（福建專版）2019高考數(shù)學一輪復習 6.3 等比數(shù)列及其前n項和課件 文.ppt

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6.3等比數(shù)列及其前n項和,知識梳理,考點自測,1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從起,每一項與它的前一項的比等于常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母q(q≠0)表示.2.等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,則它的通項an=.3.等比中項如果成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項,即G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數(shù)列?.4.等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),其前n項和為Sn,當q=1時,Sn=na1;,第二項,同一個,公比,a1qn-1,a,G,b,G2=ab,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“”.(1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.()(2)G為a,b的等比中項?G2=ab.()(3)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項.()(4)如果{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,那么數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.()(5)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,那么數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列.()(6)若數(shù)列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和為(),,,√,,,,知識梳理,考點自測,2.已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1-3an=0,bn=log3an,則數(shù)列{bn}的通項公式bn=()A.3n+1B.3nC.nD.n-13.已知{an}為等差數(shù)列,公差為1,且a5是a3與a11的等比中項,Sn是{an}的前n項和,則S12的值為()A.21B.42C.63D.54,C,解析:由an+1-3an=0,得an+1=3an,又a1=3,∴數(shù)列{an}是以3為首項,以3為公比的等比數(shù)列,則an=3n,∴bn=log3an=n.故選C.,D,知識梳理,考點自測,4.(2017全國Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞,B,解析:設塔的頂層共有x盞燈,則各層的燈數(shù)構成一個公比為2的等比數(shù)列,由,可得x=3,故選B.,5.(2017北京朝陽二模)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=2,a4=-2,則{an}的通項公式an=.,2(-1)n-1,解析:∵a1=2,a4=-2,則a4=-2=a1q3,∴q3=-1,q=-1,即an=2(-1)n-1.,考點一,考點二,考點三,考點四,等比數(shù)列的基本運算例1(1)設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于(),(2)(2017陜西咸陽二模)在等比數(shù)列{an}中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的兩根,則a5=()A.1B.-1C.1D.3(3)(2017全國Ⅲ)設等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=.,B,A,-8,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,思考解決等比數(shù)列基本運算問題的常見思想方法有哪些?解題心得解決等比數(shù)列有關問題的常見思想方法:(1)方程思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論思想:因為等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當某一參數(shù)為公比進行求和時,就要對參數(shù)是否為1進行分類求和.(3)整體思想:應用等比數(shù)列前n項和公式時,常把qn或當成整體進行求解.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練1(1)(2017山西太原二模,文4)已知公比q≠1的等比數(shù)列{an}前n項和Sn,a1=1,S3=3a3,則S5=(),(2)(2017安徽安慶二模)在等比數(shù)列{an}中,a3-3a2=2,且5a4為12a3和2a5的等差中項,則{an}的公比等于()A.3B.2或3C.2D.6,D,C,考點一,考點二,考點三,考點四,等比數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式;(2)若,求λ.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,思考判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法?解題心得1.證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列常用的方法:,(3)通項公式法,若數(shù)列通項公式可寫成an=cqn-1(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*),則{an}是等比數(shù)列.2.若判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練2(2017吉林市模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=1,anan+1=,記T2n為{an}的前2n項的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*.(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并求出bn;(2)求T2n.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,等比數(shù)列性質(zhì)的應用(多考向)考向1等比數(shù)列項的性質(zhì)的應用,B,A,考點一,考點二,考點三,考點四,思考經(jīng)常用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)簡化解題過程?,考點一,考點二,考點三,考點四,考向2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應用例4(1)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()A.31B.32C.63D.64(2)在公比為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=8,則S8等于()A.21B.42C.135D.170,C,D,考點一,考點二,考點三,考點四,解析:(1)∵S2=3,S4=15,∴由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),得S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C.(2)解法一:S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.,考點一,考點二,考點三,考點四,思考本題應用什么性質(zhì)求解比較簡便?解題心得1.在解答等比數(shù)列的有關問題時,為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列項的如下性質(zhì):(1)通項公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項的推廣與變形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對已知條件為等比數(shù)列的前幾項和,求其前多少項和的問題,應用公比不為-1的等比數(shù)列前n項和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列比較簡便.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練3(1)(2017廣東廣州綜合測試)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,若a4+a6=10,則a7(a1+2a3)+a3a9=()A.10B.20C.100D.200(2)(2017江西宜春二模)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4=10,S12=130,則S8=()A.-30B.40C.40或-30D.40或-50,C,B,=(a4+a6)2=102=100.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì),知S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,則(S8-10)2=10(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,故S8=40.,考點一,考點二,考點三,考點四,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題例5(2017全國Ⅱ,文17)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式;(2)若T3=21,求S3.,解設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②,因此{bn}的通項公式為bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.當q=-5時,由①得d=8,則S3=21.當q=4時,由①得d=-1,則S3=-6.,考點一,考點二,考點三,考點四,思考解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的?解題心得等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運用方程、函數(shù)、轉化等數(shù)學思想方法,合理調(diào)用相關知識,就不難解決這類問題.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練4(2017湖南邵陽一模,文17)在等差數(shù)列{an}中,a2=1,a5=4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)設,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.,解(1)由題意知,a5-a2=3d=3,∴d=1,∴an=n-1(n∈N*).(2)由(1)得bn=2n-1,∴數(shù)列{bn}是以1為首項,公比為2的等比數(shù)列,,考點一,考點二,考點三,考點四,1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.2.判定等比數(shù)列的方法(1)定義法:(q是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列.(2)通項公式法:an=cqn-1(c,q均是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列.(3)等比中項法:=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列.3.求解等比數(shù)列問題常用的數(shù)學思想(1)方程思想:如求等比數(shù)列中的基本量;(2)分類討論思想:如求和時要分q=1和q≠1兩種情況討論,判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論.,考點一,考點二,考點三,考點四,1.在等比數(shù)列中,易忽視每一項與公比都不為0.2.在求等比數(shù)列的前n項和時,易忽略q=1這一特殊情形.,