高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用最大值與最小值 蘇教選修PPT課件

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1、1.理解最值的概念，了解最值與極值的區(qū)別.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.學(xué)習(xí)目標(biāo)第1頁(yè)/共33頁(yè)欄目索引知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾第2頁(yè)/共33頁(yè) 知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)最值的概念如果在函數(shù)f(x)定義域I內(nèi)存在一點(diǎn)x0，使得對(duì)任意的xI，總有 ，那么稱(chēng)f(x0)為函數(shù)的定義域上的最大值.如果在函數(shù)f(x)定義域I內(nèi)存在一點(diǎn)x0，使得對(duì)任意的xI，總有 ，那么稱(chēng)f(x0)為函數(shù)在定義域上的最小值.答案f(x)f(x0)f(x)f(x0)第3頁(yè)/共33頁(yè)思考函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？答案函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是整

2、個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值.函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值.當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大值(或極小值)，則可以判定f(x)在該點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無(wú)窮區(qū)間.答案第4頁(yè)/共33頁(yè)知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)的最值1.求f(x)在區(qū)間a，b上的最

3、值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；(2)將(1)中求得的 與 比較，得到f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值.2.函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a，b)的最值在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值；若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I上只有一個(gè)極值，且是極大(小)值，則這個(gè)極大(小)值就是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大(小)值.答案極值f(a)，f(b)第5頁(yè)/共33頁(yè)思考(1)函數(shù)f(x) 在(1,2)上有最值嗎？答案沒(méi)有.(2)函數(shù)f(x)ln x在1,2上有最值嗎？答案有最大值ln 2，最小值0.答案返回第6頁(yè)/共33頁(yè) 題型探究 重點(diǎn)突破解析答案題型一求函數(shù)的最值例1求下列各函數(shù)的

4、最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；解f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)及f(x)的變化情況如下表：x3(3， 1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x) 000 f(x)60極大值4極小值3極大值45當(dāng)x3時(shí)，f(x)取最小值60；當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)取最大值4.第7頁(yè)/共33頁(yè)解析答案(2)f(x)x33x26x2，x1,1.解f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1內(nèi)恒大于0，f(x)在1,1上為增函數(shù).故x1時(shí)，f(x)最小值12；x1時(shí)，f(x)最大值2.即f(x)的最小值為1

5、2，最大值為2.反思與感悟一般地，在閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)f(x)必有最大值與最小值，在開(kāi)區(qū)間(a，b)上的連續(xù)函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值.反思與感悟第8頁(yè)/共33頁(yè)解析答案跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)ax3bxc(a0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x6y70垂直，導(dǎo)函數(shù)f(x)的最小值為12.(1)求a，b，c的值；解f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x).即ax3bxcax3bxc，c0.f(x)3ax2b的最小值為12，a0，b12.又直線(xiàn)x6y70的斜率為 ，因此f(1)3ab6，故a2，b12，c0.第9頁(yè)/共33頁(yè)解析答案(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并

6、求函數(shù)f(x)在1,3上的最大值和最小值.當(dāng)x3時(shí)，f(x)取得最大值為18.第10頁(yè)/共33頁(yè)解析答案題型二含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題例2已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa)，求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值.反思與感悟第11頁(yè)/共33頁(yè)解f(x)3x22ax.f(x)在0,2上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(2)84a.f(x)在0,2上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(0)0.反思與感悟第12頁(yè)/共33頁(yè)反思與感悟由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，所以解決這類(lèi)問(wèn)題常常需要分類(lèi)討論，并結(jié)合不等式的知識(shí)進(jìn)行求解.第13頁(yè)/共33頁(yè)解析答案跟蹤訓(xùn)練2a

7、為常數(shù)，求函數(shù)f(x)x33ax(0 x1)的最大值.第14頁(yè)/共33頁(yè)解f(x)3x23a3(x2a).若a0，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，有最大值f(0)0.解析答案第15頁(yè)/共33頁(yè)則當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有最大值f(1)3a1.綜上可知，當(dāng)a0，x0時(shí)，f(x)有最大值0；當(dāng)a1，x1時(shí)，f(x)有最大值3a1.第16頁(yè)/共33頁(yè)解析答案題型三函數(shù)最值問(wèn)題的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x 與x1處都取得極值.(1)求a，b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；第17頁(yè)/共33頁(yè)解對(duì)f(x)x3ax2bxc

8、求導(dǎo)，得f(x)3x22axb.f(x)3x2x2(3x2)(x1).當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：第18頁(yè)/共33頁(yè)解析答案(2)若對(duì)x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范圍.而f(2)2c，則f(2)2c為最大值.要使f(x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)2c，解得c1或c2.c的取值范圍是(，1)(2，).反思與感悟第19頁(yè)/共33頁(yè)反思與感悟由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍是一種常見(jiàn)的題型，這種題型的解法有很多，其中最常用的方法就是分離參數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，在求函數(shù)最值時(shí)，可以借助導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.第20頁(yè)/共33頁(yè)解析答案跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x

9、)2x39x212x8c，(1)若對(duì)任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍；解f(x)6x218x126(x1)(x2).當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2,3)時(shí)，f(x)0.當(dāng)x1時(shí)，f(x)取極大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,3時(shí)，f(x)的最大值為f(3)98c.對(duì)任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9.c的取值范圍為(，1)(9，).當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)0；第21頁(yè)/共33頁(yè)解析答案(2)若對(duì)任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍.解由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取

10、值范圍為(，19，).第22頁(yè)/共33頁(yè)例4求函數(shù)f(x)x32x21在區(qū)間1,2上的最大值與最小值.易錯(cuò)易混求最值時(shí)因忽略極值與區(qū)間端點(diǎn)值的對(duì)比致誤解析答案返回防范措施第23頁(yè)/共33頁(yè)錯(cuò)解由已知得f(x)3x24x，當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在x0處取得最大值f(0)1，錯(cuò)因分析求出函數(shù)的極值后，要與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較后方可確定函數(shù)的最值，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.解析答案防范措施第24頁(yè)/共33頁(yè)正解由已知得f(x)3x24x.當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(0)1，又f(1)2，f(2)1，函數(shù)f(x)的最

11、大值是1，最小值是2.防范措施第25頁(yè)/共33頁(yè)若連續(xù)函數(shù)yf(x)在a，b上為單調(diào)函數(shù)，則其最值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得；若該函數(shù)在a，b上不單調(diào)，即存在極值點(diǎn)，則最值可能在端點(diǎn)處取得，也可能在極值點(diǎn)處取得.返回防范措施第26頁(yè)/共33頁(yè) 當(dāng)堂檢測(cè)解析答案1.函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，則f(x)_0.(填“”或“”或“”)解析據(jù)題f(x)為常數(shù)函數(shù)，故f(x)0.第27頁(yè)/共33頁(yè)解析答案2.函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間3,0上的最大值，最小值分別是_.解析f(x)3x23.令f(x)0，即3x230，解得x1.當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1,1)時(shí)，f

12、(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在x1處取得極大值，f(x)極大值3，在x1處取得極小值，f(x)極小值1.而端點(diǎn)處的函數(shù)值f(3)17，f(0)1，比較可得f(x)的最大值為3，最小值為17.3， 17第28頁(yè)/共33頁(yè)3.函數(shù)f(x)x33x(|x|1)_(填“有”或“無(wú)”)最大值.解析f(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無(wú)最大值和最小值.解析答案無(wú)第29頁(yè)/共33頁(yè)解析答案解析f(x)ex(sin xcos x).第30頁(yè)/共33頁(yè)解析答案5.已知f(x)2x36x2a(a為常數(shù))在2,2上有最小值

13、3，那么f(x)在2,2上的最大值是_.解析令f(x)6x212x0，解得x0或x2.當(dāng)x(2,0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0，x2，0,2對(duì)應(yīng)的f(x)的值分別為a40，a，a8.因?yàn)閍40a8a，所以a40為最小值，a為最大值，則a403，a43，故f(x)在2,2上的最大值是43.43第31頁(yè)/共33頁(yè)課堂小結(jié)返回1.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎(chǔ)上，還需注意：對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)；研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值；比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小時(shí)，有時(shí)需要利用作差或作商，甚至要分類(lèi)討論.2.解決恒成立問(wèn)題常用的方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.如：f(x)m恒成立，只需f(x)minm成立即可，也可轉(zhuǎn)化為h(x)f(x)m，這樣就是求h(x)min0的問(wèn)題.若對(duì)某區(qū)間D上恒有f(x)g(x)成立，可轉(zhuǎn)化為h(x)f(x)g(x)，求h(x)min0的問(wèn)題.第32頁(yè)/共33頁(yè)