九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷（含解析） 新人教版3

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2015-2016學(xué)年山東省臨沂市平邑縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：每小題3分，共42分．每小題中有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1．一元二次方程x2﹣4=0的解是（　?。? A．x1=2，x2=﹣2 B．x=﹣2 C．x=2 D．x1=2，x2=0 2．拋物線y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標(biāo)是（　?。? A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 3．點P（2，﹣3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（　?。? A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2） 4．已知圓的半徑為3，一點到圓心的距離是5，則這點在（　?。? A．圓內(nèi) B．圓上 C．圓外 D．都有可能 5．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正確的是（　?。? A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6 6．一個布袋里裝有6個只有顏色不同的球，其中2個紅球，4個白球．從布袋里任意摸出1個球，則摸出的球是白球的概率為（　?。? A． B． C． D． 7．如圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58，則∠BCD等于（　?。? A．116 B．32 C．58 D．64 8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D．若AC=，BC=2，則sin∠ACD的值為（　?。? A． B． C． D． 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若將△ABC以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90得到△DEF，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（　?。? A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1） D．（2.5，0.5） 10．如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一定點，過M點作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（　?。? A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 11．將拋物線y=x2﹣1向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線解析式為（　?。? A．y=（x+2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1 12．如圖所示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過A點（3，0），二次函數(shù)圖象對稱軸為x=1，給出四個結(jié)論：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b=0；④a+b+c=0，其中正確結(jié)論是（　?。? A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 13．如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點，BC交⊙O于D點，CD=BD，∠C=70．現(xiàn)給出以下四種結(jié)論：①∠A=45；②AC=AB；③AE=BE；④CE?AB=2BD2．其中正確結(jié)論的序號是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 14．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運(yùn)動，到點B時停止運(yùn)動；同時，動點F從點P出發(fā)，沿P→D→Q運(yùn)動，點E、F的運(yùn)動速度相同．設(shè)點E的運(yùn)動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（　?。? A． B． C． D． 　 二、填空題：每小題4分，共20分． 15．在△ABC中，∠C=90，cosA=，則tanA等于　　　　　?。? 16．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是　　　　　?。? 17．如圖，正三角形ABC的邊長為4，D、E、F分別為BC、CA、AB的中點，以A、B、C三點為圓心，2為半徑作圓，則圖中的陰影面積為　　　　　?。? 18．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接BF分別交AC、CD于P、E，則圖中的位似三角形共有　　　　　　對． 19．如圖，點A在雙曲線y=上，點B在雙曲線y=上，且AB∥y軸，C、D在y軸上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積為　　　　　?。? 　 三、解答下列各題：共58分． 20．（1）計算： tan60+|﹣3sin30|﹣cos245． （2）解方程：x2+4x+1=0． 21．某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有121臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過1300臺？ 22．如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（a，2）兩點． （1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式； （2）直接寫出y1≤y2時x的取值范圍． 23．如圖，直線PM切⊙O于點M，直線PO交⊙O于A、B兩點，弦AC∥PM，連接OM、BC． 求證：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2=OP?BC． 24．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的圓O經(jīng)過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45． （1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O半徑為6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值． 25．矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，3），直線與BC相交于點D，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點． （1）求拋物線的解析式； （2）連接AD，試判斷△OAD的形狀，并說明理由． （3）若點P是拋物線的對稱軸上的一個動點，對稱軸與OD、x軸分別交于點M、N，問：是否存在點P，使得以點P、O、M為頂點的三角形與△OAD相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　  2015-2016學(xué)年山東省臨沂市平邑縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：每小題3分，共42分．每小題中有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1．一元二次方程x2﹣4=0的解是（　　） A．x1=2，x2=﹣2 B．x=﹣2 C．x=2 D．x1=2，x2=0 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】首先移項，再兩邊直接開平方即可． 【解答】解：移項得：x2=4， 兩邊直接開平方得：x=2， 則x1=2，x2=﹣2， 故選：A． 　 2．拋物線y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標(biāo)是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標(biāo)． 【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，頂點坐標(biāo)為（3，1）． 故選：A． 　 3．點P（2，﹣3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2） 【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)． 【解答】解：已知點P（2，﹣3）， 則點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（﹣2，3）， 故選：C． 　 4．已知圓的半徑為3，一點到圓心的距離是5，則這點在（　　） A．圓內(nèi) B．圓上 C．圓外 D．都有可能 【考點】點與圓的位置關(guān)系． 【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，設(shè)點與圓心的距離d，則d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)． 【解答】解：∵點到圓心的距離5，大于圓的半徑3， ∴點在圓外．故選C． 　 5．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正確的是（　　） A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】在本題中，把常數(shù)項2移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣4的一半的平方． 【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2﹣4x=﹣2， 方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4， 配方得（x﹣2）2=2． 故選：A． 　 6．一個布袋里裝有6個只有顏色不同的球，其中2個紅球，4個白球．從布袋里任意摸出1個球，則摸出的球是白球的概率為（　?。? A． B． C． D． 【考點】概率公式． 【分析】讓白球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即為所求的概率． 【解答】解：因為一共有6個球，白球有4個， 所以從布袋里任意摸出1個球，摸到白球的概率為：． 故選D． 　 7．如圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58，則∠BCD等于（　　） A．116 B．32 C．58 D．64 【考點】圓周角定理． 【分析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB=90，繼而求得∠A的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90， ∵∠ABD=58， ∴∠A=90﹣∠ABD=32， ∴∠BCD=∠A=32． 故選B． 　 8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D．若AC=，BC=2，則sin∠ACD的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理． 【分析】在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD轉(zhuǎn)化為求sinB． 【解答】解：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB===3． ∵∠B+∠BCD=90，∠ACD+∠BCD=90， ∴∠B=∠ACD． ∴sin∠ACD=sin∠B==， 故選A． 　 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若將△ABC以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90得到△DEF，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1） D．（2.5，0.5） 【考點】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)． 【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點A的對應(yīng)點為點D，點B的對應(yīng)點為點E，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)中心在線段AD的垂直平分線，也在線段BE的垂直平分線，即兩垂直平分線的交點為旋轉(zhuǎn)中心，而易得線段BE的垂直平分線為直線x=1，線段AD的垂直平分線為以AD為對角線的正方形的另一條對角線所在的直線． 【解答】解：∵將△ABC以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90得到△DEF， ∴點A的對應(yīng)點為點D，點B的對應(yīng)點為點E， 作線段AD和BE的垂直平分線，它們的交點為P（1，﹣1）， ∴旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（1，﹣1）． 故選C． 　 10．如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一定點，過M點作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（　　） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【考點】相似三角形的判定． 【分析】過點M作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個公共角，只要再作一個直角就可以． 【解答】解：∵截得的三角形與△ABC相似， ∴過點M作AB的垂線，或作AC的垂線，或作BC的垂線，所得三角形滿足題意 ∴過點M作直線l共有三條， 故選C． 　 11．將拋物線y=x2﹣1向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線解析式為（　　） A．y=（x+2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】先確定拋物線y=x2﹣1的頂點坐標(biāo)為（0，﹣1），把點（0，﹣1）向左平移2個單位，再向上平移2個單位到的點的坐標(biāo)為（﹣2，1），然后根據(jù)頂點式寫出平移后拋物線的解析式． 【解答】解：拋物線y=x2﹣1的頂點坐標(biāo)為（0，﹣1），把點（0，﹣1）向左平移2個單位，再向上平移2個單位到的點的坐標(biāo)為（﹣2，1）， 所以平移后拋物線的解析式為y=（x+2）2+1． 故選A． 　 12．如圖所示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過A點（3，0），二次函數(shù)圖象對稱軸為x=1，給出四個結(jié)論：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b=0；④a+b+c=0，其中正確結(jié)論是（　?。? A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】將函數(shù)圖象補(bǔ)全，再進(jìn)行分析．主要是從拋物線與x軸（y軸）的交點，開口方向，對稱軸及x=1等方面進(jìn)行判斷． 【解答】解：①圖象與x軸有兩個交點，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，正確； ②因為開口向下，故a＜0，有﹣＞0，則b＞0，又c＞0，故bc＞0，錯誤； ③由對稱軸x=﹣=1，得2a+b=0，正確； ④當(dāng)x=1時，a+b+c＞0，錯誤； 故①③正確． 故選：B． 　 13．如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點，BC交⊙O于D點，CD=BD，∠C=70．現(xiàn)給出以下四種結(jié)論：①∠A=45；②AC=AB；③AE=BE；④CE?AB=2BD2．其中正確結(jié)論的序號是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理． 【分析】連接AD，根據(jù)圓周角定理可知∠ADB=90，再由CD=CB可知AD是BC的垂直平分線，可知②正確；連接DE，BE，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠CDE=∠CAB，故可得出△CDE∽△CAB，由此可判斷出④正確． 【解答】解：連接AD， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90． ∵CD=BD， ∴AD是BC的垂直平分線， ∴AC=AB，故②正確； ∵AC=AB， ∴∠ABC=∠C=70， ∴∠BAC=40，故①錯誤； 連接BE，DE， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠AEB=90， ∵∠BAC=40， ∴∠ABE=50， ∴∠BAC≠∠ABE， ∴AE≠BE，故③錯誤； ∵四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠CDE=∠CAB， ∴△CDE∽△CAB， ∴=，即， ∴CE?AB=2BD2，故④正確． 故選C． 　 14．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運(yùn)動，到點B時停止運(yùn)動；同時，動點F從點P出發(fā)，沿P→D→Q運(yùn)動，點E、F的運(yùn)動速度相同．設(shè)點E的運(yùn)動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（　　） A． B． C． D． 【考點】動點問題的函數(shù)圖象． 【分析】分F在線段PD上，以及線段DQ上兩種情況，表示出y與x的函數(shù)解析式，即可做出判斷． 【解答】解：當(dāng)F在PD上運(yùn)動時，△AEF的面積為y=AE?AD=2x（0≤x≤2）， 當(dāng)F在AD上運(yùn)動時，△AEF的面積為y=AE?AF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（2＜x≤4）， 圖象為： 故選A 　 二、填空題：每小題4分，共20分． 15．在△ABC中，∠C=90，cosA=，則tanA等于　?。? 【考點】同角三角函數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)cosA=，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達(dá)式即可推出tanA的值． 【解答】解：∵cosA=知，設(shè)b=3x，則c=5x，根據(jù)a2+b2=c2得a=4x． ∴tanA===． 故答案為：． 　 16．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是　﹣1　． 【考點】根的判別式． 【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=22﹣4（﹣a）=0，然后解一次方程即可． 【解答】解：根據(jù)題意得△=22﹣4（﹣a）=0， 解得a=﹣1． 故答案為﹣1． 　 17．如圖，正三角形ABC的邊長為4，D、E、F分別為BC、CA、AB的中點，以A、B、C三點為圓心，2為半徑作圓，則圖中的陰影面積為　4﹣2π?。? 【考點】扇形面積的計算． 【分析】連接AD，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60，根據(jù)S陰影=S△ABC﹣3S扇形AEF即可得出結(jié)論． 【解答】解：連接AD， ∵正三角形ABC的邊長為4，D、E、F分別為BC、CA、AB的中點， ∴AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60． ∵AB=4， ∴AD=AB?sin60=4=2， ∴S陰影=S△ABC﹣3S扇形AEF=42﹣3=4﹣2π． 故答案為：4﹣2π． 　 18．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接BF分別交AC、CD于P、E，則圖中的位似三角形共有　5　對． 【考點】位似變換；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AD∥BC，AB∥CD，根據(jù)平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，即可證得：△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，繼而可得△ABF∽△CEB，則可求得答案 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∴△ABF∽△CEB， ∴此圖中共有5對相似三角形． 故答案為5 　 19．如圖，點A在雙曲線y=上，點B在雙曲線y=上，且AB∥y軸，C、D在y軸上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積為　3?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】由AB∥y軸可知，A、B兩點橫坐標(biāo)相等，設(shè)A（m，），B（m，），求出AB的長，再根據(jù)平行四邊形的面積公式進(jìn)行計算即可． 【解答】解：∵點A在雙曲線y=上，點B在雙曲線y=上，且AB∥y軸， ∴設(shè)A（m，），B（m，）， ∴AB=﹣=， ∴S?ABCD=?m=3， 故答案為：3． 　 三、解答下列各題：共58分． 20．（1）計算： tan60+|﹣3sin30|﹣cos245． （2）解方程：x2+4x+1=0． 【考點】實數(shù)的運(yùn)算；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】（1）原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果； （2）方程利用配方法求出解即可． 【解答】解：（1）原式=+﹣=3+1=4； （2）方程變形得：x2+4x=﹣1， 配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3， 開方得：x+2=， 解得：x1=﹣2，x2=﹣﹣2． 　 21．某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有121臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過1300臺？ 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)每輪感染中平均一臺會感染x臺電腦，則第一輪后共有（1+x）臺被感染，第二輪后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2臺被感染，利用方程即可求出x的值，并且3輪后共有（1+x）3臺被感染，比較該數(shù)同1300的大小，即可作出判斷． 【解答】解：設(shè)每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，依題意得： 1+x+（1+x）x=121， 整理得（1+x）2=121， 則x+1=11或x+1=﹣11， 解得x1=10，x2=﹣12（舍去）， 則（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+10）3=1331＞1000． 答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染10臺電腦，3輪感染后，被感染的電腦會超過1300臺． 　 22．如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（a，2）兩點． （1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式； （2）直接寫出y1≤y2時x的取值范圍． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）先A點坐標(biāo)代入y2=求出m確定反比例函數(shù)解析式為y2=；在把B（a，2）代入y2=求出a，確定B點坐標(biāo)為（3，2），然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式； （2）觀察函數(shù)圖象，當(dāng)0＜x≤1或x＞3時，反比例函數(shù)圖象都在一次函數(shù)圖象上方． 【解答】解：（1）把A（1，6）代入y2=得m=16=6， 所以反比例函數(shù)解析式為y2=； 把B（a，2）代入y2=得2a=6，解得a=3， 所以B點坐標(biāo)為（3，2）， 把A（1，6）和B（3，2）代入y1=kx+b得，解得， 所以一次函數(shù)解析式為y1=﹣2x+8； （2）當(dāng)0＜x≤1或x＞3時，y1≤y2． 　 23．如圖，直線PM切⊙O于點M，直線PO交⊙O于A、B兩點，弦AC∥PM，連接OM、BC． 求證：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2=OP?BC． 【考點】切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）因為PM切⊙O于點M，所以∠PMO=90，又因為弦AB是直徑，所以∠ACB=∠PMO=90，再有條件弦AC∥PM，可證得∠CAB=∠P，進(jìn)而可證得△ABC∽△POM； （2）由（1）可得，又因為AB=2OA，OA=OM；所以2OA2=OP?BC． 【解答】證明：（1）∵直線PM切⊙O于點M， ∴∠PMO=90， ∵弦AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∴∠ACB=∠PMO， ∵AC∥PM， ∴∠CAB=∠P， ∴△ABC∽△POM； （2）∵△ABC∽△POM， ∴， 又AB=2OA，OA=OM， ∴， ∴2OA2=OP?BC． 　 24．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的圓O經(jīng)過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45． （1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O半徑為6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值． 【考點】切線的判定；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理． 【分析】（1）首先連接OD，由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可證得OD⊥AB，又由四邊形ABCD是平行四邊形，即可證得OD⊥CD，即可證得CD與⊙O相切； （2）首先過點O作OF⊥AE，連接OE，由垂徑定理可得AF=5cm，∠AOF=∠AOE，又由圓周角定理可得∠ADE=∠AOE，繼而證得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案． 【解答】解：（1）CD與⊙O相切． 理由：連接OD， ∵∠AED=45， ∴∠AOD=2∠AED=90， 即OD⊥AB， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴OD⊥CD， ∵AB為直徑的圓O經(jīng)過點D， ∴CD與⊙O相切； （2）過點O作OF⊥AE，連接OE， 則AF=AE=10=5（cm）， ∵OA=OE， ∴∠AOF=∠AOE， ∵∠ADE=∠AOE， ∴∠ADE=∠AOF， 在Rt△AOF中，sin∠AOF==， ∴sin∠ADE=． 　 25．矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，3），直線與BC相交于點D，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點． （1）求拋物線的解析式； （2）連接AD，試判斷△OAD的形狀，并說明理由． （3）若點P是拋物線的對稱軸上的一個動點，對稱軸與OD、x軸分別交于點M、N，問：是否存在點P，使得以點P、O、M為頂點的三角形與△OAD相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題意可得出點D的縱坐標(biāo)為3，代入直線解析式可得出點D的橫坐標(biāo)，從而將點D和點A的坐標(biāo)代入可得出拋物線的解析式． （2）分別求出OA、OD、AD的長度，繼而根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形． （3）①由圖形可得當(dāng)點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA，②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′，此時也可滿足△P′OM∽△ODA，利用相似的性質(zhì)分別得出點P的坐標(biāo)即可． 【解答】解：（1）由題意得，點D的縱坐標(biāo)為3， ∵點D在直線y=x上， ∴點D的坐標(biāo)為（9，3）， 將點D（9，3）、點A（10，0）代入拋物線可得：， 解得：， 故拋物線的解析式為：y=﹣x2+x． （2）∵點D坐標(biāo)為（9，3），點A坐標(biāo)為（10，0）， ∴OA=10，OD==3，AD==， 從而可得OA2=OD2+AD2， 故可判斷△OAD是直角三角形． （3）①由圖形可得當(dāng)點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA， 此時∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA， 故可得△OPM∽△ODA，OP=OA=5， 即可得此時點P的坐標(biāo)為（5，0）． ②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′，此時也可滿足△P′OM∽△ODA， 由題意可得，點M的橫坐標(biāo)為5，代入直線方程可得點M的縱坐標(biāo)為， 故可求得OM=， ∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90， ∴∠OP′M=∠DOA， ∴△P′OM∽△ODA， 故可得=，即=， 解得：MP′=， 又∵M(jìn)N=點M的縱坐標(biāo)=， ∴P′N=﹣=15， 即可得此時點P′的坐標(biāo)為（5，﹣15）． 綜上可得存在這樣的點P，點P的坐標(biāo)為（5，0）或（5，﹣15）．