海淀區(qū)2018年高三年級(jí)理科數(shù)學(xué)二模試題及其答案.docx

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海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué)（理科） 2018.5 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． （1）已知全集 集合，則= （A） （B） （C） （D） （2）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，則 （A）是實(shí)數(shù) （B）是純虛數(shù) （C）是實(shí)數(shù) （D）是純虛數(shù) （3）已知，則 （A） （B） （C） （D） （4）若直線是圓的一條對稱軸，則的值為 （A） （B） （C） （D） （5）設(shè)曲線是雙曲線，則“的方程為”是“的漸近線方程為”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （6）關(guān)于函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是 （A）是奇函數(shù) （B）不是的極值點(diǎn) （C）在上有且僅有個(gè)零點(diǎn) （D）的值域是  （7） 已知某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是 （A）求首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前2017項(xiàng)的和 （B）求首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前2018項(xiàng)的和 （C）求首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列的前1009項(xiàng)的和 （D）求首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列的前1010項(xiàng)的和 （8）已知集合，集合滿足 ① 每個(gè)集合都恰有個(gè)元素 ② ． 集合中元素的最大值與最小值之和稱為集合的特征數(shù)，記為（），則的值不可能為（ ）． （A） （B） （C） （D） 第二部分 （非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為________. （10）在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為 . （11）已知平面向量，的夾角為，且滿足，，則 ， . （12）在中，，則 . （13）能夠使得命題“曲線上存在四個(gè)點(diǎn)，，，滿足四邊形是正方形”為真命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值為 . （14）如圖，棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為_________.  三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． （15）（本小題13分） 如圖，已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)． （Ⅰ）寫出，，的值； （Ⅱ）若，且，求的值． 16. （本小題共13分） 某中學(xué)為了解高二年級(jí)中華傳統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的整體情況，從高二年級(jí)隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作為該名學(xué)生的考核成績．記錄的數(shù)據(jù)如下： 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 4號(hào) 5號(hào) 6號(hào) 7號(hào) 8號(hào) 9號(hào) 10號(hào) 第一輪測試成績 96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 第二輪測試成績 90 90 90 88 88 87 96 92 89 92 (Ⅰ)從該校高二年級(jí)隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生考核成績大于等于90分的概率； (Ⅱ)從考核成績大于等于90分的學(xué)生中再隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)兩輪測試成績均大于等于90分的概率； (Ⅲ)記抽取的10名學(xué)生第一輪測試成績的平均數(shù)和方差分別為，，考核成績的平均數(shù)和方差分別為，，試比較與，與的大小. （只需寫出結(jié)論） 17. （本小題共14分） 如圖，在三棱柱中，，⊥平面，，，分別是，的中點(diǎn)． （Ⅰ）證明： （Ⅱ）證明：平面； （Ⅲ）求與平面所成角的正弦值.  18. （本小題共14分） 已知橢圓：，為右焦點(diǎn)，圓：，為橢圓上一點(diǎn)，且位于第一象限，過點(diǎn)作與圓相切于點(diǎn)，使得點(diǎn)，在兩側(cè). （Ⅰ）求橢圓的焦距及離心率; （Ⅱ）求四邊形面積的最大值. 19. （本小題共13分） 已知函數(shù)（） （Ⅰ）求的極值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè).求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線. 20. （本小題共13分） 如果數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)P”.已知數(shù)列是無窮項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為. （Ⅰ）若，公差，判斷數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說明理由； （Ⅱ）若數(shù)列具有“性質(zhì)P”，求證：且； （Ⅲ）若數(shù)列具有“性質(zhì)P”，且存在正整數(shù)，使得，這樣的數(shù)列共有多少個(gè)？并說明理由 海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 數(shù) 學(xué)（理科） 2018.5 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A C C A 第二部分 （非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． （9）1 （10）10 （11）1； （12） （13）答案不唯一，或的任意實(shí)數(shù) （14） 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． （15）（本小題13分） 解：（Ⅰ），，． 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，． 因?yàn)椋裕?8分 因?yàn)?，所以． 9分 所以， 11分 所以， 12分 所以． 13分 16. （本小題共13分） 解：（Ⅰ）這10名學(xué)生的考核成績（單位：分）分別為： 93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91． 其中大于等于90分的有1號(hào)、5號(hào)、7號(hào)、8號(hào)、9號(hào)、10號(hào)，共6人. 1分 所以樣本中學(xué)生考核成績大于等于90分的頻率為： ， 3分 從該校高二年級(jí)隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生考核成績大于等于90分的概率為0.6. 4分 （Ⅱ）設(shè)事件：從上述考核成績大于等于90分的學(xué)生中再隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，這兩名同學(xué)兩輪測試成績均大于等于90分. 5分 由（Ⅰ）知，上述考核成績大于等于90分的學(xué)生共6人，其中兩輪測試成績均大于等于90分的學(xué)生有1號(hào)，8號(hào)，10號(hào)，共3人. 6分 所以，. 9分 （Ⅲ），. 13分 17. （本小題共14分） 解：（Ⅰ）因?yàn)椤推矫?，平面? 所以． 1分 因?yàn)椋?，，平面? 所以平面． 3分 因?yàn)槠矫妫? 所以． 4分 （Ⅱ）法一：取的中點(diǎn)，連接、． 因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)， A C 1 A 1 C B 1 B D E M 所以ME∥，且ME． 5分 在三棱柱中，，且， 所以ME∥AD，且ME=AD， 所以四邊形ADEM是平行四邊形， 6分 所以DE∥AM． 7分 又平面，平面， A C 1 A 1 C B 1 B D E M 所以平面． 9分 注：與此法類似，還可取AB的中點(diǎn)M，連接MD、MB1． 法二：取AB的中點(diǎn)，連接、． 因?yàn)镈、分別是AC、AB的中點(diǎn)， 所以MD∥BC，且MDBC． 5分 在三棱柱中，，且， 所以MD∥B1E，且MD=B1E， 所以四邊形B1E DM是平行四邊形， 6分 所以DE∥MB1． 7分 又平面，平面， 所以平面． 9分 法三：取的中點(diǎn)，連接、． 因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)， 所以，． 5分 在三棱柱中，，， A C 1 A 1 C B 1 B D E M 因?yàn)?、分別是和的中點(diǎn)， 所以，，， 所以，四邊形是平行四邊形， 6分 所以，． 7分 又因?yàn)椋? ,平面MDE，BB1,平面， 所以，平面平面． 8分 因?yàn)椋矫妫? 所以，平面． 9分 （Ⅲ）在三棱柱中，， 因?yàn)?，所以? 在平面內(nèi)，過點(diǎn)作， 因?yàn)?，平面? 所以，平面． 10分 建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖．則 ,,,,,. ，，． 11分 設(shè)平面的法向量為，則 ，即， 得，令，得，故． 12分 設(shè)直線DE與平面所成的角為θ， 則sinθ＝， 所以直線與平面所成角的正弦值為. 14分 18. （本小題共14分） 解：（Ⅰ）在橢圓：中，，， 所以， 2分 故橢圓的焦距為， 3分 離心率． 5分 （Ⅱ）法一：設(shè)（，）， 則，故． 6分 所以， 所以， 8分 ． 9分 又，，故． 10分 因此 11分 ． 由，得，即， 所以， 13分 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立. 14分 （Ⅱ）法二：設(shè)（）， 6分 則， 所以， 8分 ． 9分 又，，故． 10分 因此 11分 ， 13分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立． 14分 19. （本小題共13分） 解：（Ⅰ）法一：， 1分 令，得． 2分 ①當(dāng)時(shí)，與符號(hào)相同， 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： ↘ 極小 ↗ 4分 ②當(dāng)時(shí)，與符號(hào)相反， 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： ↘ 極小 ↗ 6分 綜上，在處取得極小值. 7分 法二：， 1分 令，得． 2分 令，則， 3分 易知，故是上的增函數(shù)， 即是上的增函數(shù)． 4分 所以，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： ↘ 極小 ↗ 6分 因此，在處取得極小值. 7分 （Ⅱ）， 8分 故． 9分 注意到，，， 所以，，，使得． 因此，曲線在點(diǎn)，處的切線斜率均為. 11分 下面，只需證明曲線在點(diǎn)，處的切線不重合. 法一：曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為，即．假設(shè)曲線在點(diǎn)（）處的切線重合，則． 12分 法二：假設(shè)曲線在點(diǎn)(，)處的切線重合，則，整理得：． 12分 法一：由，得，則 ． 因?yàn)?，故由可得? 而，，于是有，矛盾！ 法二：令，則，且. 由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，故． 所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是有，矛盾！ 因此，曲線在點(diǎn)()處的切線不重合． 13分 20. （本小題13分） 解：（Ⅰ）若，公差，則數(shù)列不具有性質(zhì)． 1分 理由如下： 由題知，對于和，假設(shè)存在正整數(shù)k，使得，則有，解得，矛盾！所以對任意的，． 3分 （Ⅱ）若數(shù)列具有“性質(zhì)P”，則 ①假設(shè)，，則對任意的，. 設(shè)，則，矛盾！ 4分 ②假設(shè)，，則存在正整數(shù)，使得 設(shè)，，，…，，，，則，但數(shù)列中僅有項(xiàng)小于等于0，矛盾！ 6分 ③假設(shè)，，則存在正整數(shù)，使得 設(shè)，，，…，，，，則，但數(shù)列中僅有項(xiàng)大于等于0，矛盾！ 8分 綜上，，． （Ⅲ）設(shè)公差為的等差數(shù)列具有“性質(zhì)P”，且存在正整數(shù)，使得． 若，則為常數(shù)數(shù)列，此時(shí)恒成立，故對任意的正整數(shù)， ， 這與數(shù)列具有“性質(zhì)P”矛盾，故． 設(shè)是數(shù)列中的任意一項(xiàng)，則，均是數(shù)列中的項(xiàng)，設(shè) ， 則， 因?yàn)?，所以，即?shù)列的每一項(xiàng)均是整數(shù)． 由（Ⅱ）知，，，故數(shù)列的每一項(xiàng)均是自然數(shù)，且是正整數(shù)． 由題意知，是數(shù)列中的項(xiàng)，故是數(shù)列中的項(xiàng)，設(shè)，則 ， 即． 因?yàn)椋?，故是的約數(shù)． 所以，,． 當(dāng)時(shí)，，得，故 ，共2019種可能； 當(dāng)時(shí)，，得，故 ，共1010種可能； 當(dāng)時(shí)，，得，故 ，共3種可能； 當(dāng)時(shí)，，得，故 ，共2種可能； 當(dāng)時(shí)，，得，故 ，共2種可能； 當(dāng)時(shí)，，得，故 ，共1種可能； 當(dāng)時(shí)，，得，故 ，共1種可能； 當(dāng)時(shí)，，得，故 ，共1種可能． 綜上，滿足題意的數(shù)列共有（種）． 經(jīng)檢驗(yàn)，這些數(shù)列均符合題意． 13分 更多北京各區(qū)一二模試題答案，請上課外100 下載 www.kewai100.com