電大《工程數(shù)學(xué)》期末考試答案

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.1．設(shè) 都是 n 階方陣，則下列命題正確的是(A )．A． BA, B?2．向量組的 秩是（B ） ．B. 3 3． 元線性方程組 有解的充分必要條件是（A　）．A. nXb? )()bAr??4. 袋中有 3 個紅球， 2 個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是（D ）．D. 9/255．設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣本，則（C ）是 無偏估計． C. xxn12,,? N(,)??2?3?6．若 是對稱矩陣，則等式（B　 ）成立． B. AA??7． （ D 　）．D. ????????1547543???????8．若（A）成立，則 元線性方程組 有唯一解．A. nXO?rn()?9. 若條件（ C）成立，則隨機事件 ， 互為對立事件． C. 且B?ABBU??10．對來自正態(tài)總體 （ 未知）的一個樣本 ，記 ，XN~(,)??2 X123,??31iX則下列各式中（C?。┎皇墙y(tǒng)計量． C. ???31)(ii?11. 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，當(dāng) 為（B?。┚仃嚂r，乘積 有意義．B. A43?25CCA?42?12. 向量組 的極大線性無關(guān)組是（ A ）．A ．??????13401023?,,,,234,13. 若線性方程組的增廣矩陣為 ，則當(dāng) ＝（D）時線性方程組有無窮多解． ????????AD．1/2 14. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為 4”的概率是（C ）.　C.1/12　15. 在對單正態(tài)總體 的假設(shè)檢驗問題中， 檢驗法解決的問題是（B ）．B. 未N(,)??2T知方差，檢驗均值?????????????72,301,.16. 若 都是 n 階矩陣，則等式（ B）成立． B. AB, A?17. 向量組 的秩是（C ）．C. 3????3,21,0,210,431????18. 設(shè)線性方程組 有惟一解，則相應(yīng)的齊次方程組 （A ）．A. 只有 0 解 bXOX19. 設(shè) 為隨機事件，下列等式成立的是（D?。瓺. AB, )()(BP??1．設(shè) 為三階可逆矩陣，且 ，則下式(B )成立． B． , 0?k ?2．下列命題正確的是（ C ）． C．向量組 , ,O 的秩至多是 ?,21?ss3．設(shè) ，那么 A 的特征值是(D ) D．-4，6???????154．矩陣 A 適合條件（ D ）時，它的秩為 r． D． A 中線性無關(guān)的列有且最多達 r 列 5．下列命題中不正確的是（ D ）．D． A 的特征向量的線性組合仍為 A 的特征向量6. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為 3”的概率是（ B ）． B．1/1 7．若事件 與 互斥，則下列等式中正確的是．A ．BPPB()()??8. 若事件 A， B 滿足 ，則 A 與 B 一定（A ?。?A．不互斥 1)(??P9．設(shè) , 是兩個相互獨立的事件，已知則 （B ）B ．2/3 ??)(10．設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣本，則（B ）是統(tǒng)計量． B． nx,21? ),(2??N??nix11. 若 ，則 （A 　 ）．A .3 035??x2. 已知 2 維向量組 ，則 至多是（B　　）．B 24321,α),(4321αr3. 設(shè) 為 階矩陣，則下列等式成立的是（C　）． C. BA,n A????)(4. 若 滿足（B?。瑒t 與 是相互獨立． B. A(P5. 若隨機變量 的期望和方差分別為 和 ，則等式（D ）成立． D. X)(XE22)]([()ED??1．設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是( ) ． A． A,n??B1??3)(?P.2．方程組 相容的充分必要條件是()，其中 ， ． B．???????3121ax0?ia)3,21(?0321???a3．設(shè)矩陣 的特征值為 0，2，則 3A 的特征值為 ( ) ． B．0，6 ??????A4. 設(shè) A， B 是兩事件，其中 A， B 互不相容，則下列等式中（ ）是不正確的． C. )()(P?5．若隨機變量 X 與 Y 相互獨立，則方差 =（ ?。瓺 ． 32YX?)(9)(4YDX?6．設(shè) A 是 矩陣， 是 矩陣，且 有意義，則 是( B． )矩陣． nm?BtsA? ns?7．若 X1、 X2是線性方程組 AX=B 的解，而 是方程組 AX = O 的解，則（ ）是 AX=B 的解．　21?、A． 3?8．設(shè) 矩陣，則 A 的對應(yīng)于特征值 的一個特征向量 =()C．1 ，1,0???9. 下 列事件運算關(guān)系正確的是（ ）．A． AB?10．若 隨機變量 ，則隨機變量 （ N2.,3 ） ）． D． )1,0(~NX~23?XY11．設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣本，則（）是 的無偏估計． C． 321,x,2???3215x?12．對給定的正態(tài)總體 的一個樣本 ， 未知，求 的置信區(qū)間，選用的樣),(2 ),,(21nx? 2?本函數(shù)服從（ 　 ）．B ． t 分布 ⒈設(shè) ，abc123?則 （D?。瓺. －6abcc123??⒉若，則 （A　 ）． A. 1/2 ⒊乘積矩陣 中元素 C. 10 124035???????23?⒋設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列運算關(guān)系正確的是（　B）． B. A,n ()BA??1⒌設(shè) 均為 階方陣， 且 ，則下列等式正確的是（D）．D. k?0?1kn⒍下列結(jié)論正確的是（　A ）．A. 若 是正交矩陣，則 也是正交矩陣A?1⒎矩陣 的伴隨矩陣為（）．C. 1325??????532??????⒏方陣 可逆的充分必要條件是（B　）．B. ?0????????0.⒐設(shè) 均為 階可逆矩陣，則 （D　）．D. ABC,n()ACB???1()BCA??11⒑設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是 A. ??22⒈用消元法得 的解 為（C　）．C. x12340???????x123??????[,]?⒉線性方程組 （B?。瓸. 有唯一解 x12364⒊向量組 的秩為（　A）．A. 3 01????????????,,⒋設(shè)向量組為 ，則（B?。┦菢O大無關(guān)組． B. ?123401??????????????,, ?123,⒌ 與 分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（D）．D. 秩A秩()?⒍若某個線性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A?。赡軣o解 ⒎以下結(jié)論正確的是（D ）．D. 齊次線性方程組一定有解⒏若向量組 線性相關(guān)，則向量組內(nèi)（A?。┛杀辉撓蛄拷M內(nèi)其余向量線性表出． A. 至少有?12,,? s一個向量 9．設(shè) A，Ｂ為 階矩陣， 既是Ａ又是Ｂ的特征值， 既是Ａ又是Ｂ的屬于 的特征向量，則結(jié)論（）成n?x?立．Ｄ． 是 A+B 的屬于 的特征向量x10．設(shè)Ａ，Ｂ，Ｐ為 階矩陣，若等式（Ｃ ?。┏闪ⅲ瑒t稱Ａ和Ｂ相似．Ｃ． 　 　BPA??1⒈ 為兩個事件，則（　B）成立． B. , ()AB???⒉如果（　C）成立，則事件 與 互為對立事件． C. 且 ??U⒊10 張獎券中含有 3 張中獎的獎券，每人購買 1 張，則前 3 個購買者中恰有 1 人中獎的概率為（D?。? D. 072?..4. 對于事件 ，命題（C ?。┦钦_的． C. 如果 對立，則 對立AB, AB,,⒌某隨機試驗的成功率為 ,則在 3 次重復(fù)試驗中至少失敗 1 次的概率為（D?。? D. )1(?p)1()(23p???6.設(shè)隨機變量 ，且 ，則參數(shù) 與 分別是（A　）． A. 6, 0.8 Xn~,EX.,().?48096np7.設(shè) 為連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)，則對任意的 ， （A?。瓵. fx() ab,()?EX(?d????8.在下列函數(shù)中可以作為分布密度函數(shù)的是（B　）． B. .9.設(shè)連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)為 ，則對任意的區(qū)間 ，則Xfx()Fx()(,)ab（D ）．D. ??)(baPabd?10.設(shè) 為隨機變量， ，當(dāng)（C　）時，有 ． C. E(,()???2EYD(),?01YX????⒈設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 均未知）的樣本，則（A）是統(tǒng)計量． A. xn12,? N,, x1⒉設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 均未知）的樣本，則統(tǒng)計量（D ）不是 的無偏估計 D. 3()212?二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 1．設(shè) 均為 3 階方陣， ，則 　-18　．BA,2,AB?13A???2．設(shè) 為 n 階方陣，若存在數(shù)? 和非零 n 維向量 ，使得 ，則稱? 為 的特征值． XA3 設(shè)隨機變量 ，則 a =　　　　0.3 ． 01~.25X??????4．設(shè) 為隨機變量，已知 ，此時 　　27 ．3)(?D()2??5．設(shè) 是未知參數(shù) 的一個無偏估計量，則有　　 ．?? ?E?6．設(shè) 均為 3 階方陣， ，則 8．BA, 6,AB13()A??7．設(shè) 為 n 階方陣，若存在數(shù)? 和非零 n 維向量 ，使得 ，則稱 為 相應(yīng)于特征值? 的特征向X?XA量． 8．若 ，則 　0.3 ．5.0)(,.)(?P)(9．如果隨機變量 的期望 ， ，那么 20．X2E92??)2(D10．不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為　統(tǒng)計量　?。?1. 設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 -8　．BA, 3?BA?1A12.設(shè) ， ．2???????0741_)(r13. 設(shè) 是三個事件，那么 發(fā)生，但 至少有一個不發(fā)生的事件表示為　 .ABC,ACB, )(CBA?14. 設(shè)隨機變量 ，則 　15．)15.,(~X?)(XE15. 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個樣本， ，則nx,,21? N,??2??nix1)(D.16. 設(shè) 是 3 階矩陣，其中 ，則 12．BA, 2,3?BA??117. 當(dāng) =1 時，方程組 有無窮多解．．??????12x?18. 若 ，則 0.2．5.0)(,6.)(,9.0)( ??PP)(AB19. 若連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)的是 ，則 2/3．X????其 它,12xf ?)(XE20. 若參數(shù) 的估計量 滿足 ，則稱 為 的無偏估計 　?。? ??E()??n2?1．行列式 的元素 的代數(shù)余子式 的值為= -56．702568321a21A2．已知矩陣 滿足 ，則 與 分別是 階矩陣．nsijcCBA??)(,CB?ns?,3．設(shè) 均為二階可逆矩陣，則 ．, ???????1OA4．線性方程組 一般解的自由未知量的個數(shù)為 2．???????32641x5．設(shè) 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（ A）=1，那么 AX=B 的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 3 個解向量． 6． 設(shè) A， B 為兩個事件，若 P（ AB）= P（ A） P（ B），則稱 A 與 B 相互獨立 ． 7．設(shè)隨機變量 的概率分布為X則 a = 0.3 ． 8．設(shè)隨機變量 ，則 0.9．??????3.04.21~XEX()?9．設(shè) 為隨機變量，已知 ，那么 8．)(D??)72(kx0 1 2pa 0.2 0.5.10．礦砂的 5 個樣本中，經(jīng)測得其銅含量為 ， ， ， ， （百分數(shù)），設(shè)銅含量服從 N（ ，1x234x5 ?）， 未知，在 下，檢驗 ，則取統(tǒng)計量 ．2?01.??0??0st???1. 設(shè) 均為 n 階可逆矩陣，逆矩陣分別為 ，則 　 ．BA, 1,?BA??1)(BA)(1?2. 向量組 線性相關(guān)，則 .,0),0(),1,(32 k????_?k?3. 已知 ，則 　　 　　　?。?8.0)P6.4. 已知隨機變量 ，那么 ．???????5.013.~X)(XE425. 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個樣本，則 　　 　．1021,x? ,?N~10??ix)104,(?N1．設(shè) ，則 的根是 4)(2???f)(?f2,1?2．設(shè)向量 可由向量組 線性表示，則表示方法唯一的充分必要條件是 ． ?n?,,21? n?,21?線性無關(guān)3．若事件 A， B 滿足 ，則 P（ A - B）= ?)(P?4．．設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為 ，則常數(shù) k =???????其 它,01)(2xkf ?45．若樣本 來自總體 ，且 ，則nx,,21? ~NX??ni1~x)1,0(nN7．設(shè)三階矩陣 的行列式 ，則 =2A1?1?A8．若向量組： ， ， ，能構(gòu)成 R3一個基，則數(shù) k ．???????21?30??????k?2?9．設(shè) 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（ A）=1，那么 AX=B 的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 3 個解向量．10．設(shè) 互不相容，且 ，則 0　　　 　　．A,P()?()?11．若隨機變量 X ~ ，則 1/3．]2,0[UXD12．設(shè) 是未知參數(shù) 的一個估計，且滿足 ，則 稱為 的無偏估計．?? ?)?(E?⒈ 7 ．2140??.⒉ 是關(guān)于 的一個一次多項式，則該多項式一次項的系數(shù)是 2 ．?1x⒊若 為 矩陣， 為 矩陣，切乘積 有意義，則 為 5×4 矩陣．A34?B25ACB?⒋二階矩陣 ．???????10⒌設(shè) ，則 AB???????243,()??????????815360⒍設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 72 ．,AB?2AB⒎設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 －3 ．?13,??12()⒏若 為正交矩陣，則 0 ．Aa???????10a⒐矩陣 的秩為 2 ．43???⒑設(shè) 是兩個可逆矩陣，則 ．A12, AO12????????????12⒈當(dāng) 1 時，齊次線性方程組 有非零解．??x120?????⒉向量組 線性 相關(guān) ．???120,,⒊向量組 的秩３ ．??30,⒋設(shè)齊次線性方程組 的系數(shù)行列式 ，則這個方程組有 無窮多 解，且?123x???1230?系數(shù)列向量 是線性 相關(guān) 的．23,⒌向量組 的極大線性無關(guān)組是 ．?????1300?,, 21,⒍向量組 的秩與矩陣 的秩 相同 ．2,? s ?12,? s⒎設(shè)線性方程組 中有 5 個未知量，且秩 ，則其基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量有 2 個．AX()A?3⒏設(shè)線性方程組 有解， 是它的一個特解，且 的基礎(chǔ)解系為 ，則 的通解為b?0X0X12,Ab?．210k?9．若 是Ａ的特征值，則 是方程 的根．????I10．若矩陣Ａ滿足 　 ，則稱Ａ為正交矩陣．A???1⒈從數(shù)字 1,2,3,4,5 中任取 3 個，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為 2/5．2.已知 ，則當(dāng)事件 互不相容時， 0.8 ， 0.3 ．PB().,().05AB,PAB()??().3. 為兩個事件，且 ，則 ．AB,A?PB()????A4. 已知 ，則 ．Pp(),)??15. 若事件 相互獨立，且 ，則 ．, q(,)()??pq?6. 已知 ，則當(dāng)事件 相互獨立時， 0.65 ， 0.3 ．()..035PBPA()?7.設(shè)隨機變量 ，則 的分布函數(shù) ．XU~(,)1Fx()???????108.若 ，則 6 ．B(,.)203E(?9.若 ，則 ．N~??P)???3)(2?10. 稱為二維隨機變量 的 協(xié)方差 ．XY[()(]?,XY1．統(tǒng)計量就是 不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) ．2．參數(shù)估計的兩種方法是 點估計 和 區(qū)間估計 ．常用的參數(shù)點估計有 矩估計法 和最大似然估 兩種方法．3．比較估計量好壞的兩個重要標(biāo)準(zhǔn)是無偏性，有效性 ．4．設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 已知）的樣本值，按給定的顯著性水平 檢驗xxn12,,? N(,)??2 ?，需選取統(tǒng)計量 ．H00:;:???nxU/0??5．假設(shè)檢驗中的顯著性水平 為事件 （ u 為臨界值）發(fā)生的概率．??||0三、（每小題 16 分，共 64 分）A1．設(shè)矩陣 ，且有 ，求 ．AB??????????????1235410,AXB??解：利用初等行變換得1203541203??????????????????????????????201512051即　 　　由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運算得A????17XB????????????????120513622.設(shè)矩陣 ，求 ．???????0,32ABA1?.解：利用初等行變換得 ???????????????102341032 ???????????????146035146即　　 由矩陣乘法得65?35A???????????????? 20180431BA3.已知 ，其中 ，求 ．X?53,87BX解：利用初等行變換得 ?????????????? 1052031857321 ???????????????1205364123即　　　　 由矩陣乘法運算得?046?46A??????????????? 128350125461BAX4.設(shè)矩陣 ， 是 3 階單位矩陣，且有 ，求 ．???,437IBXAI??)(1. 解：由矩陣減法運算得????????????????943721801AI利用初等行變換得13027490213?????????????????????????????1021230即?()IA???????1230由矩陣乘法運算得.????????????????6519240312)(1BAIX5．設(shè)矩陣 ，求（1 ） ；（2） ． （1）?????????,34102ABI)(= 0702???A 513701??（2）因為 =)(I???????3412所以 = ． BAI)(????????03412???????0935246．設(shè)矩陣 ，解矩陣方程 ． ??????????????6,0BAX?解：因為 ?????????????? 12073410241，得 ??????????????145310 ?????????1234751A所以 ． ??BAX??????2475????????37296857 設(shè)矩陣 ，求（1 ） ，（2） ．解???????43A11） 10252??A（2）利用初等行變換得???????????????1032104351 ???????????????20152015.即　 A????????120758 .,3, XB，A求且 ?，BAXI 求且己 知例 于 是得 出 ???????????????????????????????????183052724135 13250100)(9．設(shè)矩陣 ，求：（1 ） ；（2） ．??????????????203,132BA1?解：（1）因為 120132???B所以 ． A（2）因為 ??????????103I所以 ．???????2/01 ?????????102/31A10．已知矩陣方程 ，其中 ， ，求 ．BAX???????05BX解：因為 ，且I??)(????????????1201????0即 ???????12)(1AI所以 ?????????34250)(1BIX11．設(shè)向量組 ， ， ， ，求這),42(1??，，?),168(2?，， )2,51(3??，，?)1,3(4???，，?個向量組的秩以及它的一個極大線性無關(guān)組．.解：因為（ ） = 1?234???????125638???????107524???????02134所以， r( ) = 3． 421,它的一個極大線性無關(guān)組是 （或 ）．41,?432,1⒉設(shè) ，求 ．ABC??????????????????????0203,,ACB?解： ???????????10246014)(C13 寫出 4 階行列式中元素 的代數(shù)余子式，并求其值．102365?a412,： 0324)1(???a 453610)(24???a14 求矩陣 的秩．10??????解 ??????????? ?? ??????????? ?????????????????????????? ????00110 010110121001123101043 424132r rr?3)(?AR15．用消元法解線性方程組.xx12341234685012???????? ???????????? ??????????????? ?????????????? ???? 2610937842108431005176231231420586 41324132 5rrA ???????????????????????????????????? ??????? 3104513650472913650287490 4321343 579121 rrr ???????????? ?????????????? ?? 31023104521 34214 51 rr方程組解為???????3241xA2．求線性方程組的全部解．解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ???????????????046231842317 ???????????????02130621方程組的一般解為（其中 為自由未知量） xx14235???????4令 =0，得到方程的一個特解 . x4 )01(0??X.方程組相應(yīng)的齊方程的一般解為（其中 為自由未知量）??????43215xx4令 =1，得到方程的一個基礎(chǔ)解系 . x4 )15(1???X于是，方程組的全部解為 （其中 為任意常數(shù)） 0k?2.當(dāng) 取何值時，線性方程組?????????147963221xx有解，在有解的情況下求方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ????????????????190251479632?? ???????????????1058491052?由此可知當(dāng) 時，方程組無解。當(dāng) 時，方程組有解?！　? 分??此時齊次方程組化為??????432159xx分別令 及 ，得齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系0,341?,令 ，得非齊次方程組的一個特解????????051921XXx340?,由此得原方程組的全部解為80（其中 為任意常數(shù)）　　 ……16 分k??12k12,3.求線性 方程組的全部 解．解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形???????????????046231842317 ???????????????02130621????????2842137421xx.方程組的一般解為　　 　（其中 為自由未知量） x14235???????x4令 =0，得到方程的一個特解 . x4 )0(0?X方程組相應(yīng)的齊次方程的一般解為（其中 為自由未知量）??????43215xxx4令 =1，得到方程的一個基礎(chǔ)解系 . 4 )15(1???X于是，方程組的全部解為（其中 為任意常數(shù)） 　10kX??4.求線性方程組????????83259421xx的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ???????????????2413058312940 ???????????????02143052413??????00此時相應(yīng)齊次方程組的一般解為是自由未知量??????4321x令 ，得齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系4x???121X令 ，得非齊次方程組的一個特解04?x?0.由此得原方程組的全部解為（其中 為任意常數(shù)）10kX??k5．設(shè)齊次線性方程組 的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換，得 求此齊次線性方程組的一A2013A????????個基礎(chǔ)解系和通解． 因為 ??????????????012/3021得一般解： （其 是自由元） ??????4321xx43,x令 ，得 ；0,43???021X令 ，得 ．,?x??2所以， 是方程組的一個基礎(chǔ)解系． ??21,方程組的通解為： ，其中 是任意常數(shù)． ?X21k?21,k6．設(shè)齊次線性方程組 ， 為何值時方程組有非零解？在有非零解時，?????0835321x?解：因為 A = ??????????6???????51時， ，所以方程組有非零解． 50???即當(dāng) 3)(?r方程組的一般解為： ，其中 為自由元．???321x3令 =1 得 X1= ，則方程組的基礎(chǔ)解系為{ X1}．3x),(?通解為 k1X1，其中 k1為任意常數(shù)． 求出通解． 7. 當(dāng) 取何值時，線性方程組?.???????2532341?xx有解，在有解的情況下求方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形102435102?????????????????????????????????1023130??由此可知當(dāng) 時，方程組無解。當(dāng) 時，方程組有解?！　　　　　? 分??此時相應(yīng)齊次方程組的一般解為 （ 是自由未知量）x1342????43,x分別令 及 ，得齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系x3410?,x34,????XX2301???令 ，得非齊次方程組的一個特解34,01???由此得原方程組的全部解為8.k 為何值時，線性方程組． 且 方 程 組 的 一 般 解 為方 程 組 有 解時當(dāng) 為 階 梯 形將 方 程 組 的 增 廣 矩 陣 化解 并 求 出 一 般 解有 解 ，kkAkxx5,0375241227341:7242131 ?????????????????????????? ),(573643421 為 自 由 未 知 量其 中 xxx???????9．求齊次線性方程組 的通解．??????0235962214xx.解： A= ??????????????326013159620一般解為 ，其中 x2， x4 是自由元 ??????31542x令 x2 = 1， x4 = 0，得 X1 = ；)0,,(?x2 = 0， x4 = 3，得 X2 = ),313??所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為 { X1， X2 }． 原方程組的通解為： ，其中 k1， k2 是任意常數(shù)． 1k?10．設(shè)有線性方程組??12?????????????xyz為何值時，方程組有唯一解?或有無窮多解?解： ］??????????? ?? ?????????? ??????????????? ???23222)1()(011032 3131?? ??r rrA當(dāng) 且 時， ，方程組有唯一解??23?AR當(dāng) 時， ，方程組有無窮多解1??)(AR11．判斷向量 能否由向量組 線性表出，若能，寫出一種表出方式．其中??123,???????????????????83710250613,,,解：向量 能否由向量組 線性表出，當(dāng)且僅當(dāng)方程組 有解?321,?????321xx.這里　 ?? ???????? ????????????????? 571043110237136578,21??A)()(R?方程組無解?不能由向量 線性表出?321,?12．計算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關(guān) ?123434789101963?????????????????????????,,,解： ?? ???????? ????????????????0182631490827,321該向量組線性相關(guān)?13．求齊次線性方程組xx1234124055???????的一個基礎(chǔ)解系．解： ???????????? ????????????? ??????????? ?? 307142501034072134053213423141325 rrA.???????????? ???????????? ????????????? ?? ???? 001430510012435010321450 233432 11 rrr方程組的一般解為 　　令 ，得基礎(chǔ)解系　??????014352x3?x????????1435?14．求下列線性方程組的全部解． xx12341234515976????????解： ???????????? ???????????? ??????????? ??? 00287149056142802871351163574091542314312 5rrA方程組一般解為???????? ?? ? 00271214r ???????27194321xx令 ， ，這里 ， 為任意常數(shù)，得方程組通解13kx?241k2A3．設(shè) ，試求: (1) ；(2) ．（已知),(~NX)95(?XP)7(?P,8413.0)(??）987.07.)2(?解：1 )321()235()?????P1574.0843.97.0?(2 　 　　 )7()?X)()(?XP28.9)2(??2.設(shè) ，試求：(1) ；(2) （已知N~,34?15?）987.0)3(,92.0)(81.0)( ?????.解：(1) PX())???132???PX()(321?(2?08457?.. PXPX)()()57327132??????()...2973093..設(shè) ，求 和 .（其中,3~2NX)(?XP)1(?,691.0)(, ）841.0)(?72,.)5??解：設(shè) ,(2Y?8413.0)(53)(???XP=)20(1???X )5.1().0()5..( ?????YP= 2417.0695.93.)5.). ??4.設(shè) ，試求⑴ ；⑵ ．（已知XN~(,2P()1()8,8413.0)(）87.0)973.0)(??解： 　P(??12???X()(.397?⑵ XP() )585312??????...210972840595．某射手射擊一次命中靶心的概率是 0.8，該射手連續(xù)射擊 5 次，求：（1）命中靶心的概率； （2 ）至少 4 次命中靶心的概率．解：射手連續(xù)射擊 5 次，命中靶心的次數(shù) （1 ）設(shè) ：“命中靶心”，則XB~(,.)8A．　 PAXP())()????010??120396850C..（2）設(shè) ：“至少 4 次命中靶心 ”，則B．　X())()()??4??C54500827328...6．設(shè) 是兩個隨機事件，已知 ， ， ，求：A, .?AP.B4.)(AP（1） ； （2 ） ． )(BP)(?.解（1） = = = （2 )(ABP)(4.05?18)(1BAP???)](([ABP?2.]18.054.[????7．設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為，求： (1) k； (2) E(X )， D(X)．解：（1）因為 1= = = = 3 k， 所以 k = ????xfd)(??2121?x31(2) E(X) = = = ???21d3x214?5E( ) = =2??12D(X) = E( ) - = 2)(80518．設(shè)隨機變量 X ~ N（8 ，4）．求 和 ．( ，)1(??XP)2?6915.0??， )．13.0)(??973.)2(?解：因為 X ~ N（8，4），則 ~ N（0 ，1）． 所以 = =Y)8(??XP)5.02()5.02.(??P= = = =0.383 ． .(.?1)5.0(2?1695.?= = .)12(?X)8?973?9. 設(shè) ，試求⑴ ；⑵ ．（已知4,3~N)5(?XP)(?,8413.0)(??）.0)(97.)(?解：⑴ )321()9235????XP⑵1574.08.97.0??)7()(??)()(??XP‘28.9.012??10.假設(shè) A,B 為兩件事件，己知 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B| )=0.4, 求 P(A+B)A解：P( )=P( )P(B| )=0.5 0.4=0.2．P(AB)=P(B)－P( B)=0.6－0.2=0.4BA?P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.7。????其 它0)(2kxf.11．設(shè)隨機變量 ．（1）求 ；（2 ）若 ，求 k 的值． （已知),4(~NX)4(??XP932.0)(??kXP）．93.058.0,975.)2( ????解：（1） ＝1 －)2??P?= 1－ ＝1 －（ ）4(?)2(= 2（ 1－ ）＝0.045 ． 　　　)（2） )4((???kXPk＝1－ ?＝1－ )5.1(932.0)4(??(???k即　 k－4 = -1.5， k＝2.5 ．　12．罐中有 12 顆圍棋子，其中 8 顆白子，4 顆黑子．若從中任取 3 顆，求：（1）取到 3 顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（2）取到 3 顆棋子顏色相同的概率．解：設(shè) =“取到 3 顆棋子中至少有一顆黑子”， =“取到的都是白子”， =“取到的都是黑1A2A3A子”， B =“取到 3 顆棋子顏色相同”，則（1） )(1)()(21PP??．　　 （2 ）745.0328??C )()(3232PB??．　3.18.5.03124?13．設(shè)隨機變量 X ~ N（3，4 ）．求：（1） P（1 1.96 ，所以拒絕 37.| 0H11．某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為 20.0，現(xiàn)換了新材料，從產(chǎn)品中隨機抽取8 個樣品，測得的長度為（單位：cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5問用新材料做的零件平均長度是否起了變化（ ）．??05.解：由已知條件可求得： 12.0?x671s36529.|8/5.01|/|??nsxT? 62.).,9().,(?tnt?∵ | T | < 2.62 ∴ 接受 H0.即用新材料做的零件平均長度沒有變化。四、證明題（本題 6 分）1．設(shè) 是 階對稱矩陣，試證： 也是對稱矩陣．BA,nBA?證明： 是同階矩陣，由矩陣的運算性質(zhì)可知???)(已知 是對稱矩陣，故有 ，即BA, BA??,?)(由此可知 也是對稱矩陣，證畢．　　?2 設(shè)隨機事件 , 相互獨立，試證： 也相互獨立．ABBA,證明： )(1)()()( PPP????)(BA所以 也相互獨立．證畢． ,3、設(shè) , 為隨機事件，試證： ．AB)()(AB證明：由事件的關(guān)系可知而 ，故由概率的性質(zhì)可知)()(AU????? ??)(PABP)(?即 證畢)(4 設(shè) 是線性無關(guān)的，證明, 也線性無關(guān)．321α3121,,αα??.證明：設(shè)有一組數(shù) ，使得321,k0)()()(3221 ????kk成立，即 ，由已知 線性無關(guān)，故有3221?321,???????0321k該方程組只有零解，得 ，故 是線性無關(guān)的．證畢．0321?k3121,??5．設(shè) n 階矩陣 A 滿足 ，則 A 為可逆矩陣．)(??I.證明： 因為 ，即 　 　　 0)(2????IAII2所以， A 為可逆矩陣 ． 6.．設(shè) , 為隨機事件，試證：BPBPA())(?證明：由事件的關(guān)系可知AUB?????()()而 ，故由概率的性質(zhì)可知()B???PPA()()?7．設(shè) n 階矩陣 A 滿足 ，則 A 為可逆矩陣．0(??I證明： 因為 ，即 ； 所以， A 為可逆矩陣．)2I I28．設(shè)向量組 ，若 線性相關(guān)，證明 線性相,1?m,2? ,1?)(2ms?? ,1?m,2?關(guān)．證明：因為向量組 線性相關(guān)，故存在一組不全為 0 的數(shù) ，使1s,2? sk,21?21??skk???成立．于是存在不全為 0 的數(shù) ，使,,21s? ???? sm?0,0121 ???sskk?????9．若 也 是 正 交 矩 陣是 正 交 矩 陣 ， 試 證 'AA證明：因為 所以有',' 1AI???可 逆 且因 而是 正 交 陣 ， 故I???)'(')(')11即， 是 正 交 陣'10.設(shè) , 是兩個隨機事件，試證：ABPBAPBA()()()??證明：由事件的關(guān)系可知 U???)(.而 ，故由加法公式和乘法公式可知??)(BA證畢．　　 PPABPA()()()??11.設(shè) 是同階對稱矩陣，試證： 也是對稱矩陣,證明：因 證 畢 。故 可 知 是 對 稱 矩 陣 ，BBA???????)()(12．設(shè) 是 n 階矩陣，若 = 0，則 ．321)(AII?證明：因為 ))(2AI??= 32I?= = 3A所以 21)(AII??13．設(shè)向量組 線性無關(guān)，令 ， ， ，證明向量3,?21????32?134????組 線性無關(guān)。321,?證明：設(shè) ，即0321?kk0)4()()( 1332???k因為 線性無關(guān)，所以 )(131???32,???????0423k解得 k1=0, k2=0, k3=0，從而 線性無關(guān)． 321,?14 對任意方陣 ，試證 是對稱矩陣．A??證明： '')'()'( A???是對稱矩陣??15 若 是 階方陣，且 ，試證 或 ．nI?1?證明： 是 階方陣，且?A?2???I或?11?16 若 是正交矩陣，試證 也是正交矩陣．A?A.證明： 是正交矩陣?A????1)()()1????A即 是正交矩陣A1７．試證：任一４維向量 都可由向量組???4321,,a?， ， ，???????01???????2???????013???????4線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式．證明：???????01????????012???????0123????????1034任一４維向量可唯一表示為)()()(1001 342312432432 ??? ????????????????????????? aaaa12)()()(????1⒏試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解．證明：設(shè) 為含 個未知量的線性方程組BAX?n該方程組有解，即 R)(從而 有唯一解當(dāng)且僅當(dāng) A?而相應(yīng)齊次線性方程組 只有零解的充分必要條件是0XnAR?)(有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組 只有零解?BAX? 0X19．設(shè) 是可逆矩陣Ａ的特征值，且 ，試證： 是矩陣 的特征值．?0??11?證明： 是可逆矩陣Ａ的特征值 存在向量 ，使??????A????? ???? 1111 )()()( AAI.???1??A即 是矩陣 的特征值1?20．用配方法將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)43242124321 xxxxf ?????型．解： 424232143242321 )()()( xxxxxxf ????????2)(令 ， ， ，?21xy423xy?23y4yx?即 ???????432yx則將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型　2321yyf???