材料力學-5梁的彎曲應力.ppt

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1 第五章彎曲應力 材料力學 5 純彎曲 1 彎曲構件橫截面上的 內力 應力 平面彎曲時橫截面s純彎曲梁 橫截面上只有M而無Q的情況 平面彎曲時橫截面t橫力彎曲 橫截面上既有Q又有M的情況 2 研究方法 縱向對稱面 P1 P2 例如 某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時 該段梁的變形稱為純彎曲 如AB段 P P a a A B 純彎曲 PureBending 5 a F 純彎曲 梁彎曲變形時 橫截面上只有彎矩而無剪力 橫力彎曲 梁彎曲變形時 橫截面上既有彎矩又有剪力 例 火車輪軸 6 1 研究對象 等直細長對稱截面梁 2 前提 a 小變形 在彈性變形范圍內 b 滿足平面彎曲條件 c 純彎曲 3 實驗觀察 凹邊縮短 凸邊伸長 橫截面上只有正應力無剪應力 縱向纖維間無擠壓作用 7 中性層 桿件彎曲變形時 其縱向線段既不伸長又不縮短的曲面 中性軸 中性層與橫截面的交線 4 平面截面假設 橫截面變形后保持為平面 只是繞中性軸旋轉了一角度 8 1 變形分布規(guī)律 y y 任意縱向纖維至中性層的距離 中性層的曲率半徑 縱向纖維ab 變形前 變形后 5 2梁的彎曲正應力 o 曲率中心 9 所以縱向纖維ab的應變?yōu)?橫截面上距中性軸為y處的軸向變形規(guī)律 曲率 則 曲率 則 當 a 10 2 應力分布規(guī)律 在線彈性范圍內 應用胡克定律 b 對一定材料 E C 對一定截面 橫截面上某點處的應力與此點距中性軸的距離y成比例 當 11 3 由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應力計算公式 y 對稱軸 由得 0 將 b 式代入 得 因此z軸通過截面形心 即中性軸通過形心 并垂直于載荷作用面 c 12 考慮平衡條件 為截面對中性軸的慣性矩 e 13 可得撓曲線的曲率方程 為常數(shù) 撓曲線是一條圓弧線 抗彎剛度 正應力的計算公式為 橫截面上最大正應力為 截面的抗彎截面模量 反映了截面的幾何形狀 尺寸對強度的影響 14 簡單截面的慣性矩 矩形截面 園形截面 15 矩形 圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量 豎放 b h h b 平放 若h b 則 16 17 注意 1 要特別注意正應力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律 在中性軸上為零 而在梁的上下邊緣處正應力最大 3 必須熟記矩形截面 圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式 2 梁在中性軸的兩側分別受拉或受壓 正應力的正負號 拉或壓 可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來確定 18 梁的彎矩圖如圖5 8b所示 由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大 其值為 例圖5 8所示 一受均布載荷的懸臂梁 其長l 1m 均布載荷集度q 6kN m 梁由10號槽鋼制成 由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz 25 6cm4 試求此梁的最大拉應力和最大壓應力 1 作彎矩圖 求最大彎矩 19 因危險截面上的彎矩為負 故截面上緣受最大拉應力 其值為 在截面的下端受最大壓應力 其值為 2 求最大應力 20 1 C截面上K點正應力 2 C截面上最大正應力 3 全梁上最大正應力 4 C截面的曲率半徑 已知E 200GPa 1 求支反力 壓應力 例題 解 求 21 2 C截面最大正應力 C截面彎矩 C截面慣性矩 解 22 3 全梁最大正應力 最大彎矩 截面慣性矩 解 23 4 C截面曲率半徑 C截面彎矩 C截面慣性矩 解 已知E 200GPa 24 梁的最大正應力 梁的危險截面 梁的危險截面在該梁內彎矩最大的截面上 危險截面位于梁中部 危險截面位于梁根部 梁的最大正應力 梁的最大正應力發(fā)生在危險截面上離中性軸最遠處 5 3梁彎曲時的強度條件 25 彎曲正應力強度條件 可解決三方面問題 1 強度校核 即已知檢驗梁是否安全 2 設計截面 即已知可由確定截面的尺寸 3 求許可載荷 即已知可由確定 Mmax 梁內最大彎矩 WZ 危險截面抗彎截面模量 材料的許用應力 26 注意 27 作彎矩圖 尋找需要校核的截面 要同時滿足 分析 非對稱截面 要尋找中性軸位置 T型截面鑄鐵梁 截面尺寸如圖示 試校核梁的強度 例題 MPa 160 MPa 30 c t s s 28 2 求截面對中性軸z的慣性矩 1 求截面形心 解 29 4 B截面校核 3 作彎矩圖 30 5 C截面要不要校核 4 B截面校核 3 作彎矩圖 31 5 4彎曲時的切應力 1 矩形截面梁 2 工字形截面梁 32 3 圓形 圓環(huán)形截面梁 33 梁的剪應力強度條件是 下列情況須進行剪應力強度校核 若梁較短或載荷很靠近支座 梁的最大彎矩Mmax可能很小而最大剪力Fs max卻相對較大 如果據(jù)此時的Mmax選擇截面尺寸 就不一定能滿足剪應力強度條件 對于一些組合截面梁 如其腹板的寬度b相對于截面高度很小時 橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應力 對于木梁 它在順紋方向的抗剪能力較差 而由剪應力互等定理 在中性層上也同時有 max作用 因而可能沿中性層發(fā)生剪切破壞 所以需要校核其剪應力強度條件 34 解 畫內力圖求危面內力 例2矩形 b h 0 12m 0 18m 截面木梁如圖 7MPa 0 9MPa 試求最大正應力和最大剪應力之比 并校核梁的強度 A B L 3m 35 求最大應力并校核強度 應力之比 36 5 6梁的優(yōu)化設計 彎曲正應力強度條件 在 一定時 提高彎曲強度的主要途徑 一 選擇合理截面 1 矩形截面中性軸附近的材料未充分利用 工字形截面更合理 1 根據(jù)應力分布的規(guī)律選擇 37 2 為降低重量 可在中性軸附近開孔 38 2 根據(jù)截面模量選擇 為了比較各種截面的合理性 以來衡量 越大 截面越合理 d h 39 3 根據(jù)材料特性選擇 塑性材料 宜采用中性軸為對稱軸的截面 脆性材料 宜采用中性軸為非對稱軸的截面 例如T字形截面 即使最大拉 壓應力同時達到許用應力值 40 二 合理安排載荷和支承的位置 以降低值 1 載荷盡量靠近支座 41 42 2 將集中力分解為分力或均布力 43 3 合理安排支座位置及增加支座 減小跨度 減小 44 三 選用合理結構 1 等強度梁 設計思想 按M x 的變化來設計截面 采用變截面梁 橫截面沿著梁軸線變化的梁 增加支座 45 例如矩形截面懸臂梁 設h const b b x 則 x 0時 b 0 但要有足夠的面積承受剪力 因此 而 沿梁軸線呈線性分布 46 本章結束