2020高考數學大一輪復習 第十一章 選考系列 課下層級訓練59 坐標系（含解析）文 新人教A版.doc

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課下層級訓練(五十九)　坐標系 [A級　基礎強化訓練] 1．在極坐標系中，求直線ρcos＝1與圓ρ＝4sin θ的交點的極坐標． 解　ρcos＝1化為直角坐標方程為x－y＝2， 即y＝x－2． ρ＝4sin θ可化為x2＋y2＝4y， 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y， 得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0， 所以x＝，y＝1． 所以直線與圓的交點坐標為(，1)， 化為極坐標為． 2．(2019吉林長春模擬)已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2． (1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經過兩圓交點的直線的極坐標方程． 解　(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； 因為ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0． (2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1． 化為極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝． 3．在極坐標系中，P是曲線C1：ρ＝12sin θ上的動點，Q是曲線C2：ρ＝12cos上的動點，求|PQ|的最大值． 解　對曲線C1的極坐標方程進行轉化： ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0， 即x2＋(y－6)2＝36． 對曲線C2的極坐標方程進行轉化， ∵ρ＝12cos， ∴ρ2＝12ρ， ∴x2＋y2－6x－6y＝0， ∴(x－3)2＋(y－3)2＝36， ∴|PQ|max＝6＋6＋＝18． 4．(2016全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ． (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a． 解　(1)消去參數t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0． (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1． 當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上．所以a＝1． [B級　能力提升訓練] 5．(2019寧夏石嘴山月考)在極坐標系中，點M的坐標為，曲線C的方程為ρ＝2sin ；以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為－1的直線l經過點M． (1)求直線l和曲線C的直角坐標方程； (2)若P為曲線C上任意一點，曲線l和曲線C相交于A、B兩點，求△PAB面積的最大值． 解　(1)∵在極坐標系中，點M的坐標為， ∴x＝3cos ＝0，y＝3sin ＝3， ∴點M的直角坐標為(0,3)， ∴直線l的直角坐標方程為y＝－x＋3， 由ρ＝2sin ，得ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x－2y＝0， 即(x－1)2＋(y－1)2＝2． (2)圓心(1,1)到直線y＝－x＋3的距離d＝＝， ∴圓上的點到直線l的距離最大值為d＋R＝， 而弦|AB|＝2＝2＝， ∴△PAB面積的最大值為＝． 6．已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數)．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程； (2)設C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離. 解　(1)曲線C1化為ρcos θ＋ρsin θ＝． ∴ρsin＝． 曲線C2化為＋＝1.(*) 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6． ∴曲線C2的極坐標方程為ρ2＝． (2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的極坐標方程為θ＝， 把θ＝代入ρsin＝得 ρ1＝1，P． 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q． ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點間的距離為1．