點共線時，過三點有無數(shù)個平面；(2)是假命題，當三條直線共點時，不能確定一個平面；(3)是假命題，兩組對邊相等的四邊形可能是空間四邊形；(4)是真命題． 答案：(4) 3．設(shè)P表示一個點，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列三個命題，其中真命題是________．(填序號) ①P∈a，P∈α?a?α； ②a∩b＝P，b?β?a?β； ③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α. 答案：③ 1．正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，M為CC1的中點，N為線段DD1上靠近D1的三等分點，平面BMN交AA1于點Q，則線段AQ的長為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　如圖所示，過點A作AE∥BM交DD1于點E，則E是DD1的中點，過點N作NT∥AE交A1A于點T，此時NT∥BM，所以B，M，N，T四點共面，所以點Q與點T重合，易知AQ＝NE＝，故選D. 2.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點． 求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點． 證明：(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B， ∵E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，∴EF∥A1B且EF＝A1B. 又∵A1D1綊BC， ∴四邊形A1BCD1是平行四邊形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF與CD1確定一個平面，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面． (2)由(1)知EF∥CD1且EF＝CD1， ∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必相交， 設(shè)交點為P，則P∈CE，且P∈D1F， 又CE?平面ABCD，且D1F?平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD， ∴CE，D1F，DA三線共點． 共面、共線、共點問題的證明方法 (1)證明點或線共面問題的兩種方法： ①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)； ②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合． (2)證明點共線問題的兩種方法： ①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上； ②直接證明這些點都在同一條特定直線上． (3)證明線共點問題的常用方法： 先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點． 1．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是(　　) 解析：選D　A，B，C圖中四點一定共面，D中四 點不共面． 2.如圖，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：選A　連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點共面，所以A1C?平面ACC1A1，因為M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點共線． 突破點二　空間中兩直線的位置關(guān)系 1．空間中兩直線的位置關(guān)系 (1)空間中兩直線的位置關(guān)系 (2)公理4和等角定理 ①公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行． ②等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補． 2．異面直線所成的角 (1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． (2)范圍：. 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b不可能是平行直線．(　　) (2)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(　　) (3)經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線(不在平面內(nèi))與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．(　　) (4)若兩條直線共面，則這兩條直線一定相交．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3)√　(4) 二、填空題 1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是____________． 答案：相交、平行或異面 2．長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線BD1與CC1所成的角為________． 答案： 3．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對． 答案：3 考法一　空間兩直線位置關(guān)系的判定　 [例1]　(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有以下結(jié)論： ①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　 　B．1 C．2 D．3 (2)在下列四個圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號) [解析]　(1)法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯誤，③顯然成立． 法二：構(gòu)造長方體或正方體模型可快速判斷，①②錯誤，③正確． (2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面． [答案]　(1)B　(2)②④ [方法技巧]　　空間兩直線位置關(guān)系的判定方法 考法二　異面直線所成的角　 [例2]　(2018全國卷Ⅱ)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. [解析]　如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體EFBAE1F1B1A1.連接B1F，由長方體性質(zhì)可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角． 連接DF，由題意，得DF＝＝，F(xiàn)B1＝＝2，DB1＝＝. 在△DFB1中，由余弦定理，得 DF2＝FB＋DB－2FB1DB1cos∠DB1F， 即5＝4＋5－22cos∠DB1F， ∴cos∠DB1F＝. [答案]　C [方法技巧]　平移法求異面直線所成角的步驟 平移 平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；(3)補形平移 證明 證明所作的角是異面直線所成的角或其補角 尋找 在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之 取舍 因為異面直線所成角θ的取值范圍是0＜θ≤90，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角 1.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1與l4既不垂直也不平行 D．l1與l4的位置關(guān)系不確定 解析：選D　構(gòu)造如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當取l4為B1C1時，l1∥l4，當取l4為BB1時，l1⊥l4，故排除A、B、C，選D. 2.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直 解析：選A　由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，則A1B與EF相交． 3.如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中點，則異面直線BC1與PD所成的角等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 解析：選C　如圖，取A1B1的中點E，連接D1E，AD1，AE，則∠AD1E即為異面直線BC1與PD所成的角．因為AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E為正三角形，所以∠AD1E＝60，故選C. 4.(2017全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝120，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　如圖所示，將直三棱柱ABCA1B1C1補成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其補角為異面直線AB1與BC1所成的角． 因為∠ABC＝120，AB＝2，BC＝CC1＝1， 所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60，B1C1＝1，D1C1＝2， 所以B1D1＝＝， 所以cos∠B1AD1＝＝.