大一《高等數(shù)學(xué)》期末考試題(精編匯總題)

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一、單項選擇題 (本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1. (0)sin(co) 　　　　 ???xxf .（A） (02? （B） (01f?（C） )f? （D） (fx不可導(dǎo).2. 　　　　　 13)1) ??????.（A） (x與 是同階無窮小，但不是等價無窮??； （B）)?與是等價無窮小；（C） 是比 ()高階的無窮小； （D） ()x?是比 ()?高階的無窮小. 3. 若 ()02xFtftd???，其中 ()fx在區(qū)間上 (1,)?二階可導(dǎo)且??f，則（ ）.（A）函數(shù) 必在 處取得極大值；（B）函數(shù) ()x必在 處取得極小值；（C）函數(shù) 在 0?處沒有極值，但點 (0,)F為曲線 ()yFx?的拐點；（D）函數(shù) ()F在 處沒有極值，點 ,也不是曲線 的拐點。4. )() ,)(2)( 10????xfdtfxfxf 　　?。ˋ）2（B）2x?（C） ? （D） .二、填空題（本大題有 4小題，每小題 4分，共 16分）5. ???xxsin20)31(lim.6. ,(co　　　f ???xfdcos)(　.7. li(scoscs???2221?n nn???.8.???2121ari　 dxx.三、解答題（本大題有 5小題，每小題 8分，共 40分）9. 設(shè)函數(shù) ()y由方程 sin()1xye??確定，求 ?()yx以及 ?(0)y.10..d17x??　11.??????????1 32 )(0)( dxfxefx12. 設(shè)函數(shù) )(xf連續(xù)，??10()()gxftd，且 ??0()limxfA， 為常數(shù). 求 ?g并討論 ?在 處的連續(xù)性.13. 求微分方程 2lnyx??滿足?1()9y的解.四、 解答題（本大題 10分）14.已知上半平面內(nèi)一曲線 )0()??y，過點 (,)1，且曲線上任一點Mxy(,)0處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、 y軸、直線 x?0所圍成面積的 2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題 10分）15.過坐標原點作曲線 xyln的切線，該切線與曲線 ln及 x 軸圍成平面圖形 D.(1) 求 D的面積 A；(2) 求 D繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.六、證明題（本大題有 2小題，每小題 4分，共 8分）16.設(shè)函數(shù) )(xf在 ??0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的 [,]?01q，00()???qdqfdx.17.設(shè)函數(shù) )(xf在 ???,上連續(xù)，且0)(0???xdf，cos0???d.證明：在 ??,內(nèi)至少存在兩個不同的點 21,?，使 .0)()(21?ff（提示：設(shè) ??xdfF0)()(）一、單項選擇題(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題（本大題有 4小題，每小題 4分，共 16分）5. 6e . 6. cx?2)os(1　.7. ?. 8. 3?.三、解答題（本大題有 5小題，每小題 8分，共 40分）9. 解：方程兩邊求導(dǎo)(1)cos())0xyy????xe????0,， ()1?10.解： 76uxdu?　1()12()d??????　ln|2l||)7c71||1|xxC??11.解：012330()fdexd??????010()x?23cossin)e????????????　3214?12.解：由 (0)f，知 (0)g?。???100()()xtufdgxfd(0)x?02()()x??020()()A()limli2xxxfudfg??????0200()li()lixxfu?? ???， ?()gx在 ?0處連續(xù)。13.解： ndy??2(l)xdexC????21l39?(),0yC?，1ln39y?四、 解答題（本大題 10分）14.解：由已知且 02dx???， 將此方程關(guān)于 求導(dǎo)得 y??特征方程： ??r解出特征根： .2,1??r其通解為 xxeCy21代入初始條件 y()01??，得 31,21?C故所求曲線方程為：xxe32??五、解答題（本大題 10分）15.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點為 )ln,(0，切線方程：)(ln00xxy???由于切線過原點，解出 e，從而切線方程為： xey1?則平面圖形面積 ????1012)(dyAy（2）三角形繞直線 x = e一周所得圓錐體體積記為 V1，則23e??曲線 yln與 x軸及直線 x = e所圍成的圖形繞直線 x = e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為 V2 ???1022)(dy?D繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 )3125(621????eV?六、證明題（本大題有 2小題，每小題 4分，共 12分）16.證明：100()()qfdxfdx??? 100()()()qqqfxfdxf????10(1)qqff??12 12[,][,1] ()()12()(()0q fffq? ??? ??故有： 100()()???qfxdfxd證畢。17.證：構(gòu)造輔助函數(shù)：????xtfFx0,)()(0。其滿足在 ],0[?上連續(xù)，在),0(?上可導(dǎo)。 ?，且 )(?F由題設(shè)，有 ??????? 000 )(sincocoss)( |dxFdxf，有 ???0sin)(xdF，由積分中值定理，存在 ),(???，使 i)(??即?綜上可知 ),0(,)()0( ???????F.在區(qū)間 ],[0??上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在 ,1??和 ,2，使 1?及 2??F，即 0)(21?f. 高等數(shù)學(xué) I 解答一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1. 當 0x?時， ??,x??都是無窮小，則當 0x?時（ D ）不一定是無窮小. (A) ?(B) ??22???(C) ??)(1lnx??(D) )(x2. 極限aax????????sim的值是（ C ）.（A） 1 （B） e （C） aecot （D） aetn3. ?????????01sin)(2xaxfa在 處連續(xù)，則 a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 1?4. 設(shè) )(xf在點 處可導(dǎo)，那么 ???hffh)2()(lim0（ A ）.（A） 3a? （B） 2a?(C) )(f? （D） )(31f二、填空題（本大題有 4小題，每小題 4分，共 16分）5. 極限 )0(ln)l(im0????axx的值是 a.6. 由 ye2cos?確定函數(shù) y(x)，則導(dǎo)函數(shù) ??y xeyyln2si??.7. 直線 過點 M(,)13且與兩平面 zxyz???20356,都平行，則直線 l的方程為 1321???zyx.8. 求函數(shù) 2)4ln(y?的單調(diào)遞增區(qū)間為 （－?，0）和（1，+? ） .三、解答題（本大題有 4小題，每小題 8分，共 32分）9. 計算極限10()limxxe???.解：11ln() 2000() ln(1)liiimxxxxxee????????10.已知： |3a?， |26b， 3ab??，求 ||ab??。解： 13cossin,15cos 2? ???， 72?ba?11.設(shè) )(xf在 [a， b]上連續(xù)，且],[)()(xdtfxFa????，試求出F?。解： ???xaxadtftf)()()(???? xaxa tfffdtf )()(F12.求 3cos.inx解：21sindx????2 21si sincotxdxC? ????四、解答題（本大題有 4小題，每小題 8分，共 32分）13. 求 ??231xd.令 　 t???21322)(1dtt原 式??dt2123?arcsint123?614. 求函數(shù) 21xy?? 的極值與拐點.解：函數(shù)的定義域（－?，+? ）2)(??32)1(4xy????令 0?y得 x 1 = 1, x 2 = -1)??x 1 = 1是極大值點， 0??x 2 = -1是極小值點極大值 (，極小值 )(y令 ?得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = - 3x (-?,- ) (- ,0) (0, ) ( 3,+?)y?－ + － +故拐點（- 3，- 2） ， （0，0） （ 3， 2）15. 求由曲線 4xy?與 2x?所圍成的平面圖形的面積.解 　:, ,x32341???x() ,.? ?6060223　 　 　 　 　Sxdxd?????)()320 34??(43602021616?52716. 設(shè)拋物線 24xy?上有兩點 (,3)A， (,5)B?，在弧 A B上，求一點(,)Px使 AB?的面積最大.解： xyxxABP連 線 方 程 ： 　 　點 到 的 距 離 　的 面 積 ??????1042523513()?　 　 　 Sx() ()?????12422　 　 　 　 當 　 　???xSx)10　 　 　當 時 取 得 極 大 值 也 是 最 大 值?x()01此 時 　 　 所 求 點 為 ，y?33()另 解 ： 由 于 的 底 一 定 故 只 要 高 最 大 而 過 點 的 拋 物 線的 切 線 與 平 行 時 高 可 達 到 最 大 值 問 題 轉(zhuǎn) 為 求 ，使 　 解 得 所 求 點 為?ABCCxfx,,,(),() ,,00200 042531213????????六、證明題（本大題 4分）17. 設(shè) ?，試證 xex?)(2.證明：設(shè) 0),1()???f1()(2??exf， xef2?，0,??f，因此 在（0，+? ）內(nèi)遞減。在（0，+?）內(nèi)， )(,)(fx??? 在（0，+?）內(nèi)遞減，在（0，+?）內(nèi)， ff即 )12???xx亦即當 x>0時， ex??1)(2 。高等數(shù)學(xué) I A一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)18. 函數(shù) ???????????0,sin12ta,)ln()(xxxf?的全體連續(xù)點的集合是 （ ）(A) (-?,+ ) (B) (-?,1) ?(1,+ )(C) (- ,0) ? (0, + ) (D) (- ,0) (0,1) (1,+ )19. 設(shè) 0)1(lim2?????baxx，則常數(shù) a,b的值所組成的數(shù)組（ a,b）為（ ）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1）20. 設(shè)在[0，1]上 )(xf二階可導(dǎo)且 0)(??xf，則（ ）（A） )0()(ff???? (B) )1(0)1(fff ????(C) （D） ?21.,1cosin224dxM?????????243)cos(sin?dxxN???243)cossin(?dxxP則（ ）（A） M 0,故駐點為極小值點。5．設(shè) f (x) = x lnx在 x0處可導(dǎo)，且 f’(x0)=2,則 f (x0)= ?！〗猓?.),)(,1l0 efef ????? 　　　??lim.620??xfx　則 f(x)在 x=0取得　　　 　　?。ㄌ顦O大值或極小值）。解： ?? ??????　　　　 　 0,00 0,,1li 22 ??? ????xfxx fxff?二、 ?????????0,01)(xxf　是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？并求 f(x)的導(dǎo)函數(shù)。解：當 x>0及 x0F(1)=f(1)-1=0-12)，并求 ??nlim。證：????211150251)1,0()(012 .)(,1)0( ]1,0[00 0211121 ?????? ??????? ?????? xxnx xxxxfxnxf fnffn nn nnn 解 出取 極 限兩 邊由 方 程 有 有 極 限 ， 設(shè) 極 限 為故 由 極 限 存 在 準 則 知 其因 此是 單 調(diào) 下 降 數(shù) 列 ， 而知由 上 有 唯 一 實 根 。單 調(diào) 增 加 ， 故 在知 函 數(shù)又 使點 定 理 知 至 少 有 一 點由 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 零 知 函 數(shù) 在 端 點 異 號 。由 上 連 續(xù) 。其 在設(shè) ??? ? ?七． 七． （10 分）確定常數(shù) a、 b,使極限40cos21limxbax??存在，并求出其值。解：要使極限存在，分子與分母應(yīng)是極限過程中的同階無窮小或高階無窮小，于是有 1＋ a+b=0，用一次羅必達法則分子仍為無窮小，有 a+4b=0解出： a=-4/3 b=1/3 代入求得極限為 8/3八． 八． （10 分）設(shè) f (x)在[ a,b]上連續(xù)，在( a,b)內(nèi)可微，且 f (a) = f (b) =0,證明：對 ????cffcR???????， 使 得, 。證明：構(gòu)造函數(shù) F(x)= e-?x f (x) 則 F(x)在[ a,b]上連續(xù)，在( a,b)內(nèi)可微 F (a) = F (b) =0由羅爾定理????????xfefecbcR ??? ?????????而， 使 得 ,0,,即有 cffa， 使 得 證畢。