高考數(shù)學復習 17-18版 第7章 第36課 數(shù)列求和

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1、 第36課 數(shù)列求和 [最新考綱] 內容 要求 A B C 數(shù)列求和 √ 數(shù)列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和 (1)等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝ 2．分組轉化法 把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解． 3．裂項相消法 (1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和． (2)裂項時常用的三種變形： ①＝－； ②＝； ③＝－. 4．錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個

2、等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解． 5．倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解． 6．并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)如果數(shù)列{an}為

3、等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(　　) (2)當n≥2時，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(　　) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于____________。 　[∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.] 3．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n

4、項和Sn＝__________. 2n＋1－2＋n2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.] 4．(2017·南京模擬)數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項之和為________． 100　[由題意可知，S100＝－1＋3－5＋7－…－197＋199 ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199) ＝2＋2＋…＋2 ＝2×50＝100.] 5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________. 4－　[設S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×， 則S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×. 兩式相減得S

5、＝3×＋－. ∴S＝3＋－ ＝3＋－＝4－.] 分組轉化求和 　(2016·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． [解]　(1)設等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)． 設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)由(1)

6、知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. [規(guī)律方法]　分組轉化法求和的常見類型 (1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項和． (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 易錯警示：注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論． [變式訓練1]　(2016·浙江高考)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4， an＋1＝2S

7、n＋1，n∈N＋. (1)求通項公式an； (2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和． [解]　(1)由題意得則 又當n≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N＋. (2)設bn＝|3n－1－n－2|，n∈N＋，則b1＝2，b2＝1. 當n≥3時，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3， 當n≥3時，Tn＝3＋－＝， 所以Tn＝ 裂項相消法求和 　若An和Bn分別表示數(shù)列{an}和{bn}的前

8、n項的和，對任意正整數(shù)n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)記cn＝，求{cn}的前n項和Sn. 【導學號：62172195】 [解]　(1)由于an＝2(n＋1)，∴{an}為等差數(shù)列，且a1＝4. ∴An＝＝＝n2＋3n， ∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n， 當n＝1時，b1＝B1＝8， 當n≥2時，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2.由于b1＝8適合上式，∴bn＝6n＋2. (2)由(1)知cn＝＝ ＝， ∴Sn＝ ＝ ＝－. [規(guī)律方法]　

9、1.裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項，從而達到求和的目的． 2．消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項． [變式訓練2]　Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和． [解]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，① 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋

10、1－an)． 由an>0，得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝ . 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝. 錯位相減法求和 　(2016·山東高考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. [解]　(1)由題意知當n≥2時，an＝Sn－

11、Sn－1＝6n＋5. 當n＝1時，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5. 設數(shù)列{bn}的公差為d. 由即 解得所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 兩式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3× ＝－3n·2n＋2， 所以Tn＝3n·2n＋2. [規(guī)律方法]　1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列

12、{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，若{bn}的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況討論． 2．在書寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，即公比q的同次冪項相減，轉化為等比數(shù)列求和． [變式訓練3]　已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3＝6，S5＝15. (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 【導學號：62172196】 [解]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，首項為a1. ∵S3＝6，S5＝15， ∴即解得 ∴{an}的通項公式為an ＝

13、a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n. (2)由(1)得bn＝＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋＋，① ①式兩邊同乘， 得 Tn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－－， ∴Tn＝2－－. [思想與方法] 解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路： (1)轉化的思想，即將一般數(shù)列設法轉化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成． (2)不能轉化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、倒序相加法等來求和． [易錯與防范] 1．直接應用公式求和時，要注意公式的應用范圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應對其公比是否為1進行

14、討論． 2．利用裂項相消法求和的注意事項： (1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項． (2)將通項裂項后，有時需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差與系數(shù)之積與原通項相等．如：若{an}是等差數(shù)列， 則＝，＝. 課時分層訓練(三十六) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值等于________． n2＋1－　[該數(shù)列的通項公式為an＝(2n－1)＋， 則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ＝n2＋1－.] 2．在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，S

15、n為{an}的前n項和．若S10＝50，則數(shù)列{an＋an＋1}的前10項和為________． 120　[{an＋an＋1}的前10項和為a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.] 3．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了________里． 96　[由題意，知每天所走路程形成以

16、a1為首項，公比為的等比數(shù)列，則＝378，解得a1＝192，則a2＝96，即第二天走了96里．] 4．已知數(shù)列5,6,1，－5，…，該數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前16項之和S16等于________. 【導學號：62172197】 7　[根據(jù)題意這個數(shù)列的前8項分別為5,6,1，－5，－6，－1,5,6，發(fā)現(xiàn)從第7項起，數(shù)字重復出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6，前6項和為5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0. 又因為16＝2×6＋4，所以這個數(shù)列的前16項之和S16＝2×0＋7＝7.] 5．已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點(4,

17、2)，令an＝，n∈N＋，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 017＝________. －1　[由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，則f(x)＝x. ∴an＝＝＝－， S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.] 6．設數(shù)列{an }的前n項和為Sn，且an＝sin，n∈N＋，則S2 016＝__________. 0　[an＝sin，n∈N＋，顯然每連續(xù)四項的和為0. S2 016＝S4×504＝0.] 7．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項公式為

18、2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________. 【導學號：62172198】 2n ＋1－2　[∵an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n. ∴Sn＝＝2n＋1－2.] 8．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N＋)，則數(shù)列的前n項和為__________． 　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，則數(shù)列的前n項和為＋＋…＋

19、＝＝.] 9．(2017·南通三模)設數(shù)列{an}滿足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N＋)，則(akak＋1)的值為________． 　[∵(1－an＋1)(1＋an)＝1， ∴an－an＋1＝anan＋1， ∴－＝1.又a1＝1，∴＝1， ∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴＝1＋(n－1)×1＝n. ∴an＝. ∴ak·ak＋1＝＝－， ∴(akak＋1)＝a1a2＋a2a3＋…＋a100a101 ＝1－＋－＋…＋－ ＝1－ ＝.] 10．(2017·蘇州模擬)已知{an}是等差數(shù)列，a5＝15，a10＝－10，記數(shù)列{an}的第n項到第n＋5項

20、的和為Tn，則|Tn|取得最小值時的n的值為________． 5或6　[由a5＝15，a10＝－10，得d＝＝＝－5， 則an＝a5＋(n－5)×(－5)＝40－5n， ∴an＋5＝40－5(n＋5)＝15－5n， ∴Tn＝＝165－30n. 當|Tn|＝0時，n＝，又n∈N＋故當n＝5或6時，|Tn|取得最小值．] 二、解答題 11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N＋)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)設數(shù)列{an }的前n項和為Sn，證明：Sn<2. 【導學號：62172199】 [解]　(1)∵當n≥2時

21、，由(n＋1)an＝(n－1)an－1， 得＝，＝，…，＝. 將上述式子相乘得＝. 又a1＝＝1， ∴an＝. (2)證明：∵an＝＝2， ∴Sn＝2 ＝2＝2－， ∴Sn<2. 12．(2016·全國卷Ⅱ)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，S7＝28.記bn＝[lg an]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101； (2)求數(shù)列{bn}的前1 000項和． [解]　(1)設{an}的公差為d，據(jù)已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通項公式為an＝n. b1＝[lg 1]＝

22、0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2. (2)因為bn＝ 所以數(shù)列{bn}的前1 000項和為1×90＋2×900＋3×1＝1 893. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，則{an}的前100項和為________． 1 289　[由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an， 得a2n＋a2n＋1＝n＋1， ∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99) ＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276， ∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25) ＝2＋(

23、12－a12)＝14－(1＋a6) ＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13， ∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289.] 2．已知等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且當n≥3時，a4a2n－4＝102n，則數(shù)列l(wèi)g a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n－1lg an，…的前n項和Sn＝________. (n－1)·2n＋1　[∵等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且當n≥3時， a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n， ∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1， ∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·

24、2n－1，① 2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，② ∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.] 3．設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N＋)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)當n≥2時，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3， 兩式相減，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an， ∴an＋1＝3an，∴＝3. 當n＝1時，a1＝3，a2＝2S1＋

25、3＝2a1＋3＝9，則＝3. ∴數(shù)列{an}是以a1＝3為首項，公比為3的等比數(shù)列． ∴an＝3×3n－1＝3n. (2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n， ∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，① 3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，② ①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1 ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1 ＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1 ＝－6－(2n－2)·3n＋1. ∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3. 法二：由(

26、1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n. ∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n] ＝(n－1)·3n＋1＋3. 4．(2017·無錫期中)已知數(shù)列{an}，{bn}是正項數(shù)列，{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，{bn}的前n項和為Sn(n∈N＋)，且a1＝b1＝1，a2＝b2＋1，a3＝b3－2. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn； (3)設dn＝，若dn≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　(1)設公差為d，公比為q，由已知得a1＝b1＝1，d＝q,2d＝q2－3， 解之得：d＝q＝3，an＝3n－2.又因bn>0，故bn＝3n－1. (2)Sn＝＝＝， 所以cn＝＝2， Tn＝2＝2. (3)dn＝＝， dn＋1－dn＝－＝. 當n＝1,2時，dndn＋1， 又因為d1＝，d2＝，d3＝，d4＝，所以m的取值范圍為.