2018高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第三節(jié) 空間直角坐標(biāo)系1 空間直角坐標(biāo)系學(xué)案 蘇教版必修2.doc

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空間直角坐標(biāo)系 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說(shuō)明 空間直角坐標(biāo)系 1. 了解空間直角坐標(biāo)系的建系方式； 2. 能在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo)或根據(jù)已知坐標(biāo)作出點(diǎn)。 解答題 在二維平面直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)上的推廣，是空間立體幾何的代數(shù)化，是以后學(xué)習(xí)“空間向量”等內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有承前啟后的作用。 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念、空間點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法。 難點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生過(guò)程。 考點(diǎn)一：空間直角坐標(biāo)系 1. 空間直角坐標(biāo)系的概念 從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系O－xyz，點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸和z軸叫作坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面。 2. 右手直角坐標(biāo)系 在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。 【要點(diǎn)詮釋】 通常，將空間直角坐標(biāo)系畫(huà)在紙上時(shí)，x軸與y軸、x軸與z軸均成135角，而z軸垂直于y軸。y軸和z軸的單位長(zhǎng)度相同，x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸（或z軸）的單位長(zhǎng)度的一半。 3. 空間一點(diǎn)的坐標(biāo) 對(duì)于空間任意一點(diǎn)A，作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即經(jīng)過(guò)點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P、Q、R。點(diǎn)P、Q、R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z，我們把有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫作點(diǎn)A的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）。 【重要提示】特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)： ① 原點(diǎn)坐標(biāo)； ② 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； ③ 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； ④ 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； ⑤ 平面（通過(guò)軸和軸的平面）上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)； ⑥ 平面（通過(guò)軸和軸的平面）上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)； ⑦ 平面（通過(guò)軸和軸的平面）上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)。 考點(diǎn)二：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的讀取方法 1. 投影法：即找到點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)。方法是過(guò)點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于軸、軸和軸于、、三點(diǎn)（、、即為點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)），點(diǎn)、、在軸、軸和軸上的坐標(biāo)分別為、、，則就是點(diǎn)的坐標(biāo)。 2. 路徑法：先從原點(diǎn)出發(fā)沿軸的正方向或負(fù)方向移動(dòng)個(gè)單位，再沿軸的正方向或負(fù)方向移動(dòng)個(gè)單位，最后沿軸的正方向或負(fù)方向移動(dòng)個(gè)單位即可讀出此點(diǎn)坐標(biāo)。 考點(diǎn)三：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是； 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是； 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是； 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是； 點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是； 點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是； 點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是。 【重要提示】 空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)求法，可用口訣“關(guān)于誰(shuí)誰(shuí)不變，其余的均相反”來(lái)記憶。 【隨堂練習(xí)】點(diǎn)P（a，b，c）到坐標(biāo)平面xOy的距離是________。 思路分析：過(guò)點(diǎn)P向xOy平面作垂線，該垂線上的所有點(diǎn)在軸上的投影相同，在軸上的投影也相同，只有在軸上的不同。 答案：點(diǎn)P在xOy平面的射影的坐標(biāo)是P′（a，b，0），所以d＝|c|。 技巧點(diǎn)撥： 過(guò)P（a，b，c）向xOy平面作垂線，則垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b，m）（其中m為變數(shù)）； 過(guò)P（a，b，c）向xOz平面作垂線，則垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a，m，c）（其中m為變數(shù)）； 過(guò)P（a，b，c）向yOz平面作垂線，則垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為（m，b，c）（其中m為變數(shù)）。 例題1 （求空間內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)） 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，寫出此長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。 思路分析：以D為原點(diǎn)建系→找各點(diǎn)在xOy平面內(nèi)的射影→找各點(diǎn)在z軸上的正射影→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。 答案：如圖，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz。 由題意知長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)AD＝BC＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4， 顯然D（0，0，0），A在x軸上， ∴A（3，0，0）； C在y軸上，∴C（0，5，0）； D1在z軸上，∴D1（0，0，4）； B在xOy平面內(nèi)，∴B（3，5，0）； A1在xOz平面內(nèi)，∴A1（3，0，4）； C1在yOz平面內(nèi)，∴C1（0，5，4）。 由B1在xOy平面內(nèi)的射影為B（3，5，0）， ∴B1的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為5。 ∵B1在z軸上的射影為D1（0，0，4）， ∴B1的豎坐標(biāo)為4，∴B1（3，5，4）。 技巧點(diǎn)撥： 1. 建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循的兩個(gè)原則 （1）讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上。 （2）充分利用幾何圖形的對(duì)稱性。 2. 求某點(diǎn)M坐標(biāo)的方法 過(guò)點(diǎn)M分別作三個(gè)坐標(biāo)平面的平行平面（或垂面），分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，確定x、y、z。具體理解，可以以長(zhǎng)方體為模型，要掌握一些特殊點(diǎn)（落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)和落在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)）的坐標(biāo)表示的特征。 例題2 （空間直角坐標(biāo)系中關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)） 如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面分別平行于三個(gè)坐標(biāo)平面，頂點(diǎn)A（－2，－3，－1），求其他7個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。 思路分析：充分運(yùn)用長(zhǎng)方體是對(duì)稱的幾何圖形這一性質(zhì)求解。 答案：設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O， ∵頂點(diǎn)A（－2，－3，－1）， ∴A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（2，3，1）。 ∵C與C1關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對(duì)稱，∴C（2，3，－1）。 ∵A1與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴A1（－2，－3，1）。 ∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱， ∴D（－2，3，－1）。 ∵點(diǎn)B1與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴B1（2，－3，1）。 同理可求得點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（－2，3，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，－3，－1）， 綜上知長(zhǎng)方體其他7個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C1（2，3，1），C（2，3，－1），A1（－2，－3，1），B（2，－3，－1），B1（2，－3，1），D（－2，3，－1），D1（－2，3，1）。 技巧點(diǎn)撥： 空間對(duì)稱的特點(diǎn)是“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱，誰(shuí)不變，其余互為相反數(shù)”，如關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱、豎坐標(biāo)分別互為相反數(shù)；關(guān)于xOy平面對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)。平時(shí)解題時(shí)要注意方法規(guī)律的總結(jié)。 忽略空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸兩兩垂直導(dǎo)致建系錯(cuò)誤 例題 在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，所有的棱長(zhǎng)都是1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)。 【錯(cuò)解】如圖所示，分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0）。 ∵各棱長(zhǎng)均為1，且B、C、A1均在坐標(biāo)軸上， ∴B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（0，1，1）。 【錯(cuò)因分析】∵三棱柱各棱長(zhǎng)均為1，∴△ABC為正三角形，即∠BAC＝60，故本題做錯(cuò)的根本原因在于建立直角坐標(biāo)系時(shí)沒(méi)有抓住空間直角坐標(biāo)系三條坐標(biāo)軸兩兩垂直的本質(zhì)。 【防范措施】建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)選擇從一點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的線作為坐標(biāo)軸，如果圖中沒(méi)有滿足條件的直線，可以通過(guò)作“輔助線”，達(dá)到建系的目的。 【正解】如圖所示，取AC的中點(diǎn)O和A1C1的中點(diǎn)O1， 連接BO、OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1， 分別以O(shè)B、OC、OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。 ∵各棱長(zhǎng)均為1， ∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝。 ∵A、B、C均在坐標(biāo)軸上， ∴A（0，－，0），B（，0，0），C（0，，0）。 ∵點(diǎn)A1、C1均在yOz平面內(nèi)， ∴A1（0，－，1），C1（0，，1）。 ∵點(diǎn)B1在xOy面內(nèi)的射影為點(diǎn)B，且BB1＝1， ∴B1（，0，1）。