高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用單元測(cè)試 北師大版選修2-21

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第三章　導(dǎo)數(shù)應(yīng)用單元檢測(cè) (時(shí)間：45分鐘，滿分：100分) 一、選擇題(每題5分，共40分) 1．已知函數(shù)y＝2x3－6x2－18x＋7，則下列結(jié)論正確的是(　　)． A．在x＝－1處取得極大值17，在x＝3處取得極小值－47 B．在x＝－1處取得極小值17，在x＝3處取得極大值－47 C．在x＝－1處取得極小值－17，在x＝3處取得極大值47 D．以上答案都不對(duì) 2．對(duì)于在R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－a)f′(x)≥0，則必有(　　)． A．f(x)＞f(a) B．f(x)＜f(a) C．f(x)≥f(a) D．f(x)≤f(a) 3．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓柱體的高為(　　)． A． B． C． D． 4．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(0)＞0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥0，則的最小值為(　　)． A．3 B． C． D．2 5．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝處有極值，則ac＋2b的值為(　　)． A．3 B．－3 C．0 D．1 6．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則f(x)的極值為(　　)． A．極大值為，極小值為0 B．極大值為0，極小值為 C．極小值為，極大值為0 D．極小值為0，極大值為 7．已知函數(shù)y＝x3－3x，則它的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)． A．(－∞，0) B．(－1,1) C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞) 8．M，m分別是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若m＝M，則f′(x)(　　)． A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不確定 二、填空題(每題5分，共15分) 9．若f(x)＝x3－3x2＋6x－2，則f(x)，x∈[－1,1]的最大值為_(kāi)_________，最小值為_(kāi)_________． 10．函數(shù)y＝x3＋x2－5x－5的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________． 11．若 x＝2是函數(shù)f(x)＝x(x－m)2的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極大值為_(kāi)_________． 三、解答題(每題15分，共45分) 12．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則高為多少？ 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)討論f(x)的極值． 14．(2012重慶高考，理16)設(shè)f(x)＝aln x＋＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 參考答案 1. 答案：A　解析：y′＝6x2－12x－18，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝3，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性和極值的變化如下： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極大值f(－1)＝17， 當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得極小值f(3)＝－47. 2. 答案：B　解析：由(x－a)f′(x)≥0知，當(dāng)x＞a時(shí)f′(x)≥0，當(dāng)x＜a時(shí)f′(x)≤0. ∴當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，則f(x)≥f(a)． 3. 答案：A　解析：設(shè)圓柱高為2h，則底面半徑為，圓柱的體積為 V＝π(R2－h(huán)2)2h＝2πR2h－2πh3. 令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0， ∴h＝， 即當(dāng)2h＝時(shí)，圓柱體的體積最大． 4. 答案：D　解析：f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0.對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥0，得a＞0，b2－4ac≤0， ∴b2≤4ac， ∴c＞0， ∴＋1≥＋1≥1＋1＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，取“＝”)． 5. 答案：B　解析：∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，＝0， ∴3＋2b＋ac＝0， ∴ac＋2b＝－3. 6. 答案：A　解析：f′(x)＝3x2－2px－q，f′(1)＝3－2p－q＝0， ∴2p＋q＝3.① ∵函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(1,0)， ∴1－p－q＝0，即p＋q＝1.② 由①②得p＝2，q＝－1，即f(x)＝x3－2x2＋x. ∴f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)． 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝. 當(dāng)x＜時(shí)，f′(x)＞0， 當(dāng)＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0， 當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0， 故f(x)在x＝處取得極大值，在x＝1處取得極小值0. 7. 答案：D　解析：y′＝3x2－3，令y′＞0， ∴3x2－3＞0， ∴x＜－1或x＞1， ∴y＝x3－3x的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)． 8. 答案：A　解析：∵M(jìn)，m分別是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值且M＝m， ∴函數(shù)f(x)在[a，b]上是常量函數(shù)，即f(x)＝M＝m， ∴f′(x)＝0. 9. 答案：2?。?2　解析：∵f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3[(x－1)2＋1]＞0， ∴函數(shù)f(x)在[－1,1]上是增加的， ∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－12. 10. 答案：　解析：令y′＝3x2＋2x－5＜0，得＜x＜1. 11. 答案：32　解析：f(x)＝x3－2mx2＋m2x， ∴f′(x)＝3x2－4mx＋m2， ∴f′(2)＝0， ∴12－8m＋m2＝0， ∴m＝2或m＝6. 當(dāng)m＝2時(shí)，f′(x)＝3x2－8x＋4. 令f′(x)＝0，則x1＝2，x2＝， ∴當(dāng)x＜或x＞2時(shí)，f′(x)＞0， 當(dāng)＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0， ∴f(2)是極小值， ∴m＝2應(yīng)舍去． 當(dāng)m＝6時(shí)，f′(x)＝3x2－24x＋36. 令f′(x)＝0時(shí)，x1＝2，x2＝6， ∴當(dāng)x＜2或x＞6時(shí)，f′(x)＞0， 當(dāng)2＜x＜6時(shí)，f′(x)＜0， ∴f(2)是極大值， ∴f(2)＝2(2－6)2＝32. 12. 解：設(shè)圓錐的高為x cm，則底面半徑為 cm. 其體積為V＝π(202－x2)x＝π(400x－x3)(0＜x＜20)． 令V′＝0，解得x1＝，x2＝(舍去)． 當(dāng)0＜x＜時(shí)，V′＞0， 當(dāng)＜x＜20時(shí)，V′＜0， ∴當(dāng)x＝時(shí)，V取得最大值，即當(dāng)高為 cm時(shí)，圓錐形漏斗的體積最大． 13. 解：由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝6x2≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增． 當(dāng)a＞1時(shí)，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，f′(x)的符號(hào)、f(x)的單調(diào)性及極值隨x的變化情況如下： x (－∞，0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 由表可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，a－1)上單調(diào)遞減，在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)由(1)知，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)沒(méi)有極值，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值1，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)3. 14. 解：(1)因f(x)＝aln x＋＋1，故f′(x)＝. 由于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋1(x＞0)， f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1， x2＝. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3.