高中數(shù)學 第三章 導數(shù)應用 3_1_1 導數(shù)與函數(shù)的單調性自我小測 北師大版選修2-21

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高中數(shù)學 第三章 導數(shù)應用 3.1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調性自我小測 北師大版選修2-2 1.函數(shù)f(x)＝xln x在(0,6)上是(　　)． A．單調增函數(shù) B．在上是減少的，在上是增加的 C．單調減函數(shù) D．在上是增加的，在上是減少的 2．當x＞0時，f(x)＝x＋，則f(x)的單調遞減區(qū)間是(　　)． A．(2，＋∞) B．(0,2) C．(，＋∞) D．(0，) 3．函數(shù)y＝xcos x－sin x在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù)(　　)． A． B．(π，2π) C． D．(2π，3π) 4．下列命題成立的是(　　)． A．若f(x)在(a，b)內是增函數(shù)，則對任何x∈(a，b)，都有f′(x)＞0 B．若在(a，b)內對任何x都有f′(x)＞0，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù) C．若f(x)在(a，b)內是單調函數(shù)，則f′(x)必存在 D．若f′(x)在(a，b)上都存在，則f(x)必為單調函數(shù) 5．f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對任意正數(shù)a，b，若a＜b，則必有(　　)． A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b) 6．對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　)． A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1) 7．已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在區(qū)間(1，＋∞)內恒成立，則實數(shù)a的范圍為________． 8．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)上任一點(x0，f(x0))處的切線斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，則該函數(shù)的單調遞減區(qū)間為__________． 9．求證：方程x－sin x＝0只有一個根x＝0. 10．設函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2： (1)若a＝，求f(x)的單調區(qū)間； (2)若x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍．  參考答案 1.答案：B　解析：f′(x)＝(xln x)′＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1， ∴當0＜x＜時，f′(x)＜0；當＜x＜6時，f′(x)＞0， ∴f(x)＝xln x在上是減少的，在上是增加的． 2.答案：D　解析：f′(x)＝1－，令f′(x)＝1－＜0，得且x≠0，又x＞0，∴0＜x＜，∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，)． 3.答案：B　解析：y′＝－xsin x，∵y＝xcos x－sin x是增函數(shù)， ∴y′＞0.∵x＞0，∴sin x＜0，而sin x在(π，2π)內小于0，∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)內是增函數(shù)． 4.答案：B　解析：若f(x)在(a，b)內是增函數(shù)，則f′(x)≥0，故A錯；f(x)在(a，b)內單調與f′(x)是否存在無必然聯(lián)系，故C錯；f(x)＝2在(a，b)上的導數(shù)f′(x)＝0存在，但f(x)無單調性，故D錯． 5.答案：B　解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0且x＞0，f(x)≥0， ∴f′(x)≤，即f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)． 又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)． 6.答案：B　解析：由(x－1)f′(x)≥0，得f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，在(－∞，1)上單調遞減或恒為常數(shù)．故f(0)＋f(2)≥2f(1)． 7.答案：a≥1　解析：由已知a＞在區(qū)間(1，＋∞)內恒成立． 設g(x)＝， ∴g′(x)＝＜0(x＞1)， ∴g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞減， ∴g(x)＜g(1)． ∵g(1)＝1， ∴＜1在區(qū)間(1，＋∞)內恒成立， ∴a≥1. 8.答案：(－∞，2]　解析：令k≤0得x0≤2，由導數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的單調減區(qū)間為(－∞，2]． 9.答案：證明：設f(x)＝x－sin x，x∈(－∞，＋∞)， 則f′(x)＝1－cos x＞0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)． 而當x＝0時，f(x)＝0， ∴方程x－sin x＝0有唯一的根x＝0. 10.解：(1)a＝時，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 當x∈(－∞，－1)時，f′(x)＞0；當x∈(－1,0)時，f′(x)＜0，當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調遞增，在(－1,0)上單調遞減． (2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a. 若a≤1，則當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)＝0， 從而當x≥0時，g(x)≥0，即f(x)≥0. 若a＞1，則當x∈(0，ln a)時，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)＝0， 從而當x∈(0，ln a)時，g(x)＜0，即f(x)＜0. 綜上所述a的取值范圍為(－∞，1]．