材料力學(xué)：第六章彎曲變形

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1、Page1： 形心坐標(biāo)：形心坐標(biāo)：靜靜 矩：矩： ：上一講回顧上一講回顧zAyASydASzdA ,yzccSSyzAA 2pAIdA 22,zyAAIy dAIz dA 02zzIIa APage2：矩形截面梁：矩形截面梁： S()( )zzF SyI b 22S4123)(hybhFy AFSmax23 切應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布切應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸SFCzy2h2h2b2by O max Page3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件： 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件： s ,s , 聯(lián)合作用聯(lián)合作用強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件（詳見

2、強(qiáng)度理論）（詳見強(qiáng)度理論）maxmax zMWs ss s ,maxmaxmax SzzF SI ：Page4將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的位置，將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的位置， 并注意塑性與脆性材料的差異并注意塑性與脆性材料的差異,s ss s z zM MM My y依依據(jù)據(jù)= =W WI I一、梁的合理截面形狀一、梁的合理截面形狀Cyzs s 2zzccIIy A Page5塑性材料塑性材料 上上下下對(duì)對(duì)稱稱脆性材料梁脆性材料梁ts ss s c截面等強(qiáng)設(shè)計(jì)截面等強(qiáng)設(shè)計(jì)ccttyys ss s 中性軸偏于受拉一側(cè)中性軸偏于受拉一側(cè)Page6 注重彎曲強(qiáng)度，兼顧腹板的剪切強(qiáng)度與穩(wěn)定性注重彎

3、曲強(qiáng)度，兼顧腹板的剪切強(qiáng)度與穩(wěn)定性腹板不能過薄，以避免剪切破壞與失穩(wěn)腹板不能過薄，以避免剪切破壞與失穩(wěn)Page7二、二、變截面梁與等強(qiáng)度梁變截面梁與等強(qiáng)度梁( ) ( )M xW xs s 彎曲等強(qiáng)條件彎曲等強(qiáng)條件FxxM )(6)()(2xbhxW 6)(s sbFxxh S3( ) 2( )F xbh x 123)(hbFxh FxF )(S等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁各截面具有同樣強(qiáng)度的梁各截面具有同樣強(qiáng)度的梁剪切等強(qiáng)條件剪切等強(qiáng)條件maxmaxzMWs s Page82lF2lx等強(qiáng)度梁工程實(shí)例等強(qiáng)度梁工程實(shí)例Page9三、梁的合理受力三、梁的合理受力 合理安排約束合理安排約束 a = ? F 最

4、大最大maxmaxzMWs s Page10 合理安排加載方式合理安排加載方式盡量分散載荷盡量分散載荷Page11 加配重加配重laaFlaaFPPMFl/4+MFl/4-PaPaPa+-Page12 6-1 6-1 引言引言 6-2 6-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程6-3 6-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法6-5 6-5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法6-7 6-7 梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)6-6 6-6 簡單靜不定梁簡單靜不定梁6-4 6-4 計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法Page13 6-1 6-1 引引 言言6-2

5、6-2 6-3 6-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 6-5 6-5 計(jì)算梁位移的積分法（一）計(jì)算梁位移的積分法（一）第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 Page14目的目的: : 1 1、 解決梁的剛度問題解決梁的剛度問題 2 2、 求解靜不定梁求解靜不定梁3 3、 為研究穩(wěn)定問題打基礎(chǔ)為研究穩(wěn)定問題打基礎(chǔ)拉壓桿的變形：伸長或縮短拉壓桿的變形：伸長或縮短 (D Dl) )圓軸扭轉(zhuǎn)的變形：相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)圓軸扭轉(zhuǎn)的變形：相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng) ( (扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角j j ) )彎曲變形：怎樣描述？彎曲變形：怎樣描述？回顧：回顧：Page15 梁變形的描述：梁變形的描述：ABlx)(xw)(x)(x lxF整體描述

6、整體描述: : 撓度隨坐標(biāo)變化的方程撓度隨坐標(biāo)變化的方程撓曲軸方程撓曲軸方程 w= w(x)空間曲線空間曲線平面曲線平面曲線 撓曲軸撓曲軸(斜彎曲斜彎曲)( (對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲, ,平面彎曲平面彎曲) )Page16 用中性層曲率表示的彎曲變形公式用中性層曲率表示的彎曲變形公式 由高等數(shù)學(xué)知識(shí)由高等數(shù)學(xué)知識(shí) 232)(1)()(1xwxwx 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程 EIxMxwxw 232)(1)( 二階非線性常微分方程二階非線性常微分方程EIxMx)()(1 EIM 1（純彎純彎）（推廣到非純彎推廣到非純彎）方程推導(dǎo)方程推導(dǎo)Page17 方程簡化方程簡化 小變形小變形正負(fù)號(hào)確定正負(fù)號(hào)確

7、定確定坐標(biāo)系確定坐標(biāo)系: :2()1w 0w ( (從數(shù)學(xué)從數(shù)學(xué)) ) 0M ( (本書規(guī)定本書規(guī)定) ) 0w 0M w w向上為正向上為正xwx 3 22( )1( )M xwxEIw x 211w MxwEI 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程方程取正號(hào)方程取正號(hào)正彎矩正彎矩負(fù)彎矩負(fù)彎矩Page18pmaxs ss s 小變形小變形應(yīng)用條件：應(yīng)用條件：22d wM (x)=dxEI撓曲軸的近似微分方程撓曲軸的近似微分方程正彎矩正彎矩xwo 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 w 向上，彎矩下凹為正向上，彎矩下凹為正土木建筑部門，采用土木建筑部門，采用坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 w 向下坐標(biāo)系向下坐標(biāo)系22d wM (x)

8、=dxEI 小小 結(jié)結(jié)Page19 DCxdxEIxMw C、D為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。 EIxMw CdxEIxMdxdw 一、梁的撓曲軸近似微分方程方程一、梁的撓曲軸近似微分方程方程Page20 DCxdxEIxMw 位移邊界條件位移邊界條件w = 0w = 0w = 0 = 0二、位移邊界條件與連續(xù)條件二、位移邊界條件與連續(xù)條件自由端：無位移邊界條件。自由端：無位移邊界條件。位移連續(xù)與光滑條件位移連續(xù)與光滑條件ACDMFB$撓曲軸在撓曲軸在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑點(diǎn)連續(xù)且光滑連續(xù)：連續(xù)：wB左左= wB右右光滑：光滑： B B左左 =

9、 B B右右 Page210,0AAw 自由端：自由端：無位移邊界條件無位移邊界條件00CCCCww 左左右右左左右右BBww 左左右右固定端：固定端： 連續(xù)條件：連續(xù)條件：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件邊界條件：邊界條件：例例1 1：中間支撐中間支撐C C：,EEEEww 左左右右左左右右E E點(diǎn)：點(diǎn)：中間鉸中間鉸B B：ABCDFE Page22例例2 2：已知已知EI, EI, 建立該梁的撓曲軸方程建立該梁的撓曲軸方程 0MwxEI ABx0M 0MwxxCEI 202Mw xxCxDEI 解解:2、撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 0M

10、xM 1、彎矩方程彎矩方程: :Page23ABx0M3、積分常數(shù)的確定積分常數(shù)的確定 0202MwxxCEIMw xxCxDEI w(0) = 0D = 0w(0) = 0C = 0 200,2MMw xxxxEIEI Page2401MxwEI l 例例3:3:已知已知EI EI , , 建立該梁的撓曲軸方程建立該梁的撓曲軸方程 021MxwEIl 30116MxwC xDEI l 3202262MxxwC xDEIl 2/ l2/ l0MABlM /0lM /0解解: 計(jì)算約束反力，建立坐標(biāo)系。計(jì)算約束反力，建立坐標(biāo)系。AB段段BC段段xlMxM0)( 00)(MxlMxM xPage2

11、5邊界和連續(xù)條件邊界和連續(xù)條件: 1222llww ( (連續(xù)條件連續(xù)條件) ) 1222llww ( (光滑條件光滑條件) ) 2201424M xwxxllEI 0224MxlwxEIl 2/ l2/ l0MABlM /0lM /0 100w 20wl ( (邊界條件邊界條件) ) 四個(gè)方程定四個(gè)方程定4個(gè)常數(shù)個(gè)常數(shù)lM /02/ l2/ l0MABlM /0 x1x21222llww ( (光滑條件光滑條件) ) Page26繪制撓曲軸的大致形狀繪制撓曲軸的大致形狀 彎矩圖過零點(diǎn)處為撓曲軸拐點(diǎn)彎矩圖過零點(diǎn)處為撓曲軸拐點(diǎn) 支座性質(zhì)限定該處線位移和支座性質(zhì)限定該處線位移和 角位移角位移1.

12、繪制彎矩圖。繪制彎矩圖。2. 繪制撓曲軸的大致形狀繪制撓曲軸的大致形狀 彎矩圖符號(hào)定撓曲軸凹凸性彎矩圖符號(hào)定撓曲軸凹凸性 凹凹凸凸凹凹直線直線撓曲軸大撓曲軸大致形狀致形狀43qa+_4qaFs42qa+322qaMa2qaADaaqBC43qa4qa例例4 4：Page276-5 6-5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 疊加原理成立的前提疊加原理成立的前提: :M(x)為載荷為載荷(P, q, Me)的線性齊次函數(shù)的線性齊次函數(shù)2 2、梁的變形很?。涣旱淖冃魏苄?；( (不影響其它載荷的作用效果不影響其它載荷的作用效果) )1 1、應(yīng)力不超過比例極限；應(yīng)力不超過比例極限；( (線彈性線彈性

13、) )梁的變形與載荷成線性關(guān)系梁的變形與載荷成線性關(guān)系 MxwEI 積分后，積分后，w w和和w w仍然是仍然是載荷載荷(P, q, M(P, q, Me e) )的線性齊次函數(shù)的線性齊次函數(shù)Page28兩類情況：兩類情況： 疊加法疊加法1 1分解載荷分解載荷：利用利用(p-343)(p-343)附錄附錄E的表的表。 一、一、 分解載荷，將各個(gè)載荷引起的位移疊加；分解載荷，將各個(gè)載荷引起的位移疊加； 分解變形，將各段變形疊加。分解變形，將各段變形疊加。例例1：EI=常數(shù)，求常數(shù)，求Aw，Al0MPqAPage29查表查表, ,p 343343AM lFlqlwEIEIEI2340( )238 Al0MAlFAlqAl0MFq223026AM lFlqlEIEIEI ( )AwM lEI0M lEI022qlEI36qlEI480MFqAEIFl22EIFl33疊加：疊加：