高中數(shù)學 2.1.1橢圓及其標準方程課件 北師大版選修1-1.ppt

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成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大 版· 選修1-1,圓錐曲線與方程,第二章,§1 橢圓 1.1 橢圓及其標準方程,第二章,1.了解橢圓的實際背景，經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程和橢圓標準方程的推導與化簡過程． 2．掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形，會用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程.,1.我們已知平面內到兩定點距離相等的點的軌跡為______________________________．也曾討論過到兩定點距離之比為某個常數(shù)的點的軌跡的情形．那么平面內到兩定點距離的和(或差)等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？ 2．平面內與兩個定點F1、F2的距離的_____等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫作橢圓．這兩個定點叫作橢圓的_____，________間的距離叫作橢圓的焦距．當常數(shù)等于|F1F2|時軌跡為__________，當常數(shù)小于|F1F2|時，軌跡________.,橢圓的定義,連結這兩點的線段的垂直平分線,和,焦點,兩焦點,線段|F1F2|,不存在,橢圓的標準方程,1.如何建立坐標系才能使橢圓的方程比較簡單． 求橢圓的方程，首先要建立直角坐標系，由于曲線上同一個點在不同的坐標系中的坐標不同，曲線的方程也不同，為了使方程簡單，必須注意坐標系的選擇．一般情況下，應使已知點的坐標和直線(或曲線)的方程盡可能簡單，在求橢圓的標準方程時，選擇x軸經過兩個定點F1、F2，并且使坐標原點為線段F1F2的中點，這樣兩個定點的坐標比較簡單，便于推導方程．,2．在推導橢圓方程時，為何要設|F1F2|＝2c，常數(shù)為2a？為何令a2－c2＝b2， 在求方程時，設橢圓的焦距為2c(c0)，橢圓上任意一點到兩個焦點的距離的和為2a(a0)，這是為了使推導出的橢圓的方程形式簡單．令a2－c2＝b2是為了使方程的形式整齊而便于記憶． 3．推導橢圓方程時，需化簡無理式，應注意什么？ (1)方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移到另一側；(2)方程中有兩個根式時，需將它們放在方程的兩側，并使其中一側只有一個根式，然后兩邊平方．,1.已知F1、F2是兩點，|F1F2|＝8， (1)動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝10，則點M的軌跡是________ ____． (2)動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則點M的軌跡是_______． [答案] 以F1、F2為焦點，焦距為8的橢圓 線段F1F2,[答案] B [解析] ∵169144，∴焦點在y軸上， 又∵c2＝a2－b2＝169－144＝25， ∴c＝5，∴焦點坐標為(0，±5)．,3．(2014·山西曲沃中學期中)對于常數(shù)m、n，“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案] B [解析] 本題考查了充分必要條件及橢圓的標準方程的形式，由mn0，若m＝n0，則方程 mx2＋ny2＝1表示圓，故mn0?/方程mx2＋ny2＝1表示橢圓，若mx2＋ny2＝1表示橢圓?mn0，故mn0是方程表示橢圓的必要不充分條件．,[分析] 根據題意，先判斷橢圓的焦點位置，再設出橢圓的標準方程，從而確定a、b的值．,待定系數(shù)法求橢圓的標準方程,橢圓的標準方程,橢圓的焦點三角形,,[方法規(guī)律總結] 1.橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1、F2構成的三角形稱為焦點三角形，解關于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識．對于求焦點三角形的面積，結合橢圓定義，建立關于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)的長度；有時把|PF1|·|PF2|看成一個整體，運用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨求出，這樣可以減少運算量． 2．焦點三角形的周長等于2a＋2c.,橢圓定義的應用,已知B、C是兩個定點，|BC|＝8，且△ABC的周長等于18，求這個三角形的頂點A的軌跡方程． [分析] 由△ABC的周長等于18，|BC|＝8，可知點A到B、C兩個定點的距離之和是10，所以點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，但點A與點B、C不能在同一直線上．適當建立平面直角坐標系，可以求出這個橢圓的標準方程．,[方法規(guī)律總結] 本題用到了定義法求動點的軌跡方程． 利用橢圓的定義求動點的軌跡方程，應先根據動點具有的條件，驗證是否符合橢圓的定義，即動點到兩定點距離之和是否是一常數(shù)，且該常數(shù)(定值)大于兩點的距離，若符合，則動點的軌跡為橢圓，然后確定橢圓的方程．,考慮問題要全面,[辨析] 錯解1只注意了焦點在y軸上，而沒有考慮到m20且(m－1)20，這是經常出現(xiàn)的一種錯誤，一定要避免． 錯解2中，由a2＝(m－1)2及b2＝m2，應得a＝|m－1|及b＝|m|，m－1與m不一定是正值，上述解法誤認為m－1與m是正值而導致錯誤．,,[解析] 上述解答過程有錯誤． 橢圓的焦點在哪個坐標軸上主要看標準方程中x2和y2項分母的大小，如果x2項的分母大于y2項的分母，則橢圓的焦點在x軸上；反之，焦點在y軸上．由于本題中x2和y2項分母的大小不確定，因此需要進行分類討論． 正確解答為：∵2c＝6，∴c＝3. (1)當橢圓的焦點在x軸上時，由橢圓的標準方程知a2＝25，b2＝m2， ∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16， 又∵m0，故m＝4.,