九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷（含解析） 新人教版 (4)

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2015-2016學(xué)年河南省駐馬店市上蔡一中九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．下列計算正確的是（　?。? A． += B．3﹣3=1 C．=4 D．=2 2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，則cosB的值為（　　） A． B． C． D． 3．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，下列說法正確的是（　?。? A．可能有5次正面朝上 B．必有5次正面朝上 C．?dāng)S2次必有1次正面朝上 D．不可能10次正面朝上 4．若將方程x2+16x+57=0化成（x+a）2=b的形式，則a，b的值分別是（　?。? A．a(chǎn)=7，b=8 B．a(chǎn)=8，b=7 C．a(chǎn)=﹣7，b=﹣8 D．a(chǎn)=﹣8，b=﹣7 5．已知b＜0，關(guān)于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．有兩個實(shí)數(shù)根 6．如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面積為a，則△ACD的面積為（　?。? A．a(chǎn) B． C． D． a 7．已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（　?。? A．3 B．5 C．15 D．25 8．已知拋物線y=ax2+bx和直線y=ax+b在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖，其中正確的是（　?。? A． B． C． D． 　 二、填空題 9．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是：　?。? 10．若=﹣x，則x的取值范圍是　?。? 11．某品牌手機(jī)兩年內(nèi)每臺2500元降低到每臺1600元，則這款手機(jī)平均每年降低的百分率為　?。? 12．若x是m、n的比例中項(xiàng)，則++=　?。? 13．將二次函數(shù)y=﹣2（x﹣1）2+3的圖象關(guān)于原點(diǎn)作對稱變換，則對稱后得到的二次函數(shù)的解析式為　?。? 14．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是　?。? 15．如果函數(shù)y=（a﹣1）x2+3x+的圖象經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的四個象限，那么a的取值范圍是　?。? 　 三、解答題：（75分） 16．計算： ①2sin45﹣+sin35+sin255． ②解方程：x2﹣4x+3=0． 17．先化簡，再求值：（），其中x=﹣2+． 18．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF=∠ABE． 求證：（1）△DEF∽△BDE； （2）△GDE∽△EDF； （3）DG?DF=DB?EF． 19．在一個不透明的布袋里裝有4個標(biāo)有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機(jī)取出一個小球，記下數(shù)字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機(jī)取出一個小球，記下數(shù)字為y． （1）計算由x、y確定的點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=﹣x+5的圖象上的概率． （2）小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x、y滿足xy＞6則小明勝，若x、y滿足xy＜6則小紅勝，這個游戲公平嗎？說明理由．若不公平，請寫出公平的游戲規(guī)則． 20．如圖所示，甲、乙兩班學(xué)生進(jìn)行爬山比賽，甲班學(xué)生從西坡坡角為30的山坡爬了200米，緊接著又爬了坡角為45的山坡80米，最后到達(dá)山頂；乙班學(xué)生從東坡沿著坡角為35的斜坡爬向山頂，若兩班學(xué)生爬山的平均速度相同，請問哪班學(xué)生先到達(dá)山頂．（ =1.4， =1.7，sin35=0.5736，cos35=0.8192，tan35=0.700） 21．某校九年級某班學(xué)生準(zhǔn)備去購買《英漢詞典》一書，此書的標(biāo)價為20元．現(xiàn)A、B兩書店都有此書出售，A店按如下方法促銷：若只購買1本，則按標(biāo)價銷售；當(dāng)一次性購買多于1本，但不多于20本時，每多購買一本，每本的售價在標(biāo)價的基礎(chǔ)上優(yōu)惠2%（例如，買2本每本的售價優(yōu)惠2%，買3本每本的售價優(yōu)惠4%，依此類推）；當(dāng)購買多于20本時，每本的售價為12元．B書店一律按標(biāo)價的7折銷售． （1）試分別寫出在兩書店購買此書的總價yA、yB與購書本數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式． （2）若該班一次購買多于20本，去哪家書店購買更合算？為什么？若要一次性購買不多于20本，先寫出y（y=yA﹣yB）與購書本數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式，畫出其函數(shù)圖象，再利用函數(shù)圖象分析去哪家書店購買更合算． 22．我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“稱為中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c． 特例探索 （1）如圖1，當(dāng)∠ABE=45，c=2時，a=　　，b=　?。? 如圖2，當(dāng)∠ABE=30，c=4時，a=　　，b=　?。? 歸納證明 （2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式． 拓展應(yīng)用 （3）如圖4，在?ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的長． 23．如圖1，若拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上（點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合）我們把這樣的兩拋物線L1、L2互稱為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有很多條． （1）如圖2，已知拋物線L3：y=2x2﹣8x+4與y軸交于點(diǎn)C，試求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）請求出以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式，并指出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍； （3）若拋物y=a1（x﹣m）2+n的任意一條“友好”拋物線的解析式為y=a2（x﹣h）2+k，請寫出a1與a2的關(guān)系式，并說明理由． 　  2015-2016學(xué)年河南省駐馬店市上蔡一中九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列計算正確的是（　?。? A． += B．3﹣3=1 C．=4 D．=2 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】直接利用二次根式混合運(yùn)算法則分別化簡求出答案． 【解答】解：A、+無法計算，故此選項(xiàng)錯誤； B、3﹣3=0，故此選項(xiàng)錯誤； C、==2，故此選項(xiàng)錯誤； D、=2，正確； 故選：D． 【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握二次根式運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵． 　 2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，則cosB的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系． 【專題】計算題． 【分析】由于∠A+∠B=90，根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系即可得到cosB=sinA=． 【解答】解：∵∠C=90， ∴∠A+∠B=90， ∴cosB=sinA， 而sinA=， ∴cosB=． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系：若∠A+∠B=90，則sinA=cosB，cosA=sinB． 　 3．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，下列說法正確的是（　?。? A．可能有5次正面朝上 B．必有5次正面朝上 C．?dāng)S2次必有1次正面朝上 D．不可能10次正面朝上 【考點(diǎn)】隨機(jī)事件． 【分析】根據(jù)隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，可得答案． 【解答】解：A、是隨機(jī)事件，故A正確； B、不是必然事件，故B錯誤； C、不是必然事件，故C錯誤； D、是隨機(jī)事件，故D錯誤； 故選：A． 【點(diǎn)評】解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件． 　 4．若將方程x2+16x+57=0化成（x+a）2=b的形式，則a，b的值分別是（　　） A．a(chǎn)=7，b=8 B．a(chǎn)=8，b=7 C．a(chǎn)=﹣7，b=﹣8 D．a(chǎn)=﹣8，b=﹣7 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法． 【專題】計算題；一次方程（組）及應(yīng)用． 【分析】方程利用配方法變形后，確定出a與b的值即可． 【解答】解：方程移項(xiàng)得：x2+16x=﹣57， 配方得：x2+16x+64=7，即（x+8）2=7， 則a=8，b=7， 故選B 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵． 　 5．已知b＜0，關(guān)于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情況是（　　） A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．有兩個實(shí)數(shù)根 【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】根據(jù)直接開平方法可得x﹣1=，被開方數(shù)應(yīng)該是非負(fù)數(shù)，故沒有實(shí)數(shù)根． 【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0， ∴沒有實(shí)數(shù)根， 故選：C． 【點(diǎn)評】此題主要考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，根據(jù)法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”來求解． 　 6．如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面積為a，則△ACD的面積為（　?。? A．a(chǎn) B． C． D． a 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先證明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)可得：△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，因?yàn)椤鰽BD的面積為a，進(jìn)而求出△ACD的面積． 【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∵AB=4，AD=2， ∴△ACD的面積：△ABC的面積為1：4， ∴△ACD的面積：△ABD的面積=1：3， ∵△ABD的面積為a， ∴△ACD的面積為a， 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，是中考常見題型． 　 7．已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（　?。? A．3 B．5 C．15 D．25 【考點(diǎn)】二次根式的定義． 【分析】先將中能開方的因數(shù)開方，然后再判斷n的最小正整數(shù)值． 【解答】解：∵ =3，若是整數(shù)，則也是整數(shù)； ∴n的最小正整數(shù)值是15； 故選：C． 【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是能夠正確的對進(jìn)行開方化簡． 　 8．已知拋物線y=ax2+bx和直線y=ax+b在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖，其中正確的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】本題可先由二次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象相比較看是否一致．逐一排除． 【解答】解：A、由二次函數(shù)的圖象可知a＜0，此時直線y=ax+b應(yīng)經(jīng)過二、四象限，故A可排除； B、由二次函數(shù)的圖象可知a＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可知a、b異號，b＞0，此時直線y=ax+b應(yīng)經(jīng)過一、二、四象限，故B可排除； C、由二次函數(shù)的圖象可知a＞0，此時直線y=ax+b應(yīng)經(jīng)過一、三象限，故C可排除； 正確的只有D． 故選：D． 【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象，應(yīng)該識記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等． 　 二、填空題 9．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是：　100m?。? 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題． 【分析】根據(jù)題意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的長，再利用勾股定理算出AB的長即可 【解答】解：∵堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：， ∴=， ∵BC=50m， ∴AC=50m， ∴AB==100m， 故答案為：100m． 【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度問題，關(guān)鍵是掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比． 　 10．若=﹣x，則x的取值范圍是　﹣2≤x≤0?。? 【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡． 【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，二次根式的值是非負(fù)數(shù)，可得答案． 【解答】解： =﹣x， x≤0，x+2≥0， 解得﹣2≤x≤0， 故答案為：﹣2≤x≤0． 【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，利用了二次根式的性質(zhì)． 　 11．某品牌手機(jī)兩年內(nèi)每臺2500元降低到每臺1600元，則這款手機(jī)平均每年降低的百分率為　20%?。? 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】增長率問題． 【分析】設(shè)降價的百分率為x，降價一次后的價格是2500（1﹣x），第二次降價后的價格是2500（1﹣x）2，由“降為每臺1600元”作為相等關(guān)系可列方程，解方程即可求解． 【解答】解：設(shè)降價的百分率為x，由題意得2500（1﹣x）2=1600， 解得x1=0.2，x2=﹣1.8（舍）． 所以平均每次降價的百分率為20%． 故答案為：20%． 【點(diǎn)評】本題考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1x）2=b（當(dāng)增長時中間的“”號選“+”，當(dāng)降低時中間的“”號選“﹣”）． 　 12．若x是m、n的比例中項(xiàng)，則++=　0?。? 【考點(diǎn)】比例線段；分式的加減法． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到x2=mn，則原式變形為++，然后通過進(jìn)行分式的加減運(yùn)算． 【解答】解：∵x是m、n的比例中項(xiàng)， ∴x2=mn， ∴原式=++ =﹣+ = =0． 故答案為0． 【點(diǎn)評】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．也考查了分式的加減運(yùn)算． 　 13．將二次函數(shù)y=﹣2（x﹣1）2+3的圖象關(guān)于原點(diǎn)作對稱變換，則對稱后得到的二次函數(shù)的解析式為　y=2（x+1）2﹣3　． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的特點(diǎn)，可得答案． 【解答】解；y=﹣2（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），故變換后的拋物線為y=2（x+1）2﹣3， 故答案為：y=2（x+1）2﹣3． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱變換后只是開口方向改變，頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，而開口大小并沒有改變． 　 14．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是　2?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】首先連接BE，由題意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，繼而求得答案． 【解答】解：如圖，連接BE， ∵四邊形BCED是正方形， ∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD， ∴BF=CF， 根據(jù)題意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP=BD：AC=1：3， ∴DP：DF=1：2， ∴DP=PF=CF=BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF==2， ∵∠APD=∠BPF， ∴tan∠APD=2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 15．如果函數(shù)y=（a﹣1）x2+3x+的圖象經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的四個象限，那么a的取值范圍是　a＜﹣5　． 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)． 【分析】函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限，需滿足3個條件： （Ⅰ）函數(shù)是二次函數(shù)； （Ⅱ）二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn)； （Ⅲ）兩個交點(diǎn)必須要在y軸的兩側(cè)，即兩個交點(diǎn)異號． 【解答】解：函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限，需滿足3個條件： （Ⅰ）函數(shù)是二次函數(shù)．因此a﹣1≠0，即a≠1① （Ⅱ）二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn)．因此△=9﹣4（a﹣1）=﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣② （Ⅲ）兩個交點(diǎn)必須要在y軸的兩側(cè)．因此＜0，解得a＜﹣5③ 綜合①②③式，可得：a＜﹣5． 故答案為：a＜﹣5． 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是確定“函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限”所滿足的條件． 　 三、解答題：（75分） 16．（12分）（2015秋?駐馬店校級期末）計算： ①2sin45﹣+sin35+sin255． ②解方程：x2﹣4x+3=0． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】①根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形函數(shù)公式計算． ②先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：①原式=2﹣（﹣1）+sin235+cos235 =﹣+1+1 =2． ②x2﹣4x+3=0 因式分解得，（x﹣3）（x﹣1）=0， ∴x﹣3=0，x﹣1=0， ∴x1=3，x2=1． 【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的計算，也考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程． 　 17．先化簡，再求值：（），其中x=﹣2+． 【考點(diǎn)】分式的化簡求值． 【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把x的值代入進(jìn)行計算即可． 【解答】解：原式= = =? = =﹣， 當(dāng)x=﹣2+時，原式=﹣=﹣=﹣． 【點(diǎn)評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵． 　 18．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF=∠ABE． 求證：（1）△DEF∽△BDE； （2）△GDE∽△EDF； （3）DG?DF=DB?EF． 【考點(diǎn)】相似形綜合題． 【專題】證明題． 【分析】（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，即可證得：∠ABC=∠ACB，又由DE∥BC，易得∠ABC+∠BDE=180，∠ACB+∠CED=180，則可證得：∠BDE=∠CED，又由已知∠EDF=∠ABE，則可根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，證得△DEF∽△BDE； （2）由（1）易證得DE2=DB?EF，又由∠BED=∠DFE與∠GDE=∠EDF證得：△GDE∽△EDF； （3）由（2）則可得：DE2=DG?DF，則證得：DG?DF=DB?EF． 【解答】證明：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵DE∥BC， ∴∠ABC+∠BDE=180，∠ACB+∠CED=180． ∴∠BDE=∠CED， ∵∠EDF=∠ABE， ∴△DEF∽△BDE； （2）由△DEF∽△BDE，得． ∴DE2=DB?EF， 由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE． ∵∠GDE=∠EDF， ∴△GDE∽△EDF． （3）由（2）知，△GDE∽△EDF． ∴， ∴DE2=DG?DF， ∴DG?DF=DB?EF 【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定．注意有兩角對應(yīng)相等的三角形相似以及相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 　 19．在一個不透明的布袋里裝有4個標(biāo)有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機(jī)取出一個小球，記下數(shù)字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機(jī)取出一個小球，記下數(shù)字為y． （1）計算由x、y確定的點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=﹣x+5的圖象上的概率． （2）小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x、y滿足xy＞6則小明勝，若x、y滿足xy＜6則小紅勝，這個游戲公平嗎？說明理由．若不公平，請寫出公平的游戲規(guī)則． 【考點(diǎn)】游戲公平性；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；列表法與樹狀圖法． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=﹣x+5的圖象上的情況，利用概率公式即可求得答案； （2）根據(jù)（1）求得小明勝與小紅勝的概率，比較概率大小，即可確定游戲是否公平，只要概率等則公平，否則不公平． 【解答】解：（1）畫樹狀圖得： ∵共有12種等可能的結(jié)果，在函數(shù)y=﹣x+5的圖象上的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）， ∴點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=﹣x+5的圖象上的概率為： =； （2）∵x、y滿足xy＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4種情況，x、y滿足xy＜6有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6種情況， ∴P（小明勝）==，P（小紅勝）==， ∴P（小明勝）≠P（小紅勝）， ∴不公平； 公平的游戲規(guī)則為：若x、y滿足xy≥6則小明勝，若x、y滿足xy＜6則小紅勝． 【點(diǎn)評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平． 　 20．如圖所示，甲、乙兩班學(xué)生進(jìn)行爬山比賽，甲班學(xué)生從西坡坡角為30的山坡爬了200米，緊接著又爬了坡角為45的山坡80米，最后到達(dá)山頂；乙班學(xué)生從東坡沿著坡角為35的斜坡爬向山頂，若兩班學(xué)生爬山的平均速度相同，請問哪班學(xué)生先到達(dá)山頂．（ =1.4， =1.7，sin35=0.5736，cos35=0.8192，tan35=0.700） 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題． 【分析】首先構(gòu)造直角三角形，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別得出AC，AE的長，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，DN⊥BC于點(diǎn)N， ∵BD=200m，∠B=30， ∴DN=100m， ∵AD=80m，∠ADF=45， ∴AF=80sin45=40（m） ∴AE=100+40≈156（m）， ∴AC==≈272.97（m）， ∵200+80＞272.97， ∴乙班學(xué)生先到達(dá)山頂． 【點(diǎn)評】此題主要考查了坡腳的定義以及銳角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 21．某校九年級某班學(xué)生準(zhǔn)備去購買《英漢詞典》一書，此書的標(biāo)價為20元．現(xiàn)A、B兩書店都有此書出售，A店按如下方法促銷：若只購買1本，則按標(biāo)價銷售；當(dāng)一次性購買多于1本，但不多于20本時，每多購買一本，每本的售價在標(biāo)價的基礎(chǔ)上優(yōu)惠2%（例如，買2本每本的售價優(yōu)惠2%，買3本每本的售價優(yōu)惠4%，依此類推）；當(dāng)購買多于20本時，每本的售價為12元．B書店一律按標(biāo)價的7折銷售． （1）試分別寫出在兩書店購買此書的總價yA、yB與購書本數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式． （2）若該班一次購買多于20本，去哪家書店購買更合算？為什么？若要一次性購買不多于20本，先寫出y（y=yA﹣yB）與購書本數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式，畫出其函數(shù)圖象，再利用函數(shù)圖象分析去哪家書店購買更合算． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）分別根據(jù)兩個書店購書的優(yōu)惠方案得出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可； （2）首先得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而畫出圖象，利用圖象分析得出答案． 【解答】解：（1）設(shè)購買x本，則在A書店購書的總費(fèi)用為： yA=， 在B書店購書的總費(fèi)用為：yB=200.7x=14x； （2）當(dāng)x＞20時，顯然yA＜yB，即到A書店購買更合算， 當(dāng)0＜x≤20時， y=yA﹣yB=﹣x2+x=﹣（x﹣8）2+25.6， 當(dāng)﹣（x﹣8）2+25.6=0時，解得：x1=0，x2=16， 畫出圖象： 由圖象可得出：當(dāng)0＜x＜16時，y＞0， 當(dāng)x=16時，y=0， 當(dāng)20＞x＞16時，y＜0， 綜上所述，若購書少于16本，則到B書店購買更合算；若購書16本，到A，B購書的費(fèi)用一樣； 若購書超過16本但不多于20本，則到A書店購書更合算． 【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及利用函數(shù)圖象觀察y的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵． 　 22．我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“稱為中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c． 特例探索 （1）如圖1，當(dāng)∠ABE=45，c=2時，a=　2　，b=　2?。? 如圖2，當(dāng)∠ABE=30，c=4時，a=　2　，b=　2?。? 歸納證明 （2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式． 拓展應(yīng)用 （3）如圖4，在?ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的長． 【考點(diǎn)】相似形綜合題． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AP=BP=AB=2，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得到EF∥AB，EF=AB=，再由勾股定理得到結(jié)果； （2）連接EF，設(shè)∠ABP=α，類比著（1）即可證得結(jié)論． （3）連接AC交EF于H，設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P，由點(diǎn)E、G分別是AD，CD的中點(diǎn)，得到EG是△ACD的中位線于是證出BE⊥AC，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，AD=BC=2，∠EAH=∠FCH根據(jù)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，得到AE=BF=CF=AD=，證出四邊形ABFE是平行四邊形，證得EH=FH，推出EH，AH分別是△AFE的中線，由（2）的結(jié)論得即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45， ∴AP=BP=AB=2， ∵AF，BE是△ABC的中線， ∴EF∥AB，EF=AB=， ∴∠PFE=∠PEF=45， ∴PE=PF=1， 在Rt△FPB和Rt△PEA中， AE=BF==， ∴AC=BC=2， ∴a=b=2， 如圖2，連接EF， 同理可得：EF=4=2， ∵EF∥AB， ∴△PEF～△ABP， ∴， 在Rt△ABP中， AB=4，∠ABP=30， ∴AP=2，PB=2， ∴PF=1，PE=， 在Rt△APE和Rt△BPF中， AE=，BF=， ∴a=2，b=2， 故答案為：2，2，2，2； （2）猜想：a2+b2=5c2， 如圖3，連接EF， 設(shè)∠ABP=α， ∴AP=csinα，PB=ccosα， 由（1）同理可得，PF=PA=，PE==， AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α， ∴=c2sin2α+， =+c2cos2α， ∴+=+c2cos2α+c2sin2α+， ∴a2+b2=5c2； （3）如圖4，連接AC，EF交于H，AC與BE交于點(diǎn)Q，設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P， ∵點(diǎn)E、G分別是AD，CD的中點(diǎn)， ∴EG∥AC， ∵BE⊥EG， ∴BE⊥AC， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD=BC=2， ∴∠EAH=∠FCH， ∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)， ∴AE=AD，BF=BC， ∴AE=BF=CF=AD=， ∵AE∥BF， ∴四邊形ABFE是平行四邊形， ∴EF=AB=3，AP=PF， 在△AEH和△CFH中， ， ∴△AEH≌△CFH， ∴EH=FH， ∴EP，AH分別是△AFE的中線， 由（2）的結(jié)論得：AF2+EF2=5AE2， ∴AF2=5﹣EF2=16， ∴AF=4． 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，注意類比思想在本題中的應(yīng)用． 　 23．如圖1，若拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上（點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合）我們把這樣的兩拋物線L1、L2互稱為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有很多條． （1）如圖2，已知拋物線L3：y=2x2﹣8x+4與y軸交于點(diǎn)C，試求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）請求出以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式，并指出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍； （3）若拋物y=a1（x﹣m）2+n的任意一條“友好”拋物線的解析式為y=a2（x﹣h）2+k，請寫出a1與a2的關(guān)系式，并說明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）設(shè)x=0，求出y的值，即可得到C的坐標(biāo)，把拋物線L3：y=2x2﹣8x+4配方即可得到拋物線的對稱軸，由此可求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）由（1）可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），再由條件以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進(jìn)而可求出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍； （3）根據(jù)：拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得：（a1+a2 ）（m﹣h）2=0，可得a1=﹣a2 【解答】解：（1）∵拋物線L3：y=2x2﹣8x+4， ∴y=2（x﹣2）2﹣4， ∴頂點(diǎn)為（2，4），對稱軸為x=2， 設(shè)x=0，則y=4， ∴C（0，4）， ∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（4，4）； （2）∵以點(diǎn)D（4，4）為頂點(diǎn)的L3的友好拋物線L4還過點(diǎn)（2，﹣4）， ∴L4的解析式為y=﹣2（x﹣4）2+4， ∴L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍是：2≤x≤4時； （3）a1=﹣a2， 理由如下： ∵拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上， ∴可以列出兩個方程， ①+②得： （a1+a2 ）（m﹣h）2=0， ∴a1=﹣a2． 【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了拋物線的對稱變換、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及新定義的問題，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，特別是（3）問根據(jù)已知條件得出方程組求解，有一定難度．