2018屆高三數學一輪復習： 第2章 第10節(jié) 變化率與導數、導數的計算

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1、 第十節(jié)　變化率與導數、導數的計算 [考綱傳真]　1.了解導數概念的實際背景.2.通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義.3.能根據導數的定義求函數y＝C(C為常數)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的導數.4.能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，并了解復合函數求導法則，能求簡單復合函數(僅限于形如f(ax＋b)的復合函數)的導數． 1．導數的概念 (1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數： ①定義：稱函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ＝ 為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ . ②幾

2、何意義：函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)函數f(x)的導函數：稱函數f′(x)＝ 為f(x)的導函數． 2．基本初等函數的導數公式 原函數 導函數 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x

3、)＝ln x f′(x)＝ 3.導數的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 4．復合函數的導數 復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積． 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同．(　　) (2)求f′(x0)時，可先求f(x0)再求f′(x0

4、)．(　　) (3)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點．(　　) (4)若f(x)＝e2x，則f′(x)＝e2x.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)有一機器人的運動方程為s(t)＝t2＋(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t＝2時的瞬時速度為(　　) 【導學號：01772075】 A.　　　 B.　　 C.　　　 D. D　[由題意知，機器人的速度方程為v(t)＝s′(t)＝2t－，故當t＝2時，機器人的瞬時速度為v(2)＝2×2－＝.]　 3．(2016·天津高考)已知函數f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導

5、函數，則f′(0)的值為________． 3　[因為f(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3.] 4．(2016·豫北名校期末聯(lián)考)曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程為________． 5x＋y＋2＝0　[∵y′＝－5ex，∴所求曲線的切線斜率k＝y(tǒng)′＝－5e0＝－5，∴切線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.] 4．(2015·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝________. 1　[∵f′(x)＝

6、3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切線過點(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.] 導數的計算 　求下列函數的導數： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)y＝x－sincos； (4)y＝ln(2x－9)． [解]　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·＝ex. (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. (3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x. (4)令u＝2x－9，y＝ln u， 則y′x＝y(tǒng)

7、′u·u′x. 因此y′＝·(2x－9)′＝. [規(guī)律方法]　1.熟記基本初等函數的導數公式及運算法則是導數計算的前提，求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量提高運算速度，減少差錯． 2．如函數為根式形式，可先化為分數指數冪，再求導． 3．復合函數求導，應先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元處理． [變式訓練1]　(1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，則x0等于(　　) A．e2　　　 B.1　　 C.ln 2　　　 D.e (2)(2015·天津高考)已知函數f(x)＝axln x，x∈(

8、0，＋∞)，其中a為實數，f′(x)為f(x)的導函數．若f′(1)＝3，則a的值為________． (1)B　(2)3　[(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x×＝2 018＋ln x，故由f′(x0)＝2 018，得2 018＋ln x0＝2 018，則ln x0＝0，解得x0＝1. (2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)． 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.] 導數的幾何意義 ?角度1　求切線方程 　已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程． [思路點撥]　(

9、1)點P(2,4)是切點，先利用導數求切線斜率，再利用點斜式寫出切線方程； (2)點P(2,4)不一定是切點，先設切點坐標為，由此求出切線方程，再把點P(2,4)代入切線方程求x0. [解]　(1)根據已知得點P(2,4)是切點且y′＝x2， ∴在點P(2,4)處的切線的斜率為y′＝4，3分 ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.5分 (2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A， 則切線的斜率為y′＝x， ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋.7分 ∵點P(2,4)在切線上， ∴4＝2x－x＋，

10、即x－3x＋4＝0，9分 ∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分 ?角度2　求切點坐標 　若曲線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________． 【導學號：01772076】 (e，e)　[由題意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直線2x－y＋1＝0的斜率為2.設P(m，n)，則1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即點P的坐標為(e，e)．] ?角度3

11、　求參數的值 　(1)已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為(　　) A．1　　　 B.2 C.－1　　　 D.－2 (2)(2017·西寧復習檢測(一))已知曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－2　　　 B.2 C.－　　　 D. (1)B　(2)A　[(1)設直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點為(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)． 又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，則x0＝－1，所以a＝2. (2)由y′＝得曲線在點

12、(3,2)處的切線斜率為－，又切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝－2，故選A.] [規(guī)律方法]　1.導數f′(x0)的幾何意義就是函數y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率，切點既在曲線上，又在切線上，切線有可能和曲線還有其他的公共點． 2．曲線在點P處的切線是以點P為切點，曲線過點P的切線則點P不一定是切點，此時應先設出切點坐標． 易錯警示：當曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸時，函數在該點處的導數不存在，切線方程是x＝x0. [思想與方法] 1．f′(x0)是函數f(x)在x＝x0處的導數值；(f(x0))′是函數值f(x0)的導數，而函數值f(x0)是一個常數，其導數一定為0，即(f(x0))′＝0. 2．對于函數求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則．在實施化簡時，必須注意變換的等價性． [易錯與防范] 1．利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．復合函數的導數要正確分解函數的結構，由外向內逐層求導． 2．曲線y＝f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P(x0，y0)不一定為切點． 3．曲線的切線與二次曲線的切線的區(qū)別：曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點．