工程力學(xué)江科大第20講彎曲應(yīng)力.ppt

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教學(xué)基本要求與教學(xué)重點(diǎn)：【1】了解彎曲切應(yīng)力公式推導(dǎo)思想與各符號(hào)的意義【2】會(huì)用彎曲正應(yīng)力與切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度分析【重點(diǎn)】【3】掌握提高梁強(qiáng)度的主要措施——降低最大彎矩值、提高抗彎截面系數(shù)復(fù)習(xí)：彎曲正應(yīng)力公式彎曲內(nèi)力的微分關(guān)系與切應(yīng)力互等定理9–3彎曲切應(yīng)力,第20講9－3、9－4、9－5,,9–5提高彎曲強(qiáng)度的措施,,9–4梁的彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件,,,靜力關(guān)系,,,實(shí)驗(yàn),,平面假設(shè),單向受力假設(shè),中性層、中性軸,中性軸過(guò)橫截面形心,,,,EIz稱為抗彎剛度(Flexuralrigidity),,復(fù)習(xí)——純彎曲正應(yīng)力公式,純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式:,M為梁橫截面上的彎矩,y為梁橫截面上任意一點(diǎn)到中性軸的距離,Iz為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩,【1】應(yīng)用公式時(shí),一般將M,y以絕對(duì)值代入.根據(jù)梁變形的情況直接判斷?的正負(fù)號(hào).以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力(?為正號(hào)).凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力(?為負(fù)號(hào)).,【2】最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處,則公式改寫(xiě)為,（1）當(dāng)中性軸為對(duì)稱軸時(shí),矩形截面,實(shí)心圓截面,,空心圓截面,,,z,,y,（2）對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面,,當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí),橫截面上既又彎矩又有剪力.梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲(Nonuniformbending),橫力彎曲時(shí),梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力.切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲,橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力,純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立.,一、橫力彎曲(Nonuniformbending),雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異,但進(jìn)一步的分析表明,工程中常用的梁,純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式,可以用于計(jì)算橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力.,等直梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式為,二、公式的應(yīng)用范圍(Theapplicablerangeoftheflexureformula),1、在彈性范圍內(nèi)(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit),3、平面彎曲（Planebending）,4、直梁（Straightbeams）,2、具有切應(yīng)力的梁（Thebeamwiththeshearstress）,三、強(qiáng)度條件（Strengthcondition)：梁內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力,1、數(shù)學(xué)表達(dá)式（Mathematicalformula),2、強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition),(2)設(shè)計(jì)截面,(3)確定許可載荷,(1)強(qiáng)度校核,要求分別不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力(Allowabletensilestress)和許用壓應(yīng)力(Allowablecompressivestress),復(fù)習(xí)彎曲內(nèi)力的微分關(guān)系與切應(yīng)力互等定理,【1】彎曲內(nèi)力的微分關(guān)系——彎矩的導(dǎo)數(shù)等于剪力公式下面要用?！?】切應(yīng)力互等定理,,一、梁橫截面上的切應(yīng)力,1、矩形截面梁,9–3/9–4彎曲切應(yīng)力—梁的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件,(1)兩個(gè)假設(shè),橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行（切應(yīng)力與剪力平行）(b)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布(即距中性軸等距離處切應(yīng)力相等),,思考：合理性？,直接對(duì)應(yīng)力分布進(jìn)行假設(shè),切應(yīng)力平行側(cè)邊,切應(yīng)力沿寬度方向均布,(1)兩個(gè)假設(shè),假設(shè),(2)分析方法,(a)用橫截面m-m,n-n從梁中截取dx一段.兩橫截面上的彎矩不等.所以兩截面同一y處的正應(yīng)力也不等.,(b)假想地從梁段上截出體積元素mB1，在兩端面mA1,nB1上兩個(gè)法向內(nèi)力不等.,(c)在縱截面上必有沿x方向的切向內(nèi)力dFs’.故在此面上就有切應(yīng)力τ’，由切應(yīng)力互等定理τ’＝τ（τ為橫截面上的切應(yīng)力），,根據(jù)假設(shè)橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處切應(yīng)力大小相等，各點(diǎn)的切應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?，取分離體的平衡即可求出.,(3)公式推導(dǎo),假設(shè)m-m,n-n上的彎矩為M和M+dM.兩截面上距中性軸為y1處的正應(yīng)力為?1和?2.,,m,n,n,(3)公式推導(dǎo),假設(shè)m-m,n-n上的彎矩為M和M+dM.兩截面上距中性軸為y1處的正應(yīng)力為?1和?2.,,A*為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積,化簡(jiǎn)后得,由平衡方程,(4)切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律(Theshear-stressdistributionontherectangularcrosssection),?沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定,,（4）矩形截面上的彎曲切應(yīng)力分布——拋物線分布,可見(jiàn),切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.,y=h/2(即在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處)τ=0,y=0(即在中性軸上各點(diǎn)處),切應(yīng)力達(dá)到最大值,式中,A=bh,為矩形截面的面積.,附：截面靜矩的計(jì)算方法,,,A為截面面積,為截面的形心坐標(biāo),2、工字形截面梁（工-sectionbeam),假設(shè)求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離為y.,研究方法與矩形截面同,切應(yīng)力的計(jì)算公式亦為,d——腹板的厚度【切應(yīng)力當(dāng)?shù)貙挾取?——距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A*對(duì)中性軸的靜矩.,(a)腹板上的切應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化.,(b)最大切應(yīng)力也在中性軸上.這也是整個(gè)橫截面上的最大切應(yīng)力.,假設(shè),(a)沿寬度kk’上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于o’點(diǎn).,(b)各點(diǎn)處切應(yīng)力沿y方向的分量沿寬度相等.,在截面邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力的方向與圓周相切.,3、圓截面梁(Beamofcircularcrosssection),最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上,4、圓環(huán)形截面梁(Circularpipebeam),圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁.環(huán)壁厚度為?,環(huán)的平均半徑為r0,由于?r0故可假設(shè),(a)橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無(wú)變化.,(b)切應(yīng)力的方向與圓周相切.,式中A=2?r0?為環(huán)形截面的面積,橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生中性軸上,其值為,,,,,,,,,z,,y,r0,δ,二、強(qiáng)度條件（Strengthcondition）,三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況,（1）梁的跨度較短,M較小,而FS較大時(shí),要校核切應(yīng)力.,（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí),要校核切應(yīng)力.,（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差,要校核切應(yīng)力.,,,,,,,,,,,,思考題,下述薄壁梁上指定截面處的彎曲切應(yīng)力如何計(jì)算？如何分布？,,,,,,,,,,,,,例題4某空心矩形截面梁，分別按圖a及圖b兩種方式由四塊木板膠合而成。試求在橫力彎曲時(shí)每一膠合方式下膠合縫上的切應(yīng)力。梁的橫截面上剪力FS已知。,解：圖a所示膠合方式下，由圖可知：,,圖b所示膠合方式下，由圖可知：,,,例題5一簡(jiǎn)易起重設(shè)備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F=30kN.跨長(zhǎng)l=5m.吊車大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應(yīng)力[?]=170MPa,許用彎曲切應(yīng)力[?]=100MPa，試校核梁的強(qiáng)度.,,解：此吊車梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁,力P在梁中間位置時(shí)有最大正應(yīng)力.,(a)正應(yīng)力強(qiáng)度校核,由型鋼表查得20a工字鋼的,所以梁的最大正應(yīng)力為,(b)切應(yīng)力強(qiáng)度校核,在計(jì)算最大切應(yīng)力時(shí),應(yīng)取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示,因?yàn)榇藭r(shí)該支座的支反力最大,而梁的最大切應(yīng)力也就最大.,據(jù)此校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度,以上兩方面的強(qiáng)度條件都滿足,所以此梁是安全的.,解(1)計(jì)算支反力做內(nèi)力圖.,例題6簡(jiǎn)支梁AB如圖所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的載荷為q＝10kN/m,F＝200kN.材料的許用應(yīng)力為[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,試選擇工字鋼型號(hào).,(2)根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號(hào),查型鋼表,選用22a工字鋼,其Wz＝309cm3,（3）校核梁的切應(yīng)力,腹板厚度d=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN,查表得,τmax超過(guò)[τ]很多，應(yīng)重新選擇更大的界面.現(xiàn)已25b工字鋼進(jìn)行試算,所以應(yīng)選用型號(hào)為25b的工字鋼.,9–5提高梁強(qiáng)度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams),一、降低梁的最大彎矩值,1、合理地布置梁的荷載,按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí),主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,2、合理地設(shè)置支座位置,當(dāng)兩端支座分別向跨中移動(dòng)a=0.207l時(shí),,思考：比較a＝0、a＝0.2L、a＝0.207L時(shí)，最大彎矩值。,二、梁的合理截面,(1)盡可能使橫截面上的面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，以使抗彎截面系數(shù)Wz增大。,由四根100mm80mm10mm不等邊角鋼按四種不同方式焊成的梁(角鋼的長(zhǎng)肢均平放，故四種截面的高度均為160mm)，他們?cè)谪Q直平面內(nèi)彎曲時(shí)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz如下：,圖a所示截面,圖b所示截面,圖c所示截面,圖d所示截面,,合理選擇截面形狀,在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面,,,工字形截面與框形截面類似.,（2）合理的放置,2、對(duì)于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面且將翼緣置于受拉側(cè).,（3）根據(jù)材料特性選擇截面形狀,1、對(duì)于塑性材料制成的梁,選以中性軸為對(duì)稱軸的橫截面,要使y1/y2接近下列關(guān)系:最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)接近許用應(yīng)力,三、等強(qiáng)度梁的概念,梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等,并均達(dá)到材料的許用應(yīng)力,則稱為等強(qiáng)度梁.,梁任一橫截面上最大正應(yīng)力為,求得,,,思考等強(qiáng)度梁的寬度b(x)＝？又bmin=?為什么？,求得,求得,梁任一橫截面上最大正應(yīng)力為,求得,但靠近支座處，應(yīng)按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面的最小高度,求得,,,F,l/2,l/2,按上確定的梁的外形,就是廠房建筑中常用的魚(yú)腹梁.汽車的疊板彈簧接近等強(qiáng)度梁。,,,等強(qiáng)度梁的概念,思考題對(duì)于圖中的吊車大梁,現(xiàn)因移動(dòng)荷載F增加為50kN,故在20a號(hào)工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm?10mm而長(zhǎng)度2.2mm的鋼板加強(qiáng)加強(qiáng)段的橫截面尺寸如圖所示.已知許用彎曲正應(yīng)力[?]=152MPa,許用切應(yīng)力[?]=95MPa.試校核此梁的強(qiáng)度.,解加強(qiáng)后的梁是階梯狀變截面梁.所以要校核,(3)F移至未加強(qiáng)的梁段在截面變化處的正應(yīng)力,(2)F靠近支座時(shí)支座截面上的切應(yīng)力,(1)F位于跨中時(shí)跨中截面上的彎曲正應(yīng)力,(1)校核F位于跨中時(shí)截面時(shí)的彎曲正應(yīng)力,查表得20a工字鋼,F,最大彎矩值為,跨中截面對(duì)中性軸的慣性矩為,略去了加強(qiáng)板對(duì)其自身形心軸的慣性矩.,抗彎截面系數(shù),(2)校核突變截面處的正應(yīng)力,也就是校核未加強(qiáng)段的正應(yīng)力強(qiáng)度.,該截面上的彎矩為最大,從型鋼表中查得20a工字鋼,(3)校核階梯梁的切應(yīng)力,F靠近任一支座時(shí),支座截面為不利荷載位置,請(qǐng)同學(xué)們自行完成計(jì)算.,,