2018高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第三節(jié) 空間直角坐標(biāo)系1 空間直角坐標(biāo)系學(xué)案 蘇教版必修2.doc

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空間直角坐標(biāo)系 一、考點突破 知識點 課標(biāo)要求 題型 說明 空間直角坐標(biāo)系 1. 了解空間直角坐標(biāo)系的建系方式； 2. 能在空間直角坐標(biāo)系中求出點的坐標(biāo)或根據(jù)已知坐標(biāo)作出點。 解答題 在二維平面直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)上的推廣，是空間立體幾何的代數(shù)化，是以后學(xué)習(xí)“空間向量”等內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有承前啟后的作用。 二、重難點提示 重點：空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念、空間點的坐標(biāo)的確定方法。 難點：空間直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生過程。 考點一：空間直角坐標(biāo)系 1. 空間直角坐標(biāo)系的概念 從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系O－xyz，點O叫作坐標(biāo)原點，x軸、y軸和z軸叫作坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面。 2. 右手直角坐標(biāo)系 在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。 【要點詮釋】 通常，將空間直角坐標(biāo)系畫在紙上時，x軸與y軸、x軸與z軸均成135角，而z軸垂直于y軸。y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的單位長度的一半。 3. 空間一點的坐標(biāo) 對于空間任意一點A，作點A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即經(jīng)過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P、Q、R。點P、Q、R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z，我們把有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫作點A的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）。 【重要提示】特殊位置的點的坐標(biāo)： ① 原點坐標(biāo)； ② 軸上的點的坐標(biāo)為，其中為任意實數(shù)； ③ 軸上的點的坐標(biāo)為，其中為任意實數(shù)； ④ 軸上的點的坐標(biāo)為，其中為任意實數(shù)； ⑤ 平面（通過軸和軸的平面）上的點的坐標(biāo)為，其中、為任意實數(shù)； ⑥ 平面（通過軸和軸的平面）上的點的坐標(biāo)為，其中、為任意實數(shù)； ⑦ 平面（通過軸和軸的平面）上的點的坐標(biāo)為，其中、為任意實數(shù)。 考點二：空間直角坐標(biāo)系中點的讀取方法 1. 投影法：即找到點在三條坐標(biāo)軸上的投影點。方法是過點作三個平面分別垂直于軸、軸和軸于、、三點（、、即為點在三條坐標(biāo)軸上的投影點），點、、在軸、軸和軸上的坐標(biāo)分別為、、，則就是點的坐標(biāo)。 2. 路徑法：先從原點出發(fā)沿軸的正方向或負(fù)方向移動個單位，再沿軸的正方向或負(fù)方向移動個單位，最后沿軸的正方向或負(fù)方向移動個單位即可讀出此點坐標(biāo)。 考點三：空間直角坐標(biāo)系中點的對稱 點關(guān)于原點的對稱點是； 點關(guān)于軸的對稱點是； 點關(guān)于軸的對稱點是； 點關(guān)于軸的對稱點是； 點關(guān)于平面的對稱點是； 點關(guān)于平面的對稱點是； 點關(guān)于平面的對稱點是。 【重要提示】 空間直角坐標(biāo)系中的點關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對稱點的坐標(biāo)求法，可用口訣“關(guān)于誰誰不變，其余的均相反”來記憶。 【隨堂練習(xí)】點P（a，b，c）到坐標(biāo)平面xOy的距離是________。 思路分析：過點P向xOy平面作垂線，該垂線上的所有點在軸上的投影相同，在軸上的投影也相同，只有在軸上的不同。 答案：點P在xOy平面的射影的坐標(biāo)是P′（a，b，0），所以d＝|c|。 技巧點撥： 過P（a，b，c）向xOy平面作垂線，則垂線上的點坐標(biāo)為（a，b，m）（其中m為變數(shù)）； 過P（a，b，c）向xOz平面作垂線，則垂線上的點坐標(biāo)為（a，m，c）（其中m為變數(shù)）； 過P（a，b，c）向yOz平面作垂線，則垂線上的點坐標(biāo)為（m，b，c）（其中m為變數(shù)）。 例題1 （求空間內(nèi)點的坐標(biāo)） 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，寫出此長方體各頂點的坐標(biāo)。 思路分析：以D為原點建系→找各點在xOy平面內(nèi)的射影→找各點在z軸上的正射影→寫出點的坐標(biāo)。 答案：如圖，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz。 由題意知長方體的棱長AD＝BC＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4， 顯然D（0，0，0），A在x軸上， ∴A（3，0，0）； C在y軸上，∴C（0，5，0）； D1在z軸上，∴D1（0，0，4）； B在xOy平面內(nèi)，∴B（3，5，0）； A1在xOz平面內(nèi)，∴A1（3，0，4）； C1在yOz平面內(nèi)，∴C1（0，5，4）。 由B1在xOy平面內(nèi)的射影為B（3，5，0）， ∴B1的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為5。 ∵B1在z軸上的射影為D1（0，0，4）， ∴B1的豎坐標(biāo)為4，∴B1（3，5，4）。 技巧點撥： 1. 建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循的兩個原則 （1）讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上。 （2）充分利用幾何圖形的對稱性。 2. 求某點M坐標(biāo)的方法 過點M分別作三個坐標(biāo)平面的平行平面（或垂面），分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點，確定x、y、z。具體理解，可以以長方體為模型，要掌握一些特殊點（落在坐標(biāo)軸上的點和落在坐標(biāo)平面上的點）的坐標(biāo)表示的特征。 例題2 （空間直角坐標(biāo)系中關(guān)于對稱點） 如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1的對稱中心為坐標(biāo)原點，交于同一頂點的三個面分別平行于三個坐標(biāo)平面，頂點A（－2，－3，－1），求其他7個頂點的坐標(biāo)。 思路分析：充分運用長方體是對稱的幾何圖形這一性質(zhì)求解。 答案：設(shè)長方體的對稱中心為坐標(biāo)原點O， ∵頂點A（－2，－3，－1）， ∴A關(guān)于原點的對稱點C1的坐標(biāo)為（2，3，1）。 ∵C與C1關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對稱，∴C（2，3，－1）。 ∵A1與C關(guān)于原點對稱，∴A1（－2，－3，1）。 ∵點C與點D關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對稱， ∴D（－2，3，－1）。 ∵點B1與點D關(guān)于原點對稱， ∴B1（2，－3，1）。 同理可求得點D1的坐標(biāo)為（－2，3，1），點B的坐標(biāo)為（2，－3，－1）， 綜上知長方體其他7個頂點的坐標(biāo)分別為C1（2，3，1），C（2，3，－1），A1（－2，－3，1），B（2，－3，－1），B1（2，－3，1），D（－2，3，－1），D1（－2，3，1）。 技巧點撥： 空間對稱的特點是“關(guān)于誰對稱，誰不變，其余互為相反數(shù)”，如關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)不變，縱、豎坐標(biāo)分別互為相反數(shù)；關(guān)于xOy平面對稱的兩個點，橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)。平時解題時要注意方法規(guī)律的總結(jié)。 忽略空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸兩兩垂直導(dǎo)致建系錯誤 例題 在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，所有的棱長都是1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出各點的坐標(biāo)。 【錯解】如圖所示，分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0）。 ∵各棱長均為1，且B、C、A1均在坐標(biāo)軸上， ∴B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（0，1，1）。 【錯因分析】∵三棱柱各棱長均為1，∴△ABC為正三角形，即∠BAC＝60，故本題做錯的根本原因在于建立直角坐標(biāo)系時沒有抓住空間直角坐標(biāo)系三條坐標(biāo)軸兩兩垂直的本質(zhì)。 【防范措施】建立空間直角坐標(biāo)系時，應(yīng)選擇從一點出發(fā)的三條兩兩垂直的線作為坐標(biāo)軸，如果圖中沒有滿足條件的直線，可以通過作“輔助線”，達到建系的目的。 【正解】如圖所示，取AC的中點O和A1C1的中點O1， 連接BO、OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1， 分別以O(shè)B、OC、OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。 ∵各棱長均為1， ∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝。 ∵A、B、C均在坐標(biāo)軸上， ∴A（0，－，0），B（，0，0），C（0，，0）。 ∵點A1、C1均在yOz平面內(nèi)， ∴A1（0，－，1），C1（0，，1）。 ∵點B1在xOy面內(nèi)的射影為點B，且BB1＝1， ∴B1（，0，1）。