高考數學一輪復習 第六章 數列 6.3 等比數列及其前n項和課件 理.ppt

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第六章數列 6 3等比數列及其前n項和 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 等比數列的定義一般地 如果一個數列 那么這個數列就叫做等比數列 這個常數叫做等比數列的 通常用字母 表示 q 0 2 等比數列的通項公式設等比數列 an 的首項為a1 公比為q 則它的通項an 從第二項起 每一項與它的前一項的比都等 于同一個常數 公比 q a1 qn 1 知識梳理 1 答案 3 等比中項若a G b成等比數列 則稱G為a和b的等比中項 4 等比數列的常用性質 1 通項公式的推廣 an am n m N 2 若 an 為等比數列 且k l m n k l m n N 則 qn m ak al am an 答案 5 等比數列的前n項和公式等比數列 an 的公比為q q 0 其前n項和為Sn 當q 1時 Sn na1 6 等比數列前n項和的性質公比不為 1的等比數列 an 的前n項和為Sn 則Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數列 其公比為 qn 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 滿足an 1 qan n N q為常數 的數列 an 為等比數列 2 G為a b的等比中項 G2 ab 3 如果數列 an 為等比數列 bn a2n 1 a2n 則數列 bn 也是等比數列 4 如果數列 an 為等比數列 則數列 lnan 是等差數列 6 數列 an 為等比數列 則S4 S8 S4 S12 S8成等比數列 思考辨析 答案 1 2015 課標全國 改編 已知等比數列 an 滿足a1 3 a1 a3 a5 21 則a3 a5 a7 解析設等比數列 an 的公比為q 則由a1 3 a1 a3 a5 21得3 1 q2 q4 21 解得q2 3 舍去 或q2 2 于是a3 a5 a7 q2 a1 a3 a5 2 21 42 42 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 等差數列 an 的公差為3 若a2 a4 a8成等比數列 則a4 解析令首項為a 根據已知條件有 a 9 2 a 3 a 21 解得a 3 所以a4 3 3 3 12 12 解析答案 1 2 3 4 5 3 等比數列 an 中 a4 2 a5 5 則數列 lgan 的前8項和等于 解析數列 lgan 的前8項和S8 lga1 lga2 lga8 lg a1 a2 a8 lg a1 a8 4 lg a4 a5 4 lg 2 5 4 4 4 解析答案 1 2 3 4 5 4 2015 安徽 已知數列 an 是遞增的等比數列 a1 a4 9 a2a3 8 則數列 an 的前n項和等于 解析由等比數列性質知a2a3 a1a4 又a2a3 8 a1 a4 9 又 數列 an 為遞增數列 a1 1 a4 8 從而a1q3 8 q 2 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 在9與243中間插入兩個數 使它們同這兩個數成等比數列 則這兩個數為 解析設該數列的公比為q 由題意知 243 9 q3 q3 27 q 3 插入的兩個數分別為9 3 27 27 3 81 27 81 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1 1 設 an 是由正數組成的等比數列 Sn為其前n項和 已知a2a4 1 S3 7 則S5 題型一等比數列基本量的運算 解析答案 2 在等比數列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 則a3 解析設等比數列 an 的公比為q q 0 4或 4 解析答案 思維升華 思維升華 等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題 數列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 可迎刃而解 1 在正項等比數列 an 中 an 1 an a2 a8 6 a4 a6 5 則 解析設公比為q 則由題意知0 q 1 跟蹤訓練1 解析答案 2 2015 湖南 設Sn為等比數列 an 的前n項和 若a1 1 且3S1 2S2 S3成等差數列 則an 解析由3S1 2S2 S3成等差數列知 4S2 3S1 S3 可得a3 3a2 所以公比q 3 故等比數列通項an a1qn 1 3n 1 3n 1 解析答案 例2設數列 an 的前n項和為Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 設bn an 1 2an 證明 數列 bn 是等比數列 題型二等比數列的判定與證明 解析答案 得an 1 4an 4an 1 n 2 an 1 2an 2 an 2an 1 n 2 bn an 1 2an bn 2bn 1 n 2 故 bn 是首項b1 3 公比為2的等比數列 證明由a1 1及Sn 1 4an 2 有a1 a2 S2 4a1 2 a2 5 b1 a2 2a1 3 2 求數列 an 的通項公式 解由 1 知bn an 1 2an 3 2n 1 故an 3n 1 2n 2 解析答案 例2中 Sn 1 4an 2 改為 Sn 1 2Sn n 1 其他條件不變探求數列 an 的通項公式 解由已知得n 2時 Sn 2Sn 1 n Sn 1 Sn 2Sn 2Sn 1 1 an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 又a1 1 當n 1時上式也成立 故 an 1 是以2為首項 以2為公比的等比數列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 解析答案 思維升華 引申探究 思維升華 1 證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法 其他方法只用于填空題中的判定 若證明某數列不是等比數列 則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可 2 利用遞推關系時要注意對n 1時的情況進行驗證 設數列 an 的前n項和為Sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求a2 a3的值 跟蹤訓練2 解 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 當n 1時 a1 2 1 2 當n 2時 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 當n 3時 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 綜上 a2 4 a3 8 解析答案 2 求證 數列 Sn 2 是等比數列 解析答案 故 Sn 2 是以4為首項 2為公比的等比數列 證明a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 當n 2時 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 Sn 1 2 n 1 得nan n 1 Sn n 2 Sn 1 2 n Sn Sn 1 Sn 2Sn 1 2 nan Sn 2Sn 1 2 Sn 2Sn 1 2 0 即Sn 2Sn 1 2 Sn 2 2 Sn 1 2 S1 2 4 0 Sn 1 2 0 例3 1 在等比數列 an 中 各項均為正值 且a6a10 a3a5 41 a4a8 5 則a4 a8 題型三等比數列的性質及應用 解析答案 由等比數列前n項和的性質知S5 S10 S5 S15 S10成等比數列 且公比為q5 解析答案 思維升華 思維升華 1 在等比數列的基本運算問題中 一般利用通項公式與前n項和公式 建立方程組求解 但如果能靈活運用等比數列的性質 若m n p q 則有aman apaq 可以減少運算量 2 等比數列的項經過適當的組合后構成的新數列也具有某種性質 例如等比數列Sk S2k Sk S3k S2k 成等比數列 公比為qk q 1 跟蹤訓練3 解析答案 2 等比數列 an 共有奇數項 所有奇數項和S奇 255 所有偶數項和S偶 126 末項是192 則首項a1 解析設等比數列 an 共有2k 1 k N 項 則a2k 1 192 解得a1 3 3 解析答案 返回 思想與方法系列 1 求數列 an 的通項公式 思維點撥利用等差數列的性質求出等比數列的公比 寫出通項公式 思想與方法系列 12 分類討論思想在等比數列中的應用 解析答案 思維點撥 規(guī)范解答解設等比數列 an 的公比為q 因為 2S2 S3 4S4成等差數列 所以S3 2S2 4S4 S3 即S4 S3 S2 S4 思維點撥求出前n項和 根據函數的單調性證明 解析答案 思維點撥 溫馨提醒 規(guī)范解答 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 1 分類討論思想在等比數列中應用較多 常見的分類討論有 已知Sn與an的關系 要分n 1 n 2兩種情況 等比數列中遇到求和問題要分公比q 1 q 1討論 項數的奇 偶數討論 等比數列的單調性的判斷注意與a1 q的取值的討論 2 數列與函數有密切的聯系 證明與數列有關的不等式 一般是求數列中的最大項或最小項 可以利用圖象或者數列的增減性求解 同時注意數列的增減性與函數單調性的區(qū)別 返回 思想方法感悟提高 2 a1an a2an 1 aman m 1 2 判斷數列為等比數列的方法 方法與技巧 方法與技巧 1 特別注意q 1時 Sn na1這一特殊情況 2 由an 1 qan q 0 并不能立即斷言 an 為等比數列 還要驗證a1 0 3 在運用等比數列的前n項和公式時 必須注意對q 1與q 1分類討論 防止因忽略q 1這一特殊情形而導致解題失誤 4 等比數列性質中 Sn S2n Sn S3n S2n也成等比數列 不能忽略條件q 1 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故所求的公比q 4 答案4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 等比數列 an 滿足an 0 n N 且a3 a2n 3 22n n 2 則當n 1時 log2a1 log2a2 log2a2n 1 解析由等比數列的性質 log2a1 log2a2 log2a2n 1 log2 a1a2n 1 a2a2n 2 an 1an 1 an log22n 2n 1 n 2n 1 n 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 在正項等比數列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 則n 解析設數列 an 的公比為q 所以n 14 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 在等差數列 an 和等比數列 bn 中 已知a1 8 a2 2 b1 1 b2 2 那么滿足an bn的n的所有取值構成的集合是 解析由已知得 an 6n 14 bn 2n 1 令an bn 可得6n 14 2n 1 解得n 3或5 所以滿足an bn的n的所有取值構成的集合是 3 5 3 5 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 m 3 q3 8 q 2 答案2 與題中條件矛盾 故q 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 等比數列 an 中 Sn表示前n項和 a3 2S2 1 a4 2S3 1 則公比q為 解析由a3 2S2 1 a4 2S3 1得a4 a3 2 S3 S2 2a3 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 等比數列 an 的前n項和為Sn 公比不為1 若a1 1 則對任意的n N 都有an 2 an 1 2an 0 則S5 解析由題意知a3 a2 2a1 0 設公比為q 則a1 q2 q 2 0 由q2 q 2 0解得q 2或q 1 舍去 11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a3 b2a2 b1b2 a4 b1b2b3 an b1b2b3 bn 1 a21 b1b2b3 b20 b10b11 10 210 1024 1024 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 數列 bn 滿足 bn 1 2bn 2 bn an 1 an 且a1 2 a2 4 1 求數列 bn 的通項公式 解由bn 1 2bn 2 得bn 1 2 2 bn 2 數列 bn 2 是首項為4 公比為2的等比數列 bn 2 4 2n 1 2n 1 bn 2n 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求數列 an 的前n項和Sn 解由 1 知 an an 1 bn 1 2n 2 n 2 an 1 an 2 2n 1 2 n 2 a2 a1 22 2 an 2 22 23 2n 2 n 1 an 2 22 23 2n 2n 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 證明 對任意實數 數列 an 不是等比數列 證明假設存在一個實數 使 an 是等比數列 所以 an 不是等比數列 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 證明 當 18時 數列 bn 是等比數列 證明bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 又 18 所以b1 18 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析在等差數列中 a1 a2 x y 在等比數列中 xy b1 b2 0 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 若等比數列 an 的各項均為正數 且a10a11 a9a12 2e5 則lna1 lna2 lna20 解析因為a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10lna10a11 10lne5 50 50 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案82n 1 2 an m an am a3 a1 2 a1 a2 a1 a1 a1 23 8 令m 1 則有an 1 an a1 2an 數列 an 是首項為a1 2 公比為q 2的等比數列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 定義在 0 0 上的函數f x 如果對于任意給定的等比數列 an f an 仍是等比數列 則稱f x 為 保等比數列函數 現有定義在 0 0 上的如下函數 f x x2 f x 2x f x f x ln x 則其中是 保等比數列函數 的f x 的序號為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析設 an 的公比為q 驗證 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知數列 an 中 a1 1 an an 1 n 記T2n為 an 的前2n項的和 bn a2n a2n 1 n N 1 判斷數列 bn 是否為等比數列 并求出bn 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 bn a2n a2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求T2n T2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15