海淀區(qū)2018年高三年級理科數(shù)學(xué)二模試題及其答案.docx

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海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué)（理科） 2018.5 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． （1）已知全集 集合，則= （A） （B） （C） （D） （2）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，則 （A）是實數(shù) （B）是純虛數(shù) （C）是實數(shù) （D）是純虛數(shù) （3）已知，則 （A） （B） （C） （D） （4）若直線是圓的一條對稱軸，則的值為 （A） （B） （C） （D） （5）設(shè)曲線是雙曲線，則“的方程為”是“的漸近線方程為”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （6）關(guān)于函數(shù)，下列說法錯誤的是 （A）是奇函數(shù) （B）不是的極值點 （C）在上有且僅有個零點 （D）的值域是  （7） 已知某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是 （A）求首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前2017項的和 （B）求首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前2018項的和 （C）求首項為1，公比為4的等比數(shù)列的前1009項的和 （D）求首項為1，公比為4的等比數(shù)列的前1010項的和 （8）已知集合，集合滿足 ① 每個集合都恰有個元素 ② ． 集合中元素的最大值與最小值之和稱為集合的特征數(shù)，記為（），則的值不可能為（ ）． （A） （B） （C） （D） 第二部分 （非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）極坐標系中，點到直線的距離為________. （10）在的二項展開式中，的系數(shù)為 . （11）已知平面向量，的夾角為，且滿足，，則 ， . （12）在中，，則 . （13）能夠使得命題“曲線上存在四個點，，，滿足四邊形是正方形”為真命題的一個實數(shù)的值為 . （14）如圖，棱長為2的正方體中，是棱的中點，點在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為_________.  三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． （15）（本小題13分） 如圖，已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象經(jīng)過，，三點． （Ⅰ）寫出，，的值； （Ⅱ）若，且，求的值． 16. （本小題共13分） 某中學(xué)為了解高二年級中華傳統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的整體情況，從高二年級隨機抽取10名學(xué)生進行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作為該名學(xué)生的考核成績．記錄的數(shù)據(jù)如下： 1號 2號 3號 4號 5號 6號 7號 8號 9號 10號 第一輪測試成績 96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 第二輪測試成績 90 90 90 88 88 87 96 92 89 92 (Ⅰ)從該校高二年級隨機選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生考核成績大于等于90分的概率； (Ⅱ)從考核成績大于等于90分的學(xué)生中再隨機抽取兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)兩輪測試成績均大于等于90分的概率； (Ⅲ)記抽取的10名學(xué)生第一輪測試成績的平均數(shù)和方差分別為，，考核成績的平均數(shù)和方差分別為，，試比較與，與的大小. （只需寫出結(jié)論） 17. （本小題共14分） 如圖，在三棱柱中，，⊥平面，，，分別是，的中點． （Ⅰ）證明： （Ⅱ）證明：平面； （Ⅲ）求與平面所成角的正弦值.  18. （本小題共14分） 已知橢圓：，為右焦點，圓：，為橢圓上一點，且位于第一象限，過點作與圓相切于點，使得點，在兩側(cè). （Ⅰ）求橢圓的焦距及離心率; （Ⅱ）求四邊形面積的最大值. 19. （本小題共13分） 已知函數(shù)（） （Ⅰ）求的極值； （Ⅱ）當(dāng)時，設(shè).求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線. 20. （本小題共13分） 如果數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)P”.已知數(shù)列是無窮項的等差數(shù)列，公差為. （Ⅰ）若，公差，判斷數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說明理由； （Ⅱ）若數(shù)列具有“性質(zhì)P”，求證：且； （Ⅲ）若數(shù)列具有“性質(zhì)P”，且存在正整數(shù)，使得，這樣的數(shù)列共有多少個？并說明理由 海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)參考答案及評分標準 數(shù) 學(xué)（理科） 2018.5 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A C C A 第二部分 （非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． （9）1 （10）10 （11）1； （12） （13）答案不唯一，或的任意實數(shù) （14） 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． （15）（本小題13分） 解：（Ⅰ），，． 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，． 因為，所以． 8分 因為 ，所以． 9分 所以， 11分 所以， 12分 所以． 13分 16. （本小題共13分） 解：（Ⅰ）這10名學(xué)生的考核成績（單位：分）分別為： 93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91． 其中大于等于90分的有1號、5號、7號、8號、9號、10號，共6人. 1分 所以樣本中學(xué)生考核成績大于等于90分的頻率為： ， 3分 從該校高二年級隨機選取一名學(xué)生，估計這名學(xué)生考核成績大于等于90分的概率為0.6. 4分 （Ⅱ）設(shè)事件：從上述考核成績大于等于90分的學(xué)生中再隨機抽取兩名同學(xué)，這兩名同學(xué)兩輪測試成績均大于等于90分. 5分 由（Ⅰ）知，上述考核成績大于等于90分的學(xué)生共6人，其中兩輪測試成績均大于等于90分的學(xué)生有1號，8號，10號，共3人. 6分 所以，. 9分 （Ⅲ），. 13分 17. （本小題共14分） 解：（Ⅰ）因為⊥平面，平面， 所以． 1分 因為，，，平面， 所以平面． 3分 因為平面， 所以． 4分 （Ⅱ）法一：取的中點，連接、． 因為、分別是、的中點， A C 1 A 1 C B 1 B D E M 所以ME∥，且ME． 5分 在三棱柱中，，且， 所以ME∥AD，且ME=AD， 所以四邊形ADEM是平行四邊形， 6分 所以DE∥AM． 7分 又平面，平面， A C 1 A 1 C B 1 B D E M 所以平面． 9分 注：與此法類似，還可取AB的中點M，連接MD、MB1． 法二：取AB的中點，連接、． 因為D、分別是AC、AB的中點， 所以MD∥BC，且MDBC． 5分 在三棱柱中，，且， 所以MD∥B1E，且MD=B1E， 所以四邊形B1E DM是平行四邊形， 6分 所以DE∥MB1． 7分 又平面，平面， 所以平面． 9分 法三：取的中點，連接、． 因為、分別是、的中點， 所以，． 5分 在三棱柱中，，， A C 1 A 1 C B 1 B D E M 因為、分別是和的中點， 所以，，， 所以，四邊形是平行四邊形， 6分 所以，． 7分 又因為，， ,平面MDE，BB1,平面， 所以，平面平面． 8分 因為，平面， 所以，平面． 9分 （Ⅲ）在三棱柱中，， 因為，所以． 在平面內(nèi)，過點作， 因為，平面， 所以，平面． 10分 建立空間直角坐標系C-xyz，如圖．則 ,,,,,. ，，． 11分 設(shè)平面的法向量為，則 ，即， 得，令，得，故． 12分 設(shè)直線DE與平面所成的角為θ， 則sinθ＝， 所以直線與平面所成角的正弦值為. 14分 18. （本小題共14分） 解：（Ⅰ）在橢圓：中，，， 所以， 2分 故橢圓的焦距為， 3分 離心率． 5分 （Ⅱ）法一：設(shè)（，）， 則，故． 6分 所以， 所以， 8分 ． 9分 又，，故． 10分 因此 11分 ． 由，得，即， 所以， 13分 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立. 14分 （Ⅱ）法二：設(shè)（）， 6分 則， 所以， 8分 ． 9分 又，，故． 10分 因此 11分 ， 13分 當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時等號成立． 14分 19. （本小題共13分） 解：（Ⅰ）法一：， 1分 令，得． 2分 ①當(dāng)時，與符號相同， 當(dāng)變化時，，的變化情況如下表： ↘ 極小 ↗ 4分 ②當(dāng)時，與符號相反， 當(dāng)變化時，，的變化情況如下表： ↘ 極小 ↗ 6分 綜上，在處取得極小值. 7分 法二：， 1分 令，得． 2分 令，則， 3分 易知，故是上的增函數(shù)， 即是上的增函數(shù)． 4分 所以，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表： ↘ 極小 ↗ 6分 因此，在處取得極小值. 7分 （Ⅱ）， 8分 故． 9分 注意到，，， 所以，，，使得． 因此，曲線在點，處的切線斜率均為. 11分 下面，只需證明曲線在點，處的切線不重合. 法一：曲線在點（）處的切線方程為，即．假設(shè)曲線在點（）處的切線重合，則． 12分 法二：假設(shè)曲線在點(，)處的切線重合，則，整理得：． 12分 法一：由，得，則 ． 因為，故由可得． 而，，于是有，矛盾！ 法二：令，則，且. 由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，故． 所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是有，矛盾！ 因此，曲線在點()處的切線不重合． 13分 20. （本小題13分） 解：（Ⅰ）若，公差，則數(shù)列不具有性質(zhì)． 1分 理由如下： 由題知，對于和，假設(shè)存在正整數(shù)k，使得，則有，解得，矛盾！所以對任意的，． 3分 （Ⅱ）若數(shù)列具有“性質(zhì)P”，則 ①假設(shè)，，則對任意的，. 設(shè)，則，矛盾！ 4分 ②假設(shè)，，則存在正整數(shù)，使得 設(shè)，，，…，，，，則，但數(shù)列中僅有項小于等于0，矛盾！ 6分 ③假設(shè)，，則存在正整數(shù)，使得 設(shè)，，，…，，，，則，但數(shù)列中僅有項大于等于0，矛盾！ 8分 綜上，，． （Ⅲ）設(shè)公差為的等差數(shù)列具有“性質(zhì)P”，且存在正整數(shù)，使得． 若，則為常數(shù)數(shù)列，此時恒成立，故對任意的正整數(shù)， ， 這與數(shù)列具有“性質(zhì)P”矛盾，故． 設(shè)是數(shù)列中的任意一項，則，均是數(shù)列中的項，設(shè) ， 則， 因為，所以，即數(shù)列的每一項均是整數(shù)． 由（Ⅱ）知，，，故數(shù)列的每一項均是自然數(shù)，且是正整數(shù)． 由題意知，是數(shù)列中的項，故是數(shù)列中的項，設(shè)，則 ， 即． 因為，，故是的約數(shù)． 所以，,． 當(dāng)時，，得，故 ，共2019種可能； 當(dāng)時，，得，故 ，共1010種可能； 當(dāng)時，，得，故 ，共3種可能； 當(dāng)時，，得，故 ，共2種可能； 當(dāng)時，，得，故 ，共2種可能； 當(dāng)時，，得，故 ，共1種可能； 當(dāng)時，，得，故 ，共1種可能； 當(dāng)時，，得，故 ，共1種可能． 綜上，滿足題意的數(shù)列共有（種）． 經(jīng)檢驗，這些數(shù)列均符合題意． 13分 更多北京各區(qū)一二模試題答案，請上課外100 下載 www.kewai100.com