2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第2課時 角度問題學(xué)案 新人教A版必修5.doc

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第2課時　角度問題 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能靈活運(yùn)用正弦定理及余弦定理解決角度問題(重點(diǎn)).2.會將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題(難點(diǎn)).3.能根據(jù)題意畫出幾何圖形(易錯點(diǎn))． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．方位角 從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角．如點(diǎn)B的方位角為α(如圖1218所示)． 圖1218 方位角的取值范圍：[0，360)． 2．視角 從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的夾角，如圖1219所示，視角50指的是觀察該物體的兩端視線張開的角度． 圖1219 思考：方位角的范圍為什么不是(0，π)? [提示]　方位角的概念表明，“從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角”，顯然方位角的范圍應(yīng)該是[0,2π)． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)如圖1220所示，該角可以說成北偏東110.(　　) 圖1220 (2)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系，其范圍均是.(　　) (3)方位角210的方向與南偏西30的方向一致．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　 提示：(1)說成南偏東70或東偏南20.(2)方位角的范圍是[0,2π)． 2．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432060】 A．α＞β　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90 D．α＋β＝180 B　[由仰角與俯角的水平線平行可知α＝β.] 3．在某次高度測量中，在A處測得B點(diǎn)的仰角為60，在同一鉛垂平面內(nèi)測得C點(diǎn)的俯角為70，則∠BAC等于(　　) A．10 B．50 C．120 D．130 D　[如圖所示： ∠BAC＝130.] 4．某人從A處出發(fā)，沿北偏東60行走3公里到B處，再沿正東方向行走2公里到C處，則A、C兩地的距離為________公里. 【導(dǎo)學(xué)號：91432061】 7　[如圖所示，由題意可知 AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150. 由余弦定理得AC2＝27＋4－232cos 150＝49，AC＝7.所以A、C兩地的距離為7公里．] [合 作 探 究攻 重 難] 角度問題 　(1)如圖1221，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的 (　　) 圖1221 A．北偏東10　　　　　　 B．北偏西10 C．南偏東80 D．南偏西80 (2)有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長為6 m，下底長為10 m，高為2m，那么此攔水壩斜坡的坡比和坡角分別是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432062】 A.，60 B.，60 C.，30 D.，30 (1)D　(2)B　[(1)由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40，又∠BCD＝60，所以∠CBD＝30，所以∠DBA＝10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80. (2)如圖所示，橫斷面是等腰梯形ABCD，AB＝10 m，CD＝6 m，高DE＝2 m，則AE＝＝2 m， ∴tan ∠DAE＝＝＝， ∴∠DAE＝60.] [規(guī)律方法]　測量角度問題畫示意圖的基本步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 1．在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是北偏東30，風(fēng)速是20 km/h；水的流向是正東，流速是20 km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|________，大小為________km/h. 60　20　[如圖，∠AOB＝60，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120＝1 200，故OC＝20，∠COY＝30＋30＝60.] 求航向的角度 　在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/時的速度追截走私船．此時，走私船正以10海里/時的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ 思路探究：①你能根據(jù)題意畫出示意圖嗎？ ②在△ABC中，能求出BC與∠ABC嗎？ ③在△BCD中，如何求出∠BCD? [解]　設(shè)緝私船用t小時在D處追上走私船，畫出示意圖，則有CD＝10t，BD＝10t， 在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)2cos 120＝6， ∴BC＝，且sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝， ∴∠ABC＝45，∴BC與正北方向成90角． ∵∠CBD＝90＋30＝120， 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30. 即緝私船沿北偏東60方向能最快追上走私船． [規(guī)律方法]　 1．測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解． 2．在解三角形問題中，求某些角的度數(shù)時，最好用余弦定理求角．因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在(0，π)上是單調(diào)遞減的，而正弦函數(shù)在(0，π)上不是單調(diào)函數(shù)，一個正弦值可以對應(yīng)兩個角．但角在上時，用正、余弦定理皆可． [跟蹤訓(xùn)練] 2．甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60方向的B處，兩船相距a n mile，乙船向正北方向行駛．若甲船的速度是乙船速度的倍，問甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能最快追上乙船？相遇時乙船行駛了多少n mile? 【導(dǎo)學(xué)號：91432063】 [解]　如圖所示，設(shè)兩船在C處相遇，并設(shè)∠CAB＝θ，乙船行駛距離BC為x n mile， 則AC＝x， 由正弦定理得sin θ＝＝，而θ<60， ∴θ＝30， ∴∠ACB＝30，BC＝AB＝a. ∴甲船應(yīng)沿北偏東30方向前進(jìn)才能最快追上乙船，兩船相遇時乙船行駛了a n mile. 求解速度問題 [探究問題] 1．某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)，從A到B，方位角是60，距離是4 km，從B到C，方位角是120，距離是8 km，從C到D，方位角是150，距離是3 km，試畫出示意圖． 提示：如圖所示： 2．在探究1中，若投遞員想在半小時之內(nèi)，沿小路直接從A點(diǎn)到C點(diǎn)，則此人的速度至少是多少？ 提示：在上圖中，在△ABC中，∠ABC＝60＋(180－120)＝120，由余弦定理得AC＝＝4，則此人的最小速度為v＝＝8(km/h)． 3．在探究1中若投遞員以24 km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問在C點(diǎn)此人能否與投遞員相遇？ 提示：投遞員到達(dá)C點(diǎn)的時間為t1＝＝(小時)＝30(分鐘)，追投遞員的人所用時間由探究2可知 t2＝＝(小時)＝15分鐘；由于30>15＋10，所以此人在C點(diǎn)能與投遞員相遇． 　如圖1222，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時的速度沿南偏西15方向行駛，若甲船沿南偏東θ度的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能在C處追上乙船．問用多少小時追上乙船，并求sin θ的值．(結(jié)果保留根號，無需求近似值) 【導(dǎo)學(xué)號：91432064】 圖1222 思路探究：根據(jù)題意明確已知條件與幾何量間的對應(yīng)關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用正、余弦定理解決． [解]　設(shè)用t小時，甲船追上乙船，且在C處相遇， 則在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9， ∠ABC＝180－15－45＝120， 由余弦定理得， (28t)2＝81＋(20t)2－2920t， 即128t2－60t－27＝0， 解得t＝或t＝－(舍去)， ∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)． 根據(jù)正弦定理， 得sin∠BAC＝＝， 則cos∠BAC＝＝. 又∠ABC＝120，∠BAC為銳角，∴θ＝45－∠BAC， sin θ＝sin(45－∠BAC) ＝sin 45cos∠BAC－cos 45sin ∠BAC＝. 母題探究：(變條件，變結(jié)論)在本例中，若乙船向正南方向行駛，速度未知，而甲船沿南偏東15的方向行駛恰能與乙船相遇，其他條件不變，試求乙船的速度． [解]　設(shè)乙船的速度為x海里每小時，用t小時甲船追上乙船，且在C處相遇(如圖所示)，則在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30，∠ABC＝135. 由正弦定理得＝， 即＝. 所以x＝＝＝14(海里每小時)． 故乙船的速度為14海里每小時． [規(guī)律方法]　解決實(shí)際問題應(yīng)注意的問題 (1)首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步. (2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．在某測量中，設(shè)A在B的南偏東3427′，則B在A的(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432065】 A．北偏西3427′　　　B．北偏東5533′ C．北偏西5533′ D．南偏西3427′ A　[由方向角的概念，B在A的北偏西3427′.] 2．如圖1223所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　　) 圖1223 A．北偏東5 B．北偏西10 C．南偏東5 D．南偏西10 B　[由題意可知∠ACB＝180－40－60＝80.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50，從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10.] 3．如圖1224所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一直線上，DC＝a，從D，C兩點(diǎn)測得A點(diǎn)仰角分別為α，β(α<β)，則點(diǎn)A離地面的高度AB等于(　　) 圖1224 A. B. C. D. A　[結(jié)合圖形可知∠DAC＝β－α. 在△ACD中，由正弦定理得＝， ∴AC＝＝. 在Rt△ABC中， AB＝ACsin β＝.] 4．如圖1225所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15，向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cos θ等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432066】 圖1225 A. B. C.－1 D.－1 C　[在△ABC中，由正弦定理＝， ∴AC＝100. 在△ADC中，＝，∴cos θ＝sin(θ＋90)＝＝－1.] 5．如圖1226，某海輪以60海里/小時的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東60，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東30，海輪改為北偏東60的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P，C間的距離． 圖1226 [解]　因?yàn)锳B＝40，∠BAP＝120，∠ABP＝30， 所以∠APB＝30，所以AP＝40， 所以BP2＝AB2＋AP2－2APABcos 120 ＝402＋402－24040＝4023， 所以BP＝40. 又∠PBC＝90，BC＝80， 所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200， 所以PC＝40海里．