高考數(shù)學復習 17-18版 第2章 熱點探究課1 函數(shù)的圖象與性質

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1、 熱點探究課(一)　函數(shù)的圖象與性質 [命題解讀]　函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，函數(shù)的圖象與性質既是中學數(shù)學教學的重點，又是高考考查的重點與熱點，題型以填空題為主，既重視三基，又注重思想方法的考查，備考時，要透徹理解函數(shù)，尤其是分段函數(shù)的概念，切實掌握函數(shù)的性質，并加強函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想的應用意識． 熱點1　函數(shù)圖象的應用 利用函數(shù)圖象研究方程的解、不等式的解集等是高考的熱點，多以填空題的形式出現(xiàn)，屬中檔題目，主要考查學生的數(shù)形結合意識以及用圖象解答問題的能力． 　已知f(x)為偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝則不等式f(x－1)≤的解集為________. 【導

2、學號：62172064】 ∪　[畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖， 當0≤x≤時，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤； 當x＞時，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤， 故有≤x≤. 因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)≤的解集為∪，故f(x－1)≤的解集為∪.]　 [遷移探究1]　在本例條件下，若關于x的方程f(x)＝k有2個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍． [解]　由函數(shù)f(x)的圖象(圖略)可知，當k＝0或k>1時，方程f(x)＝k有2個不同的實數(shù)解，即實數(shù)k的取值范圍是k＝0或k>1. [遷移探究2]　在本例條件下，若函數(shù)y＝f(x)－k|x|恰有兩個零點，求實數(shù)k的

3、取值范圍． [解]　函數(shù)y＝f(x)－k|x|恰有兩個零點，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝k|x|的圖象恰有兩個交點，借助函數(shù)圖象(圖略)可知k≥2或k＝0，即實數(shù)k的取值范圍為k＝0或k≥2. [規(guī)律方法]　1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質，一定要注意其對應關系，如：圖象的左右范圍對應定義域，上下范圍對應值域，上升、下降趨勢對應單調性，對稱性對應奇偶性． 2．有關方程解的個數(shù)問題常常轉化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值或范圍． 3．有關不等式的問題常常轉化為兩個函數(shù)圖象的上、下關系來解． [對點訓練1]　(2017·鎮(zhèn)江期中)已知函數(shù)f(x)＝若0＜a

4、＜b＜c，滿足f(a)＝f(b)＝f(c)，則的范圍是________． (1,2)　[如圖所示， ∵0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)， ∴－log2a＝log2b，即ab＝1， 又由圖可知＜f(c)＜1， 故1＜＜2， ∴＝∈(1,2)．] 熱點2　函數(shù)性質的綜合應用 對函數(shù)性質的考查，以單調性、奇偶性和周期性為主，同時融合函數(shù)的零點問題，重在考查學生的等價轉化能力及數(shù)形結合意識，難度中等．熟練掌握上述性質是解此類題的關鍵． 角度1　單調性與奇偶性結合 　(2016·天津高考改編)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增．若實數(shù)a

5、滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是________． 　[因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.] 角度2　奇偶性與周期性結合 　(2017·南通二模)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對于任意的x∈[0，＋∞)，滿足f(x＋2)＝f(x)，若當x∈[0,2)時，f(x)＝|x2－x－1|，則函數(shù)y＝f(x)－1在區(qū)間[－2,4]上的零點個數(shù)為________． 7　[由f(x＋2)＝

6、f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期為2的函數(shù)，又x∈[0,2)時，f(x)＝|x2－x－1|， 且f(x)為偶函數(shù)，故f(x)在[－2,4]上的圖象如圖所示．由圖可知y＝f(x)與y＝1有7個交點，故函數(shù)y＝f(x)－1在區(qū)間[－2,4]上有7個零點．] 角度3　單調性、奇偶性與周期性結合 　已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則f(－25)，f(11)，f(80)的大小關系為________． f(－25)＜f(80)＜f(11)　[因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f

7、(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． 因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)， 所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)， 所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]　 [規(guī)律方法]　函數(shù)性質綜合應用問題的常見類型及解題方法 (1)函數(shù)單調性與奇偶性結合．注意函數(shù)單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性． (2)周期性與奇偶性結合．此類

8、問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解． (3)周期性、奇偶性與單調性結合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解． 熱點3　函數(shù)圖象與性質的綜合應用 函數(shù)的零點、方程的根和函數(shù)圖象的交點橫坐標之間的等價轉化思想和數(shù)形結合思想是解答此類問題的關鍵所在．因此在處理此類問題時，務必要結合題設信息實現(xiàn)知識轉化．以填空題壓軸題據多，求解時務必細心． 　(2015·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，g(x)＝則方程|f(x)＋g(x)|＝1實根的個數(shù)為______． 4　[令h(x)

9、＝f(x)＋g(x)， 則h(x)＝ 當1＜x＜2時， h′(x)＝－2x＋＝＜0， 故當1＜x＜2時h(x)單調遞減，在同一坐標系中畫出y＝|h(x)|和y＝1的圖象如圖所示． 由圖象可知|f(x)＋g(x)|＝1的實根個數(shù)為4.] [規(guī)律方法]　解決分段函數(shù)與函數(shù)零點的綜合問題的關鍵在于“對號入座”，即根據分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應的解析式求解零點，注意取值范圍內的大前提，以及函數(shù)性質和數(shù)形結合在判斷零點個數(shù)時的強大功能． [對點訓練2]　已知函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________. 【導學號

10、：62172065】 (－∞，1)　[函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，當a<1時，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)f(x)＝x＋a的圖象有兩個交點，即方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根．] 熱點探究訓練(一) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．(2017·鎮(zhèn)江期中)函數(shù)f(x)＝的定義域是________． (0，]　[由－lg x≥0得lg x≤，即0

11、增，故log2x≤log22＝log22＝.] 3．(2017·如皋中學高三第一次月考)若函數(shù)f(x)＝(e為自然對數(shù)的底數(shù))是奇函數(shù)，則實數(shù)m的值為________． 1　[由f(－x)＝－f(x)得＝－， 即1＋mex＝ex＋m，故m＝1.] 4．若函數(shù)f(x)＝asin 2x＋btan x＋1，且f(－3)＝5，則f(π＋3)＝________. 【導學號：62172067】 －3　[令g(x)＝asin 2x＋btan x，則g(x)是奇函數(shù)，且最小正周期是π，由f(－3)＝g(－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，則g(3)＝－g(－3)＝－4，則f(π＋3)＝g(π＋3)

12、＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.] 5．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，當x∈[0,2)時，f(x)＝x2，若對于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，則f(2)－f(3)的值為________． 1　[由題意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)， ∴f(2)＝0. ∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， ∴f(2)－f(3)＝1.] 6．已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． [－1,2)　[由題意知g(x)＝ 因為g(x)有三個不同的零點， 所以2－x＝0

13、在x＞a時有一個解．由x＝2，得a＜2. 由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2， 由x≤a，得a≥－1. 綜上，a的取值范圍為[－1,2)．] 7．(2017·南通第一次學情檢測)已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x－2，則不等式f(x－1)≤6的解集是________. 【導學號：62172068】 [－2,4]　[∵f(x)為R上的偶函數(shù)， ∴當x<0時，－x>0， ∴f(－x)＝2－x－2， 即f(x)＝2－x－2. ∵f(x－1)≤6， ∴當x－1≥0，即x≥1時， 2x－1－2≤6， 解得1≤x≤4； 當x－1<0，即x<1時，

14、21－x－2≤6， 解得－2≤x<1. 綜上可知，f(x－1)≤6的解集為[－2,4]．] 8．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 019)的值為________． 0　[g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分別是偶函數(shù)與奇函數(shù)，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，則 f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.] 9．已知函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關于直線x＝－2對稱，且當

15、x∈(0，＋∞)時，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f，c＝f(2)，則a，b，c的大小關系是________． b＞a＞c　[由函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關于直線x＝－2對稱，得函數(shù)y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，即y＝f(x)是偶函數(shù)．當x∈(0,1)時，f(x)＝f＝|log2x|，且x∈[1，＋∞)時，f(x)＝log2x單調遞增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b＞a＞c.] 10．(2017·南京一模)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝2x＋，設g(x)＝若函數(shù)y＝g(x)－t有且只有一個零點，則實數(shù)t的取值范圍是________．

16、 　[由f(x)為R上的奇函數(shù)可知，f(0)＝0，即1＋m＝0，m＝－1， ∴f(x)＝2x－， ∴g(x)＝ 又當x＞1時，g(x)為增函數(shù)， ∴g(x)＞g(1)＝2－＝， 當x≤1時，g(x)為減函數(shù)， ∴g(x)≥g(1)＝－＝－. 要使g(x)－t＝0有且只有一解，即函數(shù)y＝g(x)與y＝t的圖象只有一個交點(圖略)，故－≤t≤.] 二、解答題 11．(2017·鎮(zhèn)江期中)已知函數(shù)f(x)＝log2log22x. (1)解不等式f(x)>0； (2)當x∈[1,4]時，求f(x)的值域． [解]　(1)函數(shù)f(x)＝log2·log22x＝(log2x－log

17、24)(log22＋log2x) ＝(log2x)2－log2x－2，x∈(0，＋∞)． 令f(x)＝(log2x)2－log2x－2>0， 則log2x>2或log2x<－1，故x>4或0

18、數(shù)m，n的值； (3)已知m>0，n>0，在(2)的條件下，求不等式f(f(x))＋f<0的解集． [解]　證明：(1)f(x)＝，∴f(1)＝＝－， f(－1)＝＝， ∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函數(shù)． (2)由f(x)是奇函數(shù)得f(－x)＝－f(x)， 即＝－對定義域內任意實數(shù)x都成立，化簡整理得關于x的恒等式(2m－n)·22x＋(2mn－4)·2x＋(2m－n)＝0， ∴即或 (3)由題意得m＝1，n＝2， ∴f(x)＝＝，易判斷f(x)在R上遞減，∵f(f(x))＋f<0， ∴f(f(x))<－f＝f， ∴f(x)>－， ∴2x<3，∴x

19、23， 即所求不等式的解集為(－∞，log23)． B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則不等式＜f(1)的解集為________． 　[f(x)為R上的奇函數(shù)，則f＝f(－ln x)＝－f(ln x)，所以＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化為|f(ln )|＜f(1)，所以－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上單調遞增，所以－1＜ln x＜1，解得＜x＜e.]　 2．(2017·泰州中學高三摸底考試)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在區(qū)間[a，

20、b]，當x∈[a，b]時的值域為[ka，kb](k>0)，則稱y＝f(x)為k倍值函數(shù)．若f(x)＝ln x＋x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________． 　[由題意得ln x＋x＝kx有兩個不同的解，k＝＋1，則k′＝＝0?x＝e，因此當0e時，k∈，從而要使ln x＋x＝kx有兩個不同的解，需k∈.] 3．函數(shù)f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的圖象過點(8,2)和(1，－1)． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值時x的值． [解]　(1)由得 解得m＝－1，a＝2

21、， 故函數(shù)解析式為f(x)＝－1＋log2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x－1) ＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)] ＝log2－1(x＞1)． ∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4. 當且僅當x－1＝，即x＝2時，等號成立． 而函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增， 則log2－1≥log24－1＝1， 故當x＝2時，函數(shù)g(x)取得最小值1. 4．已知函數(shù)f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|. (1)若當x∈R時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (2)求函數(shù)h(x)＝|f(x)|＋g(x)在區(qū)間[0,2]上

22、的最大值． [解]　(1)不等式f(x)≥g(x)對x∈R恒成立，即x2－1≥a|x－1|(*)對x∈R恒成立． ①當x＝1時，(*)顯然成立，此時a∈R； ②當x≠1時，(*)可變形為a≤， 令φ(x)＝＝ 因為當x>1時，φ(x)>2，當x<1時，φ(x)>－2， 所以φ(x)>－2，故此時a≤－2. 綜合①②，得所求實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]． (2)h(x)＝ ①當－≤0，即a≥0時， (－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋1， (x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此時，h(x)max＝a＋3. ②當0<－≤1， 即－2≤a<0時，(－x2－ax＋a＋1)max ＝h＝＋a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.此時h(x)max＝a＋3. ③當1<－≤2， 即－4≤a<－2時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0，(x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)，h(2)}＝max{0,3＋a} ＝ 此時h(x)max＝ ④當－>2， 即a<－4時，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0. 此時h(x)max＝0. 綜上：h(x)max＝