高中數(shù)學 第1章 解三角形 1_2 應用舉例 第2課時 高度、角度問題課時作業(yè) 新人教B版必修5

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2017春高中數(shù)學 第1章 解三角形 1.2 應用舉例 第2課時 高度、角度問題課時作業(yè) 新人教B版必修5 基 礎 鞏 固 一、選擇題 1．在某測量中，A在B的北偏東55，則B在A的(　D　) A．北偏西35　　　　 B．北偏東55 C．北偏東35 D．南偏西55 [解析]　根據(jù)題意和方向角的概念畫出草圖， 如圖所示． α＝55，則β＝α＝55. 所以B在A的南偏西55. 2．在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30、60，則塔高為(　A　) A． m B． m C．200 m D．200 m [解析]　如圖，設AB為山高，CD為塔高，則AB＝200，∠ADM＝30，∠ACB＝60 ∴BC＝＝， AM＝DMtan30＝BCtan30＝. ∴CD＝AB－AM＝. 3．要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的∠BCD＝120，CD＝40 m，則電視塔的高度為(　D　) A．10 m B．20 m C．20 m D．40 m [解析]　設AB＝x m，則BC＝x m，BD＝x m，在△BCD中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos120， ∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)． 4．一艘客船上午9︰30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30，之后它以每小時32 n mile的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10︰00到達B處，此時測得船與燈塔S相距8 n mile，則燈塔S在B處的(　C　) A．北偏東75 B．南偏東15 C．北偏東75或南偏東15 D．以上方位都不對 [解析]　畫出示意圖如圖，客船半小時行駛路程為32＝16 n mile，∴AB＝16， 又BS＝8，∠BAS＝30， 由正弦定理，得＝， ∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45或135， 當∠ASB＝45時，∠B′BS＝75， 當∠ASB＝135時，∠AB′S＝15，故選C． 5．如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為，設α為坡角，那么cosα等于(　B　) A． B． C． D． [解析]　由題意，得tanα＝，∴＝， ∴＝，即＝，∵α為銳角，∴cosα＝. 6．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　B　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東10 D．南偏西10 [解析]　如圖，由題意知 ∠ACB＝180－40－60＝80， ∵AC＝BC，∴∠ABC＝50， ∴α＝60－50＝10. 二、填空題 7．一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行，已知河水流速為2 km/ h，則經過 h，該船實際航程為6_km. [解析]　如圖，水流速和船速的合速度為v， 在△OAB中：OB2＝OA2＋AB2－2OAABcos60， ∴OB＝v＝2 km/h. 即船的實際速度為2 km/h，則經過 h，其路程為2＝6 km. 8．如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60，C點的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點測得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高MN＝150_m. [解析]　在Rt△ABC中，由于∠CAB＝45，BC＝100 m， 所以AC＝100 m. 在△MAC中，∠AMC＝180－75－60＝45， 由正弦定理，得＝， 于是MA＝＝100(m)． 在Rt△MNA中，∠MAN＝60，于是MN＝MAsin∠MAN＝100＝150，即山高MN＝150 m. 三、解答題 9．如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75，30，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC＝0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結果精確到0.01 km，≈1.414，≈2.449). [解析]　在△ADC中，∠DAC＝30，∠ADC＝60－∠DAC＝30，所以CD＝AC＝0.1， 又∠BCD＝180－60－60＝60， 故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA， 在△ABC中，＝， 即AB＝＝， 因此，BD＝≈0.33.故B、D的距離約為0.33 km. 能 力 提 升 一、選擇題 1．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60和30，已知建筑物底部高出地面D點20 m，則建筑物高度為(　C　) A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m [解析]　設O為塔頂在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30，OB＝20，BD＝40，OD＝20. 在Rt△AOD中，OA＝ODtan60＝60， ∴AB＝OA－OB＝40，故選C． 2．飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標C的俯角為30，向前飛行10 000 m到達B處，此時測得正前下方目標C的俯角為75，這時飛機與地面目標的水平距離為(　A　) A．2 500(－1) m B．5 000 m C．4 000 m D．4 000 m [解析]　示意圖如圖，∠BAC＝30，∠DBC＝75， ∴∠ACB＝45，AB＝10 000. 由正弦定理，得＝，又cos75＝， ∴BD＝cos75＝2 500(－1)(m)． 二、填空題 3．某海島周圍38 n mile有暗礁，一輪船由西向東航行，初測此島在北偏東60方向，航行30 n mile后測得此島在東北方向，若不改變航向，則此船無觸礁的危險(填“有”或“無”). [解析]　如圖所示，由題意在△ABC中，AB＝30， ∠BAC＝30， ∠ABC＝135，∴∠ACB＝15， 由正弦定理， 得BC＝＝ ＝＝15(＋)． 在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38. ∴此船無觸礁的危險． 4．如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜率為15，向山頂前進100 m到達B后，又測得C對于山坡的斜率為45，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ＝－1. [解析]　在△ABC中，由正弦定理，得＝， ∴BC＝50(－)． 在△BCD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠BDC＝＝－1. ∴在Rt△ADE中cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1. 三、解答題 5．在某海濱城市附近海面有一臺風．據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O(如圖所示)的東偏南θ(cosθ＝)方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移動．臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大．問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？ [解析]　如圖所示，設在時刻t(h)臺風中心為Q，此時臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑為(10t＋60) km. 若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，則OQ≤10t＋60. 由余弦定理，得OQ2＝PQ2＋PO2－2PQPOcos∠OPQ， 由于PO＝300，PQ＝20t， ∴cos∠OPQ＝cos(θ－45)＝cosθcos45＋sinθsin45 ＝＋＝， 故OQ2＝(20t)2＋3002－220t300 ＝202t2－9600t＋3002， 因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2， 即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24. 答：12 h后該城市開始受到臺風的侵襲． 6.一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由點A開始做勻速直線運動，到達點B時，發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A作勻速直線滾動．如圖所示，已知AB＝4 m，AD＝17 m，∠BAC＝45.若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則該機器人最快可在何處截住足球？ [解析]　設該機器人最快可在C點處截住足球，點C在線段AD上，設DC＝x m，由題意得CD＝2x m， 所以AC＝(17－2x) m. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA， 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－24(17－2x)cos45， 解得x＝5或x＝， 當x＝5時，AC＝7 m； 當x＝時，AC＝－ m，不合題意，舍去． 所以AC＝7 m， 故該機器人最快可在線段AD上距離點A 7 m的C點處截住足球． 7．在地面上某處，測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由此處向塔?0 m，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔走10 m，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，試求角θ的度數(shù). [分析]　如圖所示，求角θ，必須把角θ、2θ、4θ和邊長30、10盡量集中在一個三角形中，利用方程求解． [解析]　解法一：∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ， ∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30.又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝10. 在△BPC中，根據(jù)正弦定理，得＝， 即＝ ，∴＝ . 由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝. ∵0<2θ<90，∴2θ＝30，∴θ＝15. 解法二：在△BPC中，根據(jù)余弦定理，得 PC2＝PB2＋BC2－2PBBCcos2θ， 把PC＝BC＝10，PB＝30代入上式得， 300＝302＋(10)2－23010cos2θ， 化簡得：cos2θ＝ . ∵0<2θ<90，∴2θ＝30，∴θ＝15. 解法三：如下圖，過頂點C作CE⊥PB，交PB于E， ∵△BPC為等腰三角形， ∴PE＝BE＝15. 在Rt△BEC中，cos2θ＝＝＝. ∵0<2θ<90，∴2θ＝30，∴θ＝15.